专题4.3 二次函数应用题必考六大类型（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（沪科版）

专题4.3 二次函数应用题必考六大类型 【沪科版】 【类型1 面积最值问题】 1 【类型2 路径与边界问题】 8 【类型3 过桥与边界问题】 14 【类型4 利润最值问题】 20 【类型5 点的运动与变速滑行】 27 【类型6 分段函数】 30 【类型1 面积最值问题】 1．（2024•洪山区模拟）根据以下素材，完成探索任务． 问题提出根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格之和）不高于5900元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？ 素材一 如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有16m长的墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为22m，开两个门，且门宽均为1m． 素材二 每个门的价格为250元． 素材三 与现有墙平行方向的墙建筑费用为300元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米． 问题解决 任务1 设AB＝x m，矩形ABCD的面积为S，求S关于x的函数表达式． 任务2 探究自变量x的取值范围． 任务3 确定设计方案．当AB＝　　m，BC＝　　m时，S的最大值为 　　m2．（直接填写结果） 【分析】任务一：先根据题中条件写BC的长，即可求出S关于x的函数表达式； 任务二：先根据1＜BC≤16，解出2≤x＜7，写出新墙建筑费用的代数式，然后分选用型号A门和型号C门两种情况，利用总费用不高于6400元，分别求出x的取值范围即可； 任务三：先把函数表达式配成顶点式，然后根据x的取值范围和图象开口方向即可求出面积的最大值． 【解答】解：任务1：根据题意可得BC＝22+2﹣3x＝（24﹣3x）m， ∴S＝AB•BC ＝x（24﹣3x） ＝﹣3x2+24x； 任务2：由题意得，1＜BC≤16， 即1＜24﹣3x≤16， 解得：x， 根据题意可得：新墙建筑费用＝200（3x﹣1）+300（23﹣3x）＝（6700﹣300x）元， 则总费用＝6700﹣300x+500＝（7200﹣300x）元， ∵总费用不高于5900元， ∴7200﹣300x≤5900，解得：x， ∴x． 任务3：由任务1知S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵﹣3＜0，图象开口向下，且4， ∴当x时，面积S有最大值，最大值为47， 此时BC＝24﹣311（m）， ∴设计方案是ABm，BC＝11m，S的最大值为47m2． 故答案为：，11，47． 2．（2024•东海县一模）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为60m的护栏围成一块靠墙，中间用护栏EF隔开的矩形花圃ABCD，其中EF∥AB，且墙长为30m． （1）设AB＝x（m），矩形花圃ABCD的面积为y（m2）．则y关于x的函数关系式为 　 　，x的取值范围为 　 　； （2）求矩形花圃ABCD面积的最大值； （3）在（2）的情况下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种鲜切花．甲种鲜切花的年收入W1（单位：元）与种植面积的函数关系式为W1＝30S1；乙种鲜切花的年收入W2（单位：元）与种植面积的函数关系式为，若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，求CF的长． 【分析】（1）用x表示BC的长度，即可得到y与x的函数关系式，根据墙长30m列不等式，可求x的范围； （2）利用自变量的取值范围，结合抛物线的增减性即可得到答案； （3）设BF＝t m，可得矩形ABFE的面积为10t m2，矩形EFCD的面积为10（30﹣t） m2，根据两种鲜切花的年收入之和达到28800元，列出一元二次方程解答即可． 【解答】解：（1）由已知得：BC＝（60﹣3x）m， ∴y＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x， ∵墙长30m， ∴0＜60﹣3x≤30， 解得：10≤x＜20（m）， ∴x的取值范围是10≤x＜20； 故答案为：y＝﹣3x2+60x，10≤x＜20； （2）∵y＝﹣3x2+60x＝﹣3（x﹣10）2+300， ∴抛物线对称轴为直线x＝10， ∵a＝﹣3＜0，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴x＝10时，y取最大值，最大值是300， ∴矩形ABCD面积的最大值是300m2； （3）由（2）得：x＝10时，y取最大值，最大值是300， ∴BC＝60﹣3x＝30 m， 设BF＝t m，则CF＝（30﹣t）m， ∴矩形ABFE的面积为10t m2，矩形EFCD的面积为10（30﹣t） m2， ∴W1＝30×10t＝300t，W2＝﹣100（30﹣t）2+320×10（30﹣t）， 根据题意得： 300t﹣100（30﹣t）2+320×10（30﹣t）＝28800， 解得：t1＝19，t2＝12， ∴CF＝11m或18m． 3．（2023秋•潜山市期末）一段长为25m的墙MN前有一块矩形ABCD空地，用90m长的篱笆围成如图所示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形AEFH和四边形CDHG是矩形，四边形EBGF是边长为5m的正方形，设CD＝x m． （1）若矩形CDHG的面积为125m2，求CD的长． （2）当CD的长为多少时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是多少？ 【分析】（1）首先求得GC＝90﹣3x﹣10＝（80﹣3x）cm，，根据矩形CDHG面积＝GC•CD＝（80﹣3x）x＝125，即可求解； （2）设矩形ABCD的面积为S，则S＝BC•CD＝x（80﹣3x+5）＝﹣3（x）2，进而根据二次函数的性质即可求解． 【解答】（1）∵CD＝HG＝AB＝x cm，EF＝BG＝5， ∴GC＝90﹣3x﹣10＝（80﹣3x）cm， ∴x（80﹣3x）＝125， ∴x1＝25，x2， ∵BC＝80﹣3x+5≤25， ∴x≥20， ∴CD的长为25米； （2）设矩形ABCD的面积为S，则S＝BC•CD＝x（80﹣3x+5）＝﹣3（x）2， ∵﹣3＜0，故抛物线开口向下，x≥20， 当x＝20时，S取得最大值为：﹣3（20）2500（m2）． 即当CD的长20m时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是500m2． 4．（2023秋•长沙县期末）在“校园劳动节”活动中，某劳动小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边DC和DA足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形劳动基地ABCD（篱笆只围AB和BC两边），设AB＝x m，则S矩形ABCD＝y m2． （1）求y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当矩形劳动基地的面积为192m2时，求AB的长； （3）如果在点P处有一棵树（不考虑粗细），它与墙DC和DA的距离分别是14m和8m，如果要将这棵树围在矩形劳动基地内部（含边界），试求矩形劳动基地面积的最大值． 【分析】（1）依据题意，根据矩形面积＝长×宽求解． （2）依据题意，令y＝192，解一元二次方程求解． （3）依据题意，由点P在矩形内部可得x的取值范围，将函数解析式化为顶点式求解． 【解答】解：（1）由题意，∵AB＝x， ∴BC＝28﹣x． ∴y＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x． ∵28﹣x＞0， ∴x＜28． ∴y与x的关系式为y＝﹣x2+28x（0＜x＜28）． （2）由题意，令y＝192，则﹣x2+28x＝192， 解得x＝16或x＝12， ∴AB长为16m或12m． （3）由题意，∵点P在矩形内部， ∴． ∴解得8≤x≤14． ∵y＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196， 当x＜14时，y随x增大而增大， ∴x＝14时，y取最大值为196． 答：花园面积最大值为196 m2． 5．（2023秋•南开区期末）如图1，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD．设花圃的宽AB为x m（宽AB不大于长BC），面积为S m2． （Ⅰ）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （Ⅱ）请求出花圃ABCD能围成的最大面积，并写出此时x的值； （Ⅲ）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽均为1m的两扇小门，能否使围成的花圃面积为51m2？如果能，请直接写出花圃宽AB和长BC的值；如果不能，请说明理由． 【分析】（Ⅰ）根据矩形的面积即可写出函数关系式，并根据墙长求出自变量x的取值范围； （Ⅱ）根据（Ⅰ）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积； （Ⅲ）根据矩形的面积公式写出函数解析式，根据墙长求出x的取值范围，再令S＝51，解方程求出x的值即可． 【解答】解：（Ⅱ）∵宽AB＝x m，则长BC＝（24﹣3x）m， ∴S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x， 又x＞0，且10≥24﹣3x≥x， ∴x≤6， ∴S关于x的函数解析式为S＝﹣3x2+24x（x≤6）； （Ⅱ）S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x2﹣8x）＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵﹣3＜0， ∴当x＞4时，y随x的增大而减小， ∵x≤8， ∴当x时，S有最大值，最大值为， ∴当x时，花圃ABCD能围成的最大面积为m2； （Ⅲ）能使围成的花圃面积为51m2．