专题2.7 直线和圆的方程（基础巩固卷）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.7 直线和圆的方程（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高三下·浙江·学业考试）已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相交 D．相切 2．（23-24高二上·北京·期末）若两条直线ax+2y﹣1=0与x﹣2y﹣1=0垂直，则a的值为 A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 3．（2024·云南昆明·模拟预测）若直线过点且被圆截得的弦长为6，则直线的方程是（    ） A．或 B． C． D．或 4．（23-24高二上·北京·期中）点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二上·安徽亳州·阶段练习）“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024高二上·江西南昌·阶段练习）已知两平行直线与之间的距离是，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 7．（2024高二下·浙江·阶段练习）若直线与曲线有两个交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽马鞍山·一模）已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆F：的圆心，有两顶点恰好是圆F与y轴的交点．若椭圆C上恰好存在两点关于直线y=x+t对称，则实数t的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024-2025高二·全国·课后作业）已知直线l的方程是，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则直线l不过原点 B．若，则直线l必过第四象限 C．若直线l不过第四象限，则一定有 D．若且，则直线l不过第四象限 10．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知二次函数的图像交x轴于A，B两点，交y轴于C点，圆F过A，B，C三点，下列说法正确的是（    ） A．圆心F在直线上 B．m的取值范围是 C．圆F面积的最小值为 D．存在定点G，使得圆F恒过点G 11．（2024·全国·模拟预测）过点的直线与圆交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且，则（    ） A．面积的最大值为 B．面积的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024·河南商丘·模拟预测）已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为 . 13．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知直线的方程为，直线的方程为，则直线的斜率为 ，直线与的距离为 . 14．（24-25高一·全国·课后作业）如果三条直线，和将平面分为六个部分，那么实数的取值集合为 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高一下·江苏苏州·期中）求适合下列条件的直线的方程： （1）直线在两坐标轴上的截距相等，且到直线的距离为； （2）直线经过点且与点和点的距离之比为. 16．（24-25高二上·河南郑州·阶段练习）已知实数x，y满足方程． (1)求的最值； (2)求的最值． 17．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知圆过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于两点，求两个圆公共弦的长. 18．（23-24高二上·河南南阳·期中）在平面直角坐标系中，点，，，圆M为的外接圆. (1)求圆M的标准方程； (2)过点作直线l，被圆M截得的弦长为，求直线l的方程. 19．（2024高二·黑龙江哈尔滨·学业考试）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切，直线与圆交于、两点，且的面积为． (1)求圆的方程； (2)当圆的圆心在第一象限时，过点作圆的切线，求切线方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 直线和圆的方程（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高三下·浙江·学业考试）已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相交 D．相切 【答案】B 【分析】计算出两圆的圆心距，判断圆心距与两个圆的半径之和的大小关系即可. 【详解】由题意得：,,因为，所以两圆外离. 故选：B 【点睛】本题主要考查了两个圆的位置关系，熟练掌握两圆内含、外离、相交、相切满足的条件，属于基础题. 2．（23-24高二上·北京·期末）若两条直线ax+2y﹣1=0与x﹣2y﹣1=0垂直，则a的值为 A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 【答案】C 【解析】利用直线与直线垂直的性质直接求解． 【详解】因为两条直线与垂直， 所以， 解得． 故选：． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（2024·云南昆明·模拟预测）若直线过点且被圆截得的弦长为6，则直线的方程是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据直线是否存在斜率，结合圆的垂径定理、点到直线距离公式分类讨论求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线与圆相交于，两点，所以弦长为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，圆的半径为， 圆心到直线的距离，由垂径定理可知：可得， 即，所以，直线的方程为， 故选：A． 4．（23-24高二上·北京·期中）点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点关系可得，根据斜率关系可得，解方程组求解，即可． 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 可得，① 斜率，②． 由①②解得：． 则点关于直线的对称点坐标为． 故选：B． 5．（2024高二上·安徽亳州·阶段练习）“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用两直线的位置关系分类讨论及充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】当时，直线和直线平行 且或； 当时，直线和直线不平行； 当时，直线和直线不平行． 