重难点突破专题一 根据数字规律求数列的和（4题型+提升练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

第一章 重难点突破·专题一 根据数字规律求数列的和 学习目标 ①熟练进行理数的混合运算，会根据数字的变化找到数式的规律并进行求和； ②会根据数字的变化规律，灵活运用裂项、整体思想和换元等思想方法求一组数的和。 ·方法点拨 正整数求和（前n个数的和）、奇数求和、偶数求和： （1）， （2） 平方数的和： （3） 裂项求和： （4） （5） （6） 同底数幂求和： （7） （8） 应用整体思想求和： 案例：错位相减法求同底数幂的和 计算：的值 解：将整个式子看成一个整体，设①， 将①式两边同乘底数4，有②， 由②－①，得.即原式 【题型一：公式法求等差型数列的和）】 例1．阅读下面材料，解答提出的问题． 德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式，其推导方法如下： 设，① 则．② 由①+②，得， 所以，． 即． (1)请利用上述公式计算_________． (2)类比上述方法并证明：． (3)若（其中为正整数），直接写出的值． 【答案】(1)1275 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查有理数的加法运算． （1）根据题干给出的结论，列式计算即可； （2）设①，则②，两式相加，除以2，即可得证； （3）同（2）法求出，进而得到，即可求出的值． 掌握题干中求连续的个数的和的计算方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：； 故答案为：1275； （2）设，① 则，② 由①+②，得 所以， 即 （3）设①，则：②， 由①+②，得， ∴， ∴ ∵，为正整数， ∴， ∴． 【题型二：裂项法求一些特殊的分数的和】 例2． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算． 观察数据，，，……，可总结出规律①；又，，……则总结出规律②；据此计算即可． 【详解】 （5）解： ． 变式2-1．（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键． （1）利用规律，将转化为进行计算即可； （2）利用规律，将转化为进行计算即可； （3）将转化为，再利用规律解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 变式2-2．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）阅读下面的文字，完成解答过程． (1)，，，挍照等号右边的形式直接写出结果：______． (2)尝试并计算：； (3)根据上述方法计算：； (4)[拓展]观察：，，， 计算：； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算， （1）分析所给的等式的形式，从而可求解即可； （2）利用所给的式子的形式，把各项进行拆项，从而可求解； （3）仿照所给的式子的形式进行求解即可； （4）根据所给的式子的形式进行求解即可．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】（1）由题意得：， 故答案为：； （2） ； （3） ； （4） ． 【题型三：整体思想和错位相减法求同底数幂的和】 例3．观察下列解题过程： 计算：的值 解：设①， 则②， 由②－①，得.即原式 通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】利用所给的解答方式进行求解即可． 【详解】解：设①， 则②， 由②①，得． ∴， 即原式． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律和有理数的乘方，解答的关键是理解清楚题目所给的解答方式并灵活运用． 【题型四：运用整体与换元思想求和】 例4．计算． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，有理数乘法运算律，令，，将原式改写成含字母A、B的式子，再根据乘法分配律将式子化简，最后再把A、B换回原来的式子计算出结果． 【详解】解：令，， 原式 ． 变式4．（2020·安徽·二模）观察下列式子： ①； ②； ③； ④； …… （1）第⑥个式子为 ，第（为正整数）个式子为 ； （2）求值：． 【答案】（1），；（2） 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】（1）观察①到④得到等式的特点，直接根据规律写出第⑥个，第个等式， （2）先把求值的代数式分两组，使用列项相消法求解即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：，． （2）原式 ． 【点睛】本题考查的是数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得的规律，同时考查列项相消求和，掌握 是解题关键． 例5．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）观察下列算式： ，，①，②， ，， (1)①________，②________； (2)求的个位数字． 【答案】(1)；； (2)． 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】（）根据乘方的定义计算即可求解； （）由题意找到个位数字的规律，求出所求算式的个位数字之和，即可求解； 本题考查了有理数的运算，根据算式的结果找到个位数字的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； ， 故答案为：； （2）解：∵，，，，，，， ∴个位数字按照的规律循环， 又∵， ∴的个位数字之和为： ， ∴为． 1．． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则以及通过观察题目找出规律，利用裂项的化简方法是解题的关键，通过观察题目可以看出，，算式的第三项可以和第四项相加为0，直至最后一项，因此分式最终可以化简为． 【详解】解：原式 ． 2．课本再现：填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 【答案】（）；（）见解析；（）见解析，． 【知识点】有理数加法运算 【分析】（）根据图中数据计算即可作答； （）先将已知的个数求和，再除以即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可； （）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （）， 即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于， 根据幻方的特点可知：从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起， 即三阶幻方如下： （答案不唯一） （）解：将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为． 3．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：＝ ＝ ； (2)用含有n的代数式表示第n个等式：＝ （n为正整数）； (3)求 的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】（1）根据所给的等式的形式求解即可； （2）根据所给的等式，进行总结可得出规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 第5个等式：； 故答案为：，． （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． …… 以此规律可得，， 故答案为：． （3）解： ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律并灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 重难点突破·专题一 根据数字规律求数列的和 学习目标 ①熟练进行理数的混合运算，会根据数字的变化找到数式的规律并进行求和； ②会根据数字的变化规律，灵活运用裂项、整体思想和换元等思想方法求一组数的和。 正整数求和（前n个数的和）、奇数求和、偶数求和： （1）， （2） 平方数的和： （3） 裂项求和： （4） （5） （6） 同底数幂求和： （7） （8） 应用整体思想求和： 案例：错位相减法求同底数幂的和 计算：的值 解：将整个式子看成一个整体，设①， 将①式两边同乘底数4，有②， 由②－①，得.即原式 【题型一：公式法求等差型数列的和）】 例1．阅读下面材料，解答提出的问题． 德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式，其推导方法如下： 设，① 则．② 由①+②，得， 所以，． 即． (1)请利用上述公式计算_________． (2)类比上述方法并证明：． (3)若（其中为正整数），直接写出的值． 【题型二：裂项法求一些特殊的分数的和】 例2． 变式2-1．（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 变式2-2．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）阅读下面的文字，完成解答过程． (1)，，，挍照等号右边的形式直接写出结果：______． (2)尝试并计算：； (3)根据上述方法计算：； (4)[拓展]观察：，，， 计算：； 【题型三：整体思想和错位相减法求同底数幂的和】 例3．观察下列解题过程： 计算：的值 解：设①， 则②， 由②－①，得.即原式 通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算： 【题型四：运用整体与换元思想求和】 例4．计算． 变式4．（2020·安徽·二模）观察下列式子： ①； ②； ③； ④； …… （1）第⑥个式子为 ，第（为正整数）个式子为 ； （2）求值：． 例5．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）观察下列算式： ，，①，②， ，， (1)①________，②________； (2)求的个位数字． 1．． 2．课本再现：填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 3．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：＝ ＝ ； (2)用含有n的代数式表示第n个等式：＝ （n为正整数）； (3)求 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$