理由： 设AB＝x m，则BC＝24﹣3x+2＝（26﹣3x）m， ∴S＝x•（26﹣3x）＝﹣3x2+26x， 令S＝51，则﹣3x2+26x＝51， 解得x1，x2＝3， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴x≤26﹣3x≤10， ∴x， ∴x， 此时，BC＝26﹣3x＝26﹣17＝9（m）， ∴当ABm，BC＝9m时，能使围成的花圃面积为51m2． 6．（2024•海淀区校级模拟）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2 （1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【分析】（1）设AE＝a，根据三块矩形区域的面积相等列式得出BE和a、AB和a的关系，再根据总长为160m，将a用x表示出来，然后根据矩形面积得y关于x 的函数关系，再令y＝1500，求△进行判断即可； （2）将（1）二次函数写成顶点式，从而求得y何时有最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设AE＝a，由题意得： AE•AD＝2BE•BC ∵AD＝BC ∴BEa，AB 由题意可得：2x+3a+2a＝160 ∴a＝40x ∴y＝AB•BCax（40x）x ∴yx2+60x （0＜x＜80） 令y＝1500得：x2+60x＝1500 化简得：x2﹣80x+2000＝0 ∵△＝802﹣4×2000＝6400﹣8000＜0 ∴方程无解 答：不存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2 （2）∵yx2+60x（x﹣40）2+1200 ∴当x＝40时，y有最大值，最大值是1200m2． 【类型2 路径与边界问题】 1．（2024秋•交口县期末）某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（　　） A．3米 B．2米 C．5米 D．4米 【分析】以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令y＝0，即可解答． 【解答】解：以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 如图， 设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2， 把点A（0，10）代入抛物线解析式得： a， ∴抛物线解析式：y（x﹣1）2． 当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3． ∴OB＝3米． 故选：A． 2．（2024秋•铜陵期中）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内，已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少（　　）个时，网球可以落入桶内． A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】以抛物线的对称轴为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式，由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定m的范围，根据m为正整数，得出m的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数． 【解答】解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）， ∴M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+k， ∵抛物线过点M和点B， ∴， 解得：k＝5，a， ∴抛物线解析式为：yx2+5， ∴当x＝1时，y； 当x时，y， ∴P（1，），Q（，）在抛物线上． 设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内， 由题意得：m， 解得：7m≤12． ∵m为整数， ∴m的最小整数值为：8， ∴竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球可以落入桶内． 故选：B． 3．（2023•贵州模拟）燃放烟花是一种常见的喜庆活动．如图，武汉数学小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间（单位：s）变化的规律如表： 飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5 …… 飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 …… （1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度； （3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求． 【分析】（1）设其解析式为：h＝at2+bt+c，把点（0，2），（0.5，9.5），（1，16）解方程组即可得到结论； （2）把函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论； （3）根据第二发花弹的函数表达式为h′＝﹣2（t﹣6）2+34．得到皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，于是得到h＝h′＝32＞30m，即可得到结论． 【解答】解：（1）设其解析式为：h＝at2+bt+c， 把点（0，2），（0.5，9.5），（1，16）代入得：， 解得， 故相应的函数解析式为：h＝﹣2t2+16t+2； （2）∵h＝﹣2t2+16t+2＝﹣2（t﹣4）2+34， ∴当第一枚花弹到达最高点时，t＝4， ∴第二发花弹发射4﹣2＝2（s）， 把t＝2代入h＝﹣2（t﹣4）2+34， 得h＝﹣2×（2﹣4）2+34＝26， 即第二发花弹达到的高度为26m； （3）∵这种烟花每隔2s发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同，小杰发射出的第一发花弹的函数表达式为h＝﹣2（t﹣4）2+34， ∴第二发花弹的函数表达式为h′＝﹣2（t﹣6）2+34． 皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度， 则令h＝h′，得﹣2（t﹣4）2+34＝﹣2（t﹣6）2+34， 解得t＝5，此时h＝h′＝32＞30， 故花弹的爆炸高度符合安全要求． 4．（2023•商丘四模）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线解析式为． （1）求绳子所对应的抛物线解析式（不要求写自变量的取值范围）； （2）身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？ （3）身高1.64m的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手sm，为确保绳子能通过他的头顶，请求出s的取值范围． 【分析】（1）把（0，1），（4，1）代入抛物线，得到二元一次方程组，解方程组即可； （2）由自变量的值求出函数值，再比较便可； （3）由y＝1.64时求出其自变量的值，便可确定s的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，抛物线经过点（0，1），（4，1）． ∴ 解得 ∴绳子所对应的抛物线解析式为：y． （2）身高1.70m的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶． 理由如下： ∵y，当x时， y最大值1.7． ∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶． （3）当y＝1.64时，1.64， 即x2﹣4x+3.84＝0， 解得x． ∴x1＝2.4，x2＝1.6． ∴1.6＜s＜2.4． 5．（2023•武汉模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【类型3 过桥与边界问题】 1．（2023秋•高邑县期末）一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶距离水面是2m．当水面下降1m后，水面宽度是 　 　m．（结果保留根号） 【分析】根据题意，建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将y＝﹣3代入函数解析式，求出x的值，然后即可求得水面下降1m后，水面宽度． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示， 设该抛物线的解析式为y＝ax2， 由题意可知：点（2，﹣2）在该函数图象上， ∴﹣2＝a×22， 解得a， ∴该抛物线的解析式为yx2， 当y＝﹣3时，﹣3x2， 解得x1，x2， ∴当水面下降1m后，水面宽度是：（）2（m）， 故答案为：2． 2．（2024•新化县一模）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为yx2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 　 　米． 【分析】由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长． 