重难点突破专题一 数字规律探索-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

第2章重难点突破 专题一 数字规律探索 学习目标 ①会根据给定的式子，抽象概括出相应的数字规律，表达出通项算式； ②根据通项算式，灵活使用数学思想方法求算式的的前n项和。 ·知识提要 奇数的表示：2n-1（n为正整数）；偶数的表示：2n（n为自然数） 隔项符号不同的表示：首项为正数：；首项为负数： ·常见数列的通项 (1)1，2，3，4，5，…，第n个算式为 (2)1，3，5，7，9，…，第n个算式为； (3)2，4，6，8，10，…，第n个算式为； (4)1，2，4，8，16，…，第n个算式为； (5)1，3，9，27，81，…，第n个算式为； (6)1，4，9，16，25，…，第n个算式为； (7)2，6，12，20，30，…，第n个算式为； (8)1，，，，，…，第n个算式为； (9)1，1，1，1，1，…，第n个算式为； (10)1，1，1，1，1，…，第n个算式为； (11)，…，第n个算式为或； (12)1，3，6，10，15，…，第n个算式为； ·先根据数字的变化规律，用含n的式子表示通项（第n个算式） ·根据通项算式解决求和问题：一共两类求和问题 （1）利用公式求和 ①； ②； ③ ④同底数幂的和： （2）利用数学思想方法求和 裂项、换元、整体错位相减等 例1．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题是规律探究类题型，解题的关键是总结出规律，也考查了绝对值和平方的非负性． （1）根据题中所给等式关系，即可分别求解； （2）根据（1）中所给等式关系，即可分别求解； （3）由非负性可得，代入式子中化简即可求解； 【详解】（1）解：根据第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据以上规律可得第个算式为：； （2）解： 根据（1）中规律， 则； （3）解：∵， ∴， 则 ． 例2．观察算式：；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：（   ）； (2)用含n的等式表示上面的规律 ；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)9； (2)； (3)． 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，含乘方的有理数混合运算，代数式表示式，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键． （1）根据题干规律直接解题即可； （2）根据题干规律总结，即可找出规律为； （3）利用（2）中规律将原式变换为，即可推出中间项可全部约去，最后直接计算第一项和最后一项约分后剩下乘积的即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：， ， ， ， 依次类推， 可得规律为： ； （3）解： ， ． 例3．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）仔细观察下列等式： 第一个：第二个：第三个： 第四个：…… (1)请你写出第六个等式：___________； (2)请写出第n个等式：___________；（用含字母n的等式表示）； (3)运用上述规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据题目中的式子，可以发现数字的变化特点，从而写出第6个等式 （2）根据题目中等式的变化规律，可以写出第n个等式 （3）根据所求式子的特点和（2）中的结果，可以求得所求式子的值 【详解】（1）第一个： 第二个： 第三个： 第四个： 第五个： ∴第六个： （2）第一个：，即 第二个：，即 第三个：，即 第四个：，即 ∴第个等式应该是 （3） 【点睛】本题考查的是数字的变化类题型，根据题中所给出的式子找出规律是解答此题的关键 1.（22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_____________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证当时，猜想成立． 【答案】(1) (2) 【知识点】数字类规律探索 【分析】（1）根据给出的式子，写出第四个等式即可； （2）根据给出的式子，抽象概括出第个等式即可，将代入，计算验证即可． 【详解】（1）解：由题意，得： 第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第个等式： ； 当时：等式左边：； 等式右边 ； 等式左边等于右边， ∴猜想成立． 【点睛】本题考查数学规律探究．根据给定的式子，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键． 2．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）观察算式∶ ①；② ③；④ ；……．根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5 个算式∶ _________________； (2)写出第n个算式∶___________________； (3)计算∶ ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是发现算式中的规律并灵活运用． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）利用所给的等式的形式，把所求的式子进行整理，从而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：第个算式为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：第个算式为：， 故答案为：； （3）解： ． 3．观察下面算式的演算过程：                        …… （1）根据上面的规律，直接写出下面结果： ______________．     ____________． _________________．（为正整数） （2）根据规律计算： ． 【答案】（1），，；（2）． 【知识点】有理数加法运算、多个有理数的乘法运算、乘方的应用 【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得； （2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得． 