所以“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件. 故选：C． 6．（2024高二上·江西南昌·阶段练习）已知两平行直线与之间的距离是，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】首先根据斜率相等求出，再根据两平行线的距离公式：求出的值即可. 【详解】两条直线平行，所以，解得， 所以直线。 又直线与直线之间的距离是， 则，解得或（舍去）， 所以. 故选：B 【点睛】本题考查了两平行线间的距离公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 7．（2024高二下·浙江·阶段练习）若直线与曲线有两个交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可得曲线表示以为圆心，2为半径的圆的左半圆，直线过定点，化成图形，数形结合可求. 【详解】由整理可得，且， 故曲线表示以为圆心，2为半径的圆的左半圆， 直线过定点， 由图可知，且， 则要使直线与曲线有两个交点，满足, 故k的取值范围是. 故选：D. 8．（2024·安徽马鞍山·一模）已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆F：的圆心，有两顶点恰好是圆F与y轴的交点．若椭圆C上恰好存在两点关于直线y=x+t对称，则实数t的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得圆的圆心，可得椭圆的，求得圆与轴的交点，可得，进而得到，可得椭圆方程，设出椭圆上关于直线对称的两点连线的方程为，设两点的坐标为，，，，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，可得中点坐标代入已知直线，可得，的关系，进而得到所求范围． 【详解】的圆心为，可得椭圆的， 圆与轴的交点为，可得椭圆的， 可得， 即有椭圆方程为， 设椭圆上关于直线对称的两点连线的方程为， 设两点的坐标为，，， 由，得， △， ，， 设．的中点，， 则，， 中点在上， ，即，得． 故选． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024-2025高二·全国·课后作业）已知直线l的方程是，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则直线l不过原点 B．若，则直线l必过第四象限 C．若直线l不过第四象限，则一定有 D．若且，则直线l不过第四象限 【答案】ABD 【分析】根据直线一般式的特点依次判断即可. 【详解】对A，若，则都不等于0，当时，，所以直线l不过原点，故A正确； 对B，若，则直线斜率，则直线一定过第二四象限，故B正确； 对C，若直线l不过第四象限，若有直线过第一二象限时，此时，则，故C错误； 对D，若且，则，所以直线的斜率大于0，在轴上截距小于0，所以直线经过第一二三象限，不经过第四象限，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知二次函数的图像交x轴于A，B两点，交y轴于C点，圆F过A，B，C三点，下列说法正确的是（    ） A．圆心F在直线上 B．m的取值范围是 C．圆F面积的最小值为 D．存在定点G，使得圆F恒过点G 【答案】ACD 【分析】结合抛物线的对称性和圆的对称性即可判断A选项； 根据判别式即可判断B选项； 求出与坐标轴的交点代入所设圆的方程，得到与的关系，从而结合二次函数的最值问题即可判断C选项； 将圆的方程整理成，进而得到，即可求出定点，从而判断D选项. 【详解】因为抛物线的对称轴方程为，且圆心必然经过的中垂线， 故圆心F在直线上，所以A正确； 因为有两个不同的根， 所以，解得且，所以B错误； 设圆F的方程为， 因为有两个不同的根， 所以点，在圆上， 所以， 可求得，． 因为且，所以， 所以圆F面积的最小值为，C正确； 由上可知圆F的方程为， 整理得， 令，解得或， 即圆F恒过点和，D正确． 故选：ACD. 11．（2024·全国·模拟预测）过点的直线与圆交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且，则（    ） A．面积的最大值为 B．面积的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】设圆心C到直线AB的距离为d，求出，即可判断C；再由，求出面积的最大值即可得出判断出A，B；求的最小值转化为求的最小值即可得出判断出D. 【详解】设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得，， 则， 当时，，故A错误，B正确. 由，知，C正确. 如图，过圆心C作于E，则E为MN的中点，又，则，即点E的轨迹为圆.因为，且， 所以的最小值为，故D正确. 故应选：BCD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024·河南商丘·模拟预测）已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】由两圆外切，两圆心所在直线与圆中弦的垂直平分线交点即为，再求出半径，即可得圆的方程. 【详解】如图所示： 过点和的直线方程为，以点和点为端点的线段的垂直平分线为. 由得，则圆的半径， 所以圆的方程为. 故答案为： 13．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知直线的方程为，直线的方程为，则直线的斜率为 ，直线与的距离为 . 【答案】 【分析】直线的一般方程化为截距式方程即可求得斜率，判断出两直线平行，利用平行直线间的距离公式进行求解. 【详解】直线的方程为即为，斜率为. 因为直线的方程为即为， 所以直线与平行，则直线与的距离为. 故答案为：； 【点睛】本题考查直线的斜率、平行直线间的距离公式，属于基础题. 14．（24-25高一·全国·课后作业）如果三条直线，和将平面分为六个部分，那么实数的取值集合为 . 【答案】，， 【分析】根据三条直线把平面分为六个部分，分析直线的位置关系，分别求出a的值. 【详解】若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面分成7部分； 如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立， ①是过另外两条直线的交点， 由和的交点是，代入解得： ； ②是这条直线与另外两条直线平行， 当和平行，只需，解得； 当和平行，只需此时. 综上，的取值集合是，，. 故答案为：，，. 【点睛】解析几何中判断直接利用两直线平行的方法: (1)若两直线斜率都不存在, 两直线平行； (2)两直线的斜率都存在,且k1=k2,b1≠b2,则两直线平行； (3)若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A1B2=A2B1,B1C2≠B2C1. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高一下·江苏苏州·期中）求适合下列条件的直线的方程： （1）直线在两坐标轴上的截距相等，且到直线的距离为； （2）直线