【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”， 可知y＝8， 把y＝8代入yx2+10得： 8x2+10， 解得x＝±9， ∴由两点间距离公式可求出EF＝18（米）． 故答案为：18． 3．（2024•宽城区一模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.01（x﹣30）2+9．据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m．若每条龙舟赛道宽度为9米，则通过拱桥的龙舟赛道最多可设计 　 　条． 【分析】依据题意，令y＝5，解方程求出x的值，求出可设计赛道的宽度，再除以9得出可设计赛道的条数． 【解答】解：由题意，当y＝5时，﹣0.01（x﹣30）2+9＝5， 解得x＝10或x＝50， ∴可设计赛道的宽度为50﹣10＝40（m）， ∵4， ∴最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 故答案为：4． 4．（2023秋•兴隆县期末）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： （1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； （2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； （3）已知一艘货船的高为2.6米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到0.1） 【分析】（1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为x轴，拱桥的最高点在y轴上，设抛物线的函数表达式为y＝ax2+4，利用待定系数法求解； （2）水位上涨了2米时，则y＝2，求出对应的x的值即可； （3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解． 【解答】解：（1）如图，AB为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以AB的中点为平面直角坐标系的原点O，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下： 则，OC＝4， ∴抛物线的顶点坐标为C（0，4），B（8，0）， ∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+4， 将B（8，0）代入，得：a⋅82+4＝0， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）在中，当y＝2时，则， 解得：， ， ∴水面上升2米后的水面宽度为米， （3）如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到O′处， ∵货船的高为2.6米，宽为3.2米， ∴米，O′E＝2.6， 设OO′＝m米，则OE＝OO′+O′E＝（m+2.6）米， ∴点F的坐标为（1.6，m+2.6）， 将F（1.6，m+2.6）代入，得： 解得m＝1.24， ∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升1.2米． 5．（2024•黄石模拟）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 【分析】（1）根据题意，可得点M及抛物线顶点P的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题知，当时，，而，即可得出结论； （3）设OB＝x，则BC＝16﹣2x，根据矩形的性质得出AD＝BC＝16﹣2x，，设l＝AB+AD+DC，进而表示出l的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米，现在O点为原点， ∴点M（16，0），顶点P（8，8）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx． 把点M（16，0），点P（8，8）代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵OM＝16，M（16，0）， ∴自变量x的取值范围为：0≤x≤16； （2）当时，， ∴能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆． （3）设OB＝x，则BC＝16﹣2x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝16﹣2x， 设l＝AB+AD+DC，则， ∴， ∵， ∴当时，l有最大值为． 答：三根木杆AB，AD，DC的长度和的最大值是20米． 6．（2024•郸城县二模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，其中长方形的长OA＝12m，宽OB＝4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用yx2+bx+c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．为安全起见，隧道正中间有宽为0.4m的隔离带． （1）求b，c的值，并计算出拱顶D到地面OA的距离． （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【分析】（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离； （2）由于抛物线的对称轴为直线x＝6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断； （3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值． 【解答】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，）， 把B（0，4），C（3，）代入yx2+bx+c得， 解得． 所以抛物线解析式为yx2+2x+4， 则y（x﹣6）2+10， 所以D（6，10）， 所以拱顶D到地面OA的距离为10m； （2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（1.8，0）或（10.2，0），当x＝1.8或x＝10.2时，y＝7.06＞6，所以这辆货车能安全通过； （3）令y＝8，则（x﹣6）2+10＝8，解得x1＝6+2，x2＝6﹣2， 则x1﹣x2＝4， 所以两排灯的水平距离最小是4m． 【类型4 利润最值问题】 1．（2023秋•龙安区期中）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表： 第x天 售价（元/件） 日销售量（件） 1≤x≤30 x+60 300﹣10x 已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？ （3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元，请直接写出结果． 【分析】（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解； （2）由y＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，即可求解； （3）令y＝﹣10x2+100x+6000＝5400，解得x＝﹣4或x＝14，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+60﹣40）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000； （2）y＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250， ∵﹣10＜0，故抛物线开口向下， 当x＝5（天）时，y取得最大值为6250（元）． ∴销售该商品第5天时，日销售利润最大，最大日销售利润6250元； （3）令y＝﹣10x2+100x+6000＝5440，解得x＝﹣4或x＝14， 故当月有14天的日销售利润不低于5440元． 2．（2023秋•武昌区校级期中）某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝20时，y＝1000，当x＝25时，y＝950． （1）求出y与x的函数关系式； （2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润； （3）如果该商店要使每天的销售利润不低于13750元，且每天的总成本不超过20000元，那么销售单价应控制在什么范围内？ 【分析】（1）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出方程； （2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答； （3）每天的销售利润不低于20000元，根据二次函数与不等式的关系求出x的取值范围，再根据每天的总成本不超过7000元，以及65≤x≤95，列不等式组即可． 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b， 将当x＝20时，y＝1000，当x＝25时，y＝950代入得： ，， y＝﹣10x+1200． （2）设销售利润为W元 W＝（x﹣40）（﹣10x+1200） ＝﹣10x2+1600x﹣48000 ＝﹣10（x﹣80）2+16000 ∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下， ∴当x＝80时，Wmax＝16000， 答：销商店销售该商品每天获得的最大利润是16000元． （3）当W＝13750时， ﹣10（x﹣80）2+16000＝13750， 解得：x1＝65，x2＝95， ∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下， ∴W≥13750时解集为：65≤x≤95， 由每天的总成本不超过20000元， 得40（﹣10x+1200）≤20000， 解得：x≥70， ∴70≤x≤95， 答：销售单价应该控制在70元至95元之间． 