【详解】（1）， ， ， 故答案为：，，； （2）原式， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关键． 4．（22-23七年级上·安徽淮南·期中）将连续的奇数1，3，5，7，⋯排成如图的数表，用图中所示的十字框可任意框出5个数． [探究规律一]：设十字框中间的奇数为a，则框中五个奇数之和用含a的代数式表示为 　 　； [结论]：这说明能被十字框框中的五个奇数之和一定是自然数p的奇数倍，这个自然数p是 　 　． [探究规律二]：落在十字框中间且又是第二列的奇数是15，27，39，51⋯则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数），同样，落在十字框中间且又是第三列，第四列的奇数分别可表示为 　 　，　 　（用含m的式子）； [运用规律]： （1）已知被十字框框中的五个奇数之和为6025，则十字框中间的奇数是 　 　；这个奇数落在从左往右第 　 　列； （2）被十字框框中的五个奇数之和可能是425吗？可能是2025吗？说说你的理由． 【答案】[探究规律一]：，[结论]：5；[探究规律二]：，；（1）1205；在第3列；（2）不可能是425，可能是2025，理由见解析． 【知识点】数字类规律探索 【分析】探究规律一：可设正中间的数为a，根据表中框的数得到其余数的表示方法，相加即可；看含有哪个因数即可； 探究规律二：若为第二列的奇数，起始数为3，每相邻2个数之间的数相隔12，那么这列的数是在3的基础上增加几个12； 同理可得其余列数中的奇数与各列起始数之间的关系即可； 运用规律：（1）即可得到中间的数，根据中间的数÷12得到的余数，看符合第一行中的哪个奇数，即可得到相应的列数； （2）除以5后看在哪一列，若在最左边一列或最右边一列则不能反之则能． 【详解】解：探究规律一：设正中间的数为a，易得上下，左右2数之和均为中间数的2倍，则5个数之和为；其中含有因数5，所以一定是5的倍数； 故答案为：5a；5； 探究规律二：若为第三列的奇数，起始数为5，每相邻2个数之间的数相隔12， ∴这列的数为：； 同理可得第四列的奇数分别可表示为． 故答案为：，． （1）；，所以在第3列， （2）不可能是425，可能是2025． 理由：∵， 又中间的数不可能在第一列， 五个奇数之和不可能是； 同理：， 中间的数在第五列， 则五个奇数之和有可能是2025 【点睛】本题考查的是有理数的规律型，解题的关键是仔细观察已有数据的特点，从而得出规律． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章重难点突破 专题一 数字规律探索 学习目标 ①会根据给定的式子，抽象概括出相应的数字规律，表达出通项算式； ②根据通项算式，灵活使用数学思想方法求算式的的前n项和。 奇数的表示：2n-1（n为正整数）；偶数的表示：2n（n为自然数） 隔项符号不同的表示：首项为正数：；首项为负数：(1)1，2，3，4，5，…，第n个算式为 (2)1，3，5，7，9，…，第n个算式为； (3)2，4，6，8，10，…，第n个算式为； (4)1，2，4，8，16，…，第n个算式为； (5)1，3，9，27，81，…，第n个算式为； (6)1，4，9，16，25，…，第n个算式为； (7)2，6，12，20，30，…，第n个算式为； (8)1，，，，，…，第n个算式为； (9)1，1，1，1，1，…，第n个算式为； (10)1，1，1，1，1，…，第n个算式为； (11)，…，第n个算式为或； (12)1，3，6，10，15，…，第n个算式为； ·先根据数字的变化规律，用含n的式子表示通项（第n个算式） ·根据通项算式解决求和问题：一共两类求和问题 （1）利用公式求和 ①； ②； ③ ④同底数幂的和： （2）利用数学思想方法求和 裂项、换元、整体错位相减等 例1．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 例2．观察算式：；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：（   ）； (2)用含n的等式表示上面的规律 ；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题：计算：． 例3．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）仔细观察下列等式： 第一个：第二个：第三个： 第四个：…… (1)请你写出第六个等式：___________； (2)请写出第n个等式：___________；（用含字母n的等式表示）； (3)运用上述规律，计算：． 1.（22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_____________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证当时，猜想成立． 2．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）观察算式∶ ①；② ③；④ ；……．根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5 个算式∶ _________________； (2)写出第n个算式∶___________________； (3)计算∶ 3．观察下面算式的演算过程：                        …… （1）根据上面的规律，直接写出下面结果： ______________．     ____________． _________________．（为正整数） （2）根据规律计算： ． 4．（22-23七年级上·安徽淮南·期中）将连续的奇数1，3，5，7，⋯排成如图的数表，用图中所示的十字框可任意框出5个数． [探究规律一]：设十字框中间的奇数为a，则框中五个奇数之和用含a的代数式表示为 　 　； [结论]：这说明能被十字框框中的五个奇数之和一定是自然数p的奇数倍，这个自然数p是 　 　． [探究规律二]：落在十字框中间且又是第二列的奇数是15，27，39，51⋯则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数），同样，落在十字框中间且又是第三列，第四列的奇数分别可表示为 　 　，　 　（用含m的式子）； [运用规律]： （1）已知被十字框框中的五个奇数之和为6025，则十字框中间的奇数是 　 　；这个奇数落在从左往右第 　 　列； （2）被十字框框中的五个奇数之和可能是425吗？可能是2025吗？说说你的理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$