3．（2023秋•新洲区期中）某网店销售一种儿童玩具，每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于32元．试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出500件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售．设销售单价为x元，每天销售量为y件． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当销售单价是多少元时，网店每天获利8360元？ （3）网店决定每销售1件玩具，就捐赠a元（4＜a≤8）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为7280元，求a的值． 【分析】（1）根据原销售件数减去减少的件数即为所求； （2）根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出方程，解方程确定x的值； （3）根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出函数解析式，再根据函数的性质以及最大利润为7280元列方程，求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得，y＝500﹣10（x﹣40）＝﹣10x+900， ∵每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于32元， ∴自变量x的取值范围是40≤x≤62， ∴y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x+900（40≤x≤62）； （2）依题意得：（x﹣30）（﹣10x+900）＝8360， ∴x1＝52，x2＝68， ∵40≤x≤62， ∴x＝52， 即：当销售单价是52元时，网店每天获利8360元； （3）设利润为w元， w＝（x﹣30﹣a）（﹣10x+900）＝﹣10x2+（1200+10a）x﹣900（30+a）， 对称轴为：， ∵4＜a≤8， ∴， ∵40≤x≤62， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝62时，wmax＝7280， ∴（62﹣30﹣a）（﹣620+900）＝7280， ∴a＝6． 4．（2023秋•天门期中）某超市销售一种成本为30元/千克的食品，设第x天的销售量为n千克，销售价格为y元/千克，现已知以下条件：①y与x满足一次函数关系，且当x＝10时，y＝50；当x＝20时，y＝45；②n与x的关系式为n＝6x+60． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）设每天的销售利润为W元，在整个销售过程中，第几天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该超市把销售价格在当天的基础提高a元/千克（a为整数），那么在前30天（包含第30天）每天的销售利润随x的增大而增大，求a的最小值． 【分析】（1）设出一次函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据利润＝每千克利润×销售量列出函数关系式，再根据函数的性质求函数最值； （3）根据利润＝每千克利润×销售量列出函数关系式，求出函数对称轴，再根据在前30天（包含第30天）每天的销售利润随x的增大而增大得出对称轴大于等于30，从而得出结论． 【解答】解：（1）由题意可设y与x的函数解析式为y＝kx+b， ∵当x＝10时，y＝50；当x＝20时，y＝45， ∴， 解得：， ∴y与x的函数关系式为yx+55； （2）由题意，得 W＝（y﹣30）n ＝（x+55﹣30）（6x+60） ＝﹣3x2+120x+1500 ＝﹣3（x﹣20）2+2700， ∵﹣3＜0， ∴当x＝20时，W有最大值，最大值为2700， ∴第20天的销售利润最大，最大利润是2700元； （3）∵销售价格在当天的基础提高a元/千克， ∴W＝（y﹣30+a）n＝（x+25+a）（6x+60）＝﹣3x2+（120+6a）x+1500+60a， ∴对称轴为直线x20+a， ∵在前30天（包含第30天）每天的销售利润随x的增大而增大，﹣3＜0， ∴20+a＞29.5， 解得：a＞9.5， ∴a的最小值为10． 5．（2023•武汉模拟）某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种农产品后，分成A，B两类（A类直接销售，B类深加工后再销售），并全部售出． A类农产品的销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝﹣x+13． B类农产品深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，销售价格为9万元/吨．注：总利润＝总售价﹣总成本 （1）设其中A类农产品有x吨，用含x的代数式表示下列各量． ①B类农产品有 　 　吨； ②A类农产品所获得总利润为 　 　万元； ③B类农产品所获得总利润为 　 　万元． （2）若两类农产品获得总利润和为30万元，问A，B两类农产品各有多少吨？ （3）直接写出两类农产品获得总利润和的最大值． 【分析】（1）①根据题意可得答案； ②根据总利润＝每吨的利润×数量可得答案； ③根据总利润＝总售价﹣总费用可得答案； （2）根据题意列出方程，（﹣x2+10x）+（﹣3x+48）＝30，解方程可得答案； （3）设两类农产品总利润的和为w万元，得出w关于x的关系式，再根据二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）①B类产品有（20﹣x）吨； 故答案为：（20﹣x）； ②A类农产品所获得总利润为（﹣x+13﹣3）x＝﹣x2+10x， 故答案为：（﹣x2+10x）； ③B类农产品所获得总利润为（9﹣3）（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝﹣3x+48， 故答案为：（﹣3x+48）； （2）由题意得，（﹣x2+10x）+（﹣3x+48）＝30， 解得x1＝9，x2＝﹣2（舍去）， 20﹣x＝11， 答：A类农产品有9吨，B类农产品有11吨； （3）设两类农产品总利润的和为w万元， 则w＝（﹣x2+10x）+（﹣3x+48）＝﹣x2+7x+48＝﹣（x﹣3.5）2+60.25， 答：两类农产品总利润的和的最大值是60.25万元． 6．（2024•市南区三模）2015年年初，南方草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以3万元/吨的价格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类草莓的包装成本为1万元/吨，当甲类草莓的销售量x＜8吨时，它的平均销售价格y＝﹣x+14，当甲类草莓的销售量x≥8吨时，它的平均销售价格为6万元/吨；乙类草莓深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系为s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨． （1）某次该公司收购了20吨的草莓，其中甲类草莓有x吨，经营这批草莓所获得的总利润为w万元； ①求w与x之间的函数关系式； ②若该公司获得了30万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨？ （2）在某次收购中，该公司准备投入100万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的总利润，并求出最大的总利润． 【分析】（1）①当0≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营总成本＝wA+wB﹣3×20； ②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类草梅的数量； （2）本问是方案设计问题，总投入为100万元，这笔100万元包括购买草莓的费用+A类草梅加工成本+B类草莓加工成本．共购买了m吨草莓，其中A类草莓为x吨，B类草莓为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值． 【解答】解：（1）①设销售A类草莓x吨，则销售B类草莓（20﹣x）吨． ①当0≤x＜8时， wA＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x； wB＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x ∴w＝wA+wB﹣3×20 ＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60 ＝﹣x2+7x+48； 当x≥8时， wA＝6x﹣x＝5x； wB＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x ∴w＝wA+wB﹣3×20 ＝（5x）+（108﹣6x）﹣60 ＝﹣x+48． ∴w关于x的函数关系式为： w． ②当0≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意； 当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18． ∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类草莓有18吨． （2）设投入资金后甲类分到收购的草莓为x吨，乙类为y吨， 总投入为3（x+y）+x+12+3y＝100， 即：2x+3y＝44， 当x＜8时总利润为w＝（﹣x+14）x+9100＝﹣x2+8x+32＝﹣（x﹣4）2+48， 当x＝4时，取到最大值48； 当x≥8时，总利润w＝6x+9100＝32为常数， 故方案为收购16吨，甲类分配4吨，乙类分配12吨，总收益为48万元． 【类型5 点的运动与变速滑行】 1．（2024•沂南县二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间 的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛 出 　 　秒时，两个小球在空中的高度相同． 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到第二个小球抛出多少秒时，两个小球在空中的高度相同． 【解答】解：∵h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45， ∴该函数的对称轴是直线t＝3， ∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同， ∴第二个小球抛出3﹣0.5＝2.5秒时，两个小球在空中的高度相同， 故答案为：2.5． 2．（2023秋•江岸区校级月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间关系是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动5秒共运动的路径长是 　 　米． 【分析】根据题目中的函数解析式可以求得h的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动5秒共运动的路径长，本题得以解决． 【解答】解：∵h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45（0≤t≤6）， 当t＝3时，h取得最大值，此时h＝45， 当t＝5时，h＝25， ∴小球从抛出后运动5秒共运动的路径长是：45+（45﹣25）＝65（米）， 故答案为：65． 3．（2023秋•江夏区校级月考）已知飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝80t﹣2.5t2，则飞机着陆后滑行 　 　米才能停下来． 【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得． 【解答】解：∵s＝80t﹣2.5t2（t﹣16）2+640， ∴当t＝16时，s取得最大值640，即飞机着陆后滑行640米才能停下来， 故答案为：640． 4．（2023秋•广饶县期末）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60tt2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是　 s． 【分析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围，然后解方程即可得到结论． 【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来， 则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600， 此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来． 因此t的取值范围是0≤t≤20； 即当y＝600﹣150＝450时， 即60tt2＝450， 解得：t＝10，t＝30（不合题意舍去）， ∴滑行最后的150m所用的时间是20﹣10＝10， 故答案为：10． 5．（2023秋•思明区校级期中）如图，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）和滑行时间t1（单位s）满足二次函数关系，并测得相关数据： 滑行时间t1/s 0 1 2 3 4 滑行距离y1/s 0 4.5 14 28.5 48 滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m）和滑行时间t2（单位：s）满足：y2＝52t2﹣2t22，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23s． （1）求y1和t1满足的二次函数解析式； （2）求滑坡AB的长度． 【分析】（1）设y1＝atbt1，把（1，4.5）和（2，14）代入函数解析即可求解； （2）y2＝52t﹣2t2，函数在对称轴上取得最大值，即滑雪者停下，求出t值，即可求解． 【解答】解：（1）设y1＝atbt1， 把（1，4.5）和（2，14）代入函数解析式得，， 解得：， ∴二次函数解析式为：y1＝2.5t12+2t1…①； （2）y2＝52t﹣2t2，函数在对称轴上取得最大值，即滑雪者停下， 此时，t13， 则：滑雪者在AB段用的时间为23﹣13＝10， 把t＝10代入①式， 解得：则AB＝y1＝270（米）， 答：滑坡AB的长度270m． 6．（2023秋•通榆县校级月考）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表： 小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系． 运动时间t（s） 0 1 2 3 4 运动速度v（cm/s） 10 9.5 9 8.5 8 运动距离y（cm） 0 9.75 19 27.75 36 （1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度； （3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，则黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由． 【分析】（1）设v＝mt+n，代入（0，10），（2，9），利用待定系数法可求出m和n；设y＝at2+bt+c，代入（0，0），（2，19），（4，36），利用待定系数法求解即可； （2）令y＝64，代入（1）中关系式，可先求出t，再求出v的值即可； （3）设黑白两球的距离为w cm，根据题意可知w＝70+2t﹣y，化简，再利用二次函数的性质可得出结论． 【解答】解：（1）设v关于t的函数解析式为v＝mt+n， 将（0，10），（2，9）代入v＝mt+n中， 得， 解得，， ∴v关于t的函数解析式为vt+10； 设y关于t的函数解析式为y＝at2+bt+c， 将（0，0），（2，19），（4，36）代入y＝at2+bt+c中， 得， 解得， ∴y关于t的函数解析式为yt2+10t； （2）令y＝64，即t2+10t＝64， 解得t＝8或t＝32， 当t＝8时，v＝6； 当t＝32时，v＝﹣6（舍）， ∴黑球运动的速度为6cm/s； （3）设黑白两球的距离为w cm， 根据题意可知，w＝70+2t﹣y t2﹣8t+70 （t﹣16）2+6， ∵0， ∴当t＝16时，w的最小值为6， ∴黑白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球． 【类型6 分段函数】 1．（2023秋•硚口区期末）有一款自动热水壶，其工作方式是：常规模式下，热水壶自动加热到100℃时，自动停止加热，随后转入冷却阶段，当水温降至60℃时，热水壶又自动加热，…，重复上述过程；若在冷却过程中，按下“再沸腾”键，则马上开始加热，加热到100℃后，又重复上述程序，如图是常规模式下，冷却、加热过程中水温y（℃）与时间x（min）之间的函数图象，其中AB段是抛物线的一部分（B是该抛物线的顶点），表示冷却过程；线段BC表示加热过程． （1）直接写出抛物线AB段，线段BC分别对应的函数解析式； （2）从100℃开始冷却，其间按下“再沸腾”键，马上加热到100℃， ①若按下“再沸腾”键时，水温是82.5℃，求该冷却、加热过程一共所用时间； ②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min，直接写出按下“再沸腾”键时的水温． 【分析】（1）依据题意，运用待定系数法即可得解； （2）①依据题意，结合（1）函数解析式分别求出从100℃冷却到82.5℃所用时间、从82.5℃加热到100℃所用时间进而计算可以得解； ②依据题意，设按下“再沸腾”键时已冷却了a（min）（0＜a＜40），从而再加热到100℃用了（26﹣a）min，则按下“再沸腾”键时的水温可以表示为[（a﹣40）2+60]℃，也可以表示为{5[48﹣（26﹣a）]﹣140}℃，故可得方程（a﹣40）2+60＝5[48﹣（26﹣a）]﹣140，最后计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，AB段抛物线的顶点为B（40，60）， ∴可设抛物线为y＝a（x﹣40）2+60． 又抛物线过点A（0，100）， ∴1600a+60＝100． ∴a． ∴抛物线AB为y（x﹣40）2+60（0≤x≤40）． 由题意，设BC为y＝kx+b， 又B（40，60），C（48，100）， ∴． ∴． ∴BC为y＝5x﹣140（40＜x≤48）． （2）①若按下“再沸腾”键时，水温是82.5℃， ∴82.5（x﹣40）2+60． ∴x1＝10，x2＝70（不合题意，舍去）． ∴冷却过程所用时间为10min． 又对于函数y＝5x﹣140， 令y＝82.5， ∴x＝44.5． ∴48﹣44.5＝3.5（min）． ∴加热过程所用时间为3.5min． ∴该冷却、加热过程一共所用时间为：10+3.5＝13.5（min）． ②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min， ∴该冷却、加热过程一共所用时间为：48﹣22＝26（min）． 设按下“再沸腾”键时已冷却了a（min）（0＜a＜40）， ∴再加热到100℃用了（26﹣a）min． ∴按下“再沸腾”键时的水温可以表示为[（a﹣40）2+60]℃，也可以表示为{5[48﹣（26﹣a）]﹣140}℃． ∴（a﹣40）2+60＝5[48﹣（26﹣a）]﹣140． ∴a1＝20，a2＝260（不合题意，舍去）． ∴（20﹣40）2+60＝70． ∴按下“再沸腾”键时的水温为70℃． 2．（2023秋•江岸区期中）某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续50天均以80元/件的价格出售，第x天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z＝x+10． （1）第5天，该商家获得的利润是 　 　元；第40天，该商家获得的利润是 　 元； （2）设第x天该商家出售该产品的利润为w元． ①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？ ②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1125元的共有 　 　天？（直接填写结果） 【分析】（1）根据已知条件的第5天和第40天时的成本和销售量，则可求得第5天和第40天的利润． （2）①利用每件利润×总销量＝总利润，分情况求出函数最值即可； ②把w＝1125分别代入w＝30x+300和w＝﹣（x﹣25）2+1225中，求出x即可． 【解答】解：（1）当x＝5时，z＝5+10＝15，y＝50， ∴该商家获得的利润是（80﹣50）×15＝450（元）； 当x＝40时，z＝40+10＝50， 设直线BC的关系为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y＝x+20， 则第40天的利润为：（80﹣60）×50＝1000（元）． 故答案为：450，1000； （2）①当0≤x≤30时， w＝（80﹣50）（x+10）＝30x+300， 当x＝30时，w最大＝1200元； 当30＜x≤50时， w＝[80﹣x﹣20）]（x+10） ＝﹣x2+50x+600 ＝﹣（x﹣25）2+1225， ∵﹣1＜0，30＜x≤50，且x为正整数， ∴当x＝31时，w最大值＝1189． 综上所述，第30天的利润最大，最大利润为1200元； ②当0≤x≤30时， 若w＝1125，则30x+300＝1125， 解得x＝27.5， ∵x为正整数， ∴第28天至30天的利润都不低于1125元； 当30＜x≤50时， 令﹣（x﹣25）2+1225＝1125， 解得x1＝35，x2＝15（不合题意舍去）， ∴第31天至35天的利润都不低于1125元， 此时，当天利润不低于1125元的天数为8天． 故答案为：8． 3．（2024•郾城区一模）某医院在偏远山区组织了一次免费体检活动，包含血常规检查，当天早上居民陆续到抽血点排队，设置了6个采样速度相同的抽血窗口，并在上午8点半开始抽血，10点整之后不再有新增的排队居民．医护志愿者小聪就排队采样的时间和排队人数进行了统计，列表如表： 时间x/分钟 0 15 30 45 75 90 95 100 110 排队人数y/人 60 115 160 195 235 240 180 120 0 小聪把表格中的数据在平面直角坐标系中描点连线，得到如图所示的函数图象．在0～90分钟，y是x的二次函数（点M是其图象的顶点），在90～110分钟，y是x的一次函数． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若排队人数不少于220人，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续了多少分钟？ 【分析】（1）依据题意，由M点的坐标（90，240），可设二次函数解析式为：y＝a（x﹣90）2+240，再将（0，60）代入二次函数解析式中进行计算即可得解；设在90～110分钟，一次函数的解析式为：y＝kx+b，将（90，240），（110，0）代入计算可得一次函数的解析式； （2）依据题意，利用待定系数法将一次函数解析式求出来，然后将y＝220分别代入两个函数求出x，相减即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意，∵顶点M（90，240）， ∴可设二次函数解析式为：y＝a（x﹣90）2+240． 又抛物线过A（0，60）， ∴60＝a×902+240． ∴a， ∴在0～90分钟，二次函数解析式为：yx2+4x+60； 由题意，设在90～110分钟，一次函数的解析式为：y＝kx+b， 将（90，240），（110，0）代入得， ∴k＝﹣12，b＝1320． ∴在90～110分钟，一次函数的解析式为：y＝﹣12x+1320． 将y＝220代入yx2+4x+60中， ∴x＝60或x＝120（舍去）． 将y＝220代入y＝﹣12x+1320中， 解得：x． ∵60， ∴满负荷状态的时间为分． 4．（2024•无为市模拟）小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售．该服装初始售价为每件100元，小颖统计开业10个月以来该服装的每件售价y（元）与月份x的函数关系如图所示，该服装每件的进价z（元）与月份x的关系为． （1）①求y与x之间的函数关系式； ②第3个月每件服装的利润是多少？ （2）若小颖每个月购进该服装120件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】（1）①设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），当0≤x≤5时，由图象上点的坐标，利用待定系数法，可求出y与x之间的函数关系式；当5＜x≤10时，观察函数图象，可知y＝150； ②利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征，可求出当x＝3时，y，z的值，再将其代入y﹣z中，即可求出结论； （2）设每个月的利润为w元，利用总利润＝每件的利润×月销售量，可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质，可求出当0≤x≤5及5＜x≤10时w的最大值，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）①设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）． 当0≤x≤5时，将（0，100），（5，150）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴此时y与x之间的函数关系式为y＝10x+100； 当5＜x≤10时，y＝150． 综上所述，y与x之间的函数关系式为y； ②当x＝3时，y＝10×3+100＝130，z32+12×3+60＝81， ∴y﹣z＝130﹣81＝49， ∴第3个月每件服装的利润是49元； （2）设每个月的利润为w元，则w＝120（y﹣z）， ∴w． 当0≤x≤5时，w＝200x2﹣240x+4800， 即w＝200（x﹣0.6）2+4728， ∵200＞0， ∴当x＝5时，w取得最大值，最大值＝200×（5﹣0.6）2+4728＝8600； 当5＜x≤10时，w＝200x2﹣1440x+10800， 即w＝200（x﹣3.6）2+8208， ∵200＞0， ∴当x＝10时，w取得最大值，最大值＝200×（10﹣3.6）2+8208＝16400． ∵8600＜16400， ∴第10个月能获得最大利润，最大利润是16400元． 5．（2024•新吴区二模）某服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y（百件）与时间（t为整数，单位：天）的函数关系为：，网上商店的日销售量（百件）与时间（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示． （1）求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （2）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值． 【分析】（1）当0≤t≤10时，设y2＝kt，求得y2与t的函数关系式为：y2＝4t，当10≤t≤30时，设y2＝mt+n，将（10，40），（30，60）代入得到y2与t的函数关系式为：y2＝t+30， （2）依题意得y＝y1+y2，当0≤t≤10时，得到y最大＝80；当10＜t≤30时，得到y最大＝91.2，于是得到结论． 【解答】解：（1）当0≤t≤10时，设y2＝kt， ∵（10，40）在其图象上， ∴10k＝40， ∴k＝4， ∴y2与t的函数关系式为：y2＝4t， 当10≤t≤30时，设y2＝mt+n， 将（10，40），（30，60）代入得， 解得， ∴y2与t的函数关系式为：y2＝t+30， 综上所述，y2与t的函数关系式为y2； （2）依题意得y＝y1+y2，当0≤t≤10时，yt2+6t+4tt2+10t（t﹣25）2+125， ∴t＝10时，y最大＝80； 当10＜t≤30时，yt2+6t+t+30t2+7t+30（t）2， ∵t为整数， ∴t＝17或18时，y最大＝91.2， ∵91.2＞80， ∴当t＝17或18时，日销售总量y达到最大，最大值为91.2百件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 二次函数应用题必考六大类型 【沪科版】 【类型1 面积最值问题】 1 【类型2 路径与边界问题】 3 【类型3 过桥与边界问题】 6 【类型4 利润最值问题】 8 【类型5 点的运动与变速滑行】 9 【类型6 分段函数】 11 【类型1 面积最值问题】 1．（2024•洪山区模拟）根据以下素材，完成探索任务． 问题提出根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格之和）不高于5900元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？ 素材一 如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有16m长的墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为22m，开两个门，且门宽均为1m． 素材二 每个门的价格为250元． 素材三 与现有墙平行方向的墙建筑费用为300元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米． 问题解决 任务1 设AB＝x m，矩形ABCD的面积为S，求S关于x的函数表达式． 任务2 探究自变量x的取值范围． 任务3 确定设计方案．当AB＝　　m，BC＝　　m时，S的最大值为 　　m2．（直接填写结果） 2．（2024•东海县一模）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为60m的护栏围成一块靠墙，中间用护栏EF隔开的矩形花圃ABCD，其中EF∥AB，且墙长为30m． （1）设AB＝x（m），矩形花圃ABCD的面积为y（m2）．则y关于x的函数关系式为 　 　，x的取值范围为 　 　； （2）求矩形花圃ABCD面积的最大值； （3）在（2）的情况下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种鲜切花．甲种鲜切花的年收入W1（单位：元）与种植面积的函数关系式为W1＝30S1；乙种鲜切花的年收入W2（单位：元）与种植面积的函数关系式为，若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，求CF的长． 3．（2023秋•潜山市期末）一段长为25m的墙MN前有一块矩形ABCD空地，用90m长的篱笆围成如图所示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形AEFH和四边形CDHG是矩形，四边形EBGF是边长为5m的正方形，设CD＝x m． （1）若矩形CDHG的面积为125m2，求CD的长． （2）当CD的长为多少时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是多少？ 4．（2023秋•长沙县期末）在“校园劳动节”活动中，某劳动小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边DC和DA足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形劳动基地ABCD（篱笆只围AB和BC两边），设AB＝x m，则S矩形ABCD＝y m2． （1）求y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当矩形劳动基地的面积为192m2时，求AB的长； （3）如果在点P处有一棵树（不考虑粗细），它与墙DC和DA的距离分别是14m和8m，如果要将这棵树围在矩形劳动基地内部（含边界），试求矩形劳动基地面积的最大值． 5．（2023秋•南开区期末）如图1，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD．设花圃的宽AB为x m（宽AB不大于长BC），面积为S m2． （Ⅰ）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （Ⅱ）请求出花圃ABCD能围成的最大面积，并写出此时x的值； （Ⅲ）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽均为1m的两扇小门，能否使围成的花圃面积为51m2？如果能，请直接写出花圃宽AB和长BC的值；如果不能，请说明理由． 6．（2024•海淀区校级模拟）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2 （1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【类型2 路径与边界问题】 1．（2024秋•交口县期末）某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（　　） A．3米 B．2米 C．5米 D．4米 2．（2024秋•铜陵期中）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内，已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少（　　）个时，网球可以落入桶内． A．7 B．8 C．9 D．10 3．（2023•贵州模拟）燃放烟花是一种常见的喜庆活动．如图，武汉数学小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间（单位：s）变化的规律如表： 飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5 …… 飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 …… （1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度； （3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求． 4．（2023•商丘四模）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线解析式为． （1）求绳子所对应的抛物线解析式（不要求写自变量的取值范围）； （2）身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？ （3）身高1.64m的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手sm，为确保绳子能通过他的头顶，请求出s的取值范围． 5．（2023•武汉模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【类型3 过桥与边界问题】 1．（2023秋•高邑县期末）一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶距离水面是2m．当水面下降1m后，水面宽度是 　 　m．（结果保留根号） 2．（2024•新化县一模）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为yx2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 　 　米． 3．（2024•宽城区一模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.01（x﹣30）2+9．据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m．若每条龙舟赛道宽度为9米，则通过拱桥的龙舟赛道最多可设计 　 　条． 4．（2023秋•兴隆县期末）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： （1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； （2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； （3）已知一艘货船的高为2.6米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到0.1） 5．（2024•黄石模拟）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 6．（2024•郸城县二模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，其中长方形的长OA＝12m，宽OB＝4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用yx2+bx+c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．为安全起见，隧道正中间有宽为0.4m的隔离带． （1）求b，c的值，并计算出拱顶D到地面OA的距离． （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【类型4 利润最值问题】 1．（2023秋•龙安区期中）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表： 第x天 售价（元/件） 日销售量（件） 1≤x≤30 x+60 300﹣10x 已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？ （3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元，请直接写出结果． 2．（2023秋•武昌区校级期中）某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝20时，y＝1000，当x＝25时，y＝950． （1）求出y与x的函数关系式； （2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润； （3）如果该商店要使每天的销售利润不低于13750元，且每天的总成本不超过20000元，那么销售单价应控制在什么范围内？ 3．（2023秋•新洲区期中）某网店销售一种儿童玩具，每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于32元．试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出500件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售．设销售单价为x元，每天销售量为y件． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当销售单价是多少元时，网店每天获利8360元？ （3）网店决定每销售1件玩具，就捐赠a元（4＜a≤8）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为7280元，求a的值． 4．（2023秋•天门期中）某超市销售一种成本为30元/千克的食品，设第x天的销售量为n千克，销售价格为y元/千克，现已知以下条件：①y与x满足一次函数关系，且当x＝10时，y＝50；当x＝20时，y＝45；②n与x的关系式为n＝6x+60． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）设每天的销售利润为W元，在整个销售过程中，第几天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该超市把销售价格在当天的基础提高a元/千克（a为整数），那么在前30天（包含第30天）每天的销售利润随x的增大而增大，求a的最小值． 5．（2023•武汉模拟）某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种农产品后，分成A，B两类（A类直接销售，B类深加工后再销售），并全部售出． A类农产品的销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝﹣x+13． B类农产品深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，销售价格为9万元/吨．注：总利润＝总售价﹣总成本 （1）设其中A类农产品有x吨，用含x的代数式表示下列各量． ①B类农产品有 　 　吨； ②A类农产品所获得总利润为 　 　万元； ③B类农产品所获得总利润为 　 　万元． （2）若两类农产品获得总利润和为30万元，问A，B两类农产品各有多少吨？ （3）直接写出两类农产品获得总利润和的最大值． 6．（2024•市南区三模）2015年年初，南方草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以3万元/吨的价格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类草莓的包装成本为1万元/吨，当甲类草莓的销售量x＜8吨时，它的平均销售价格y＝﹣x+14，当甲类草莓的销售量x≥8吨时，它的平均销售价格为6万元/吨；乙类草莓深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系为s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨． （1）某次该公司收购了20吨的草莓，其中甲类草莓有x吨，经营这批草莓所获得的总利润为w万元； ①求w与x之间的函数关系式； ②若该公司获得了30万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨？ （2）在某次收购中，该公司准备投入100万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的总利润，并求出最大的总利润． 【类型5 点的运动与变速滑行】 1．（2024•沂南县二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间 的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛 出 　 　秒时，两个小球在空中的高度相同． 2．（2023秋•江岸区校级月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间关系是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动5秒共运动的路径长是 　 　米． 3．（2023秋•江夏区校级月考）已知飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝80t﹣2.5t2，则飞机着陆后滑行 　 　米才能停下来． 4．（2023秋•广饶县期末）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60tt2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是　 s． 5．（2023秋•思明区校级期中）如图，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）和滑行时间t1（单位s）满足二次函数关系，并测得相关数据： 滑行时间t1/s 0 1 2 3 4 滑行距离y1/s 0 4.5 14 28.5 48 滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m）和滑行时间t2（单位：s）满足：y2＝52t2﹣2t22，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23s． （1）求y1和t1满足的二次函数解析式； （2）求滑坡AB的长度． 6．（2023秋•通榆县校级月考）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表： 小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系． 运动时间t（s） 0 1 2 3 4 运动速度v（cm/s） 10 9.5 9 8.5 8 运动距离y（cm） 0 9.75 19 27.75 36 （1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度； （3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，则黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由． 【类型6 分段函数】 1．（2023秋•硚口区期末）有一款自动热水壶，其工作方式是：常规模式下，热水壶自动加热到100℃时，自动停止加热，随后转入冷却阶段，当水温降至60℃时，热水壶又自动加热，…，重复上述过程；若在冷却过程中，按下“再沸腾”键，则马上开始加热，加热到100℃后，又重复上述程序，如图是常规模式下，冷却、加热过程中水温y（℃）与时间x（min）之间的函数图象，其中AB段是抛物线的一部分（B是该抛物线的顶点），表示冷却过程；线段BC表示加热过程． （1）直接写出抛物线AB段，线段BC分别对应的函数解析式； （2）从100℃开始冷却，其间按下“再沸腾”键，马上加热到100℃， ①若按下“再沸腾”键时，水温是82.5℃，求该冷却、加热过程一共所用时间； ②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min，直接写出按下“再沸腾”键时的水温． 2．（2023秋•江岸区期中）某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续50天均以80元/件的价格出售，第x天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z＝x+10． （1）第5天，该商家获得的利润是 　 　元；第40天，该商家获得的利润是 　 元； （2）设第x天该商家出售该产品的利润为w元． ①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？ ②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1125元的共有 　 　天？（直接填写结果） 3．（2024•郾城区一模）某医院在偏远山区组织了一次免费体检活动，包含血常规检查，当天早上居民陆续到抽血点排队，设置了6个采样速度相同的抽血窗口，并在上午8点半开始抽血，10点整之后不再有新增的排队居民．医护志愿者小聪就排队采样的时间和排队人数进行了统计，列表如表： 时间x/分钟 0 15 30 45 75 90 95 100 110 排队人数y/人 60 115 160 195 235 240 180 120 0 小聪把表格中的数据在平面直角坐标系中描点连线，得到如图所示的函数图象．在0～90分钟，y是x的二次函数（点M是其图象的顶点），在90～110分钟，y是x的一次函数． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若排队人数不少于220人，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续了多少分钟？ 4．（2024•无为市模拟）小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售．该服装初始售价为每件100元，小颖统计开业10个月以来该服装的每件售价y（元）与月份x的函数关系如图所示，该服装每件的进价z（元）与月份x的关系为． （1）①求y与x之间的函数关系式； ②第3个月每件服装的利润是多少？ （2）若小颖每个月购进该服装120件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？ 5．（2024•新吴区二模）某服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y（百件）与时间（t为整数，单位：天）的函数关系为：，网上商店的日销售量（百件）与时间（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示． （1）求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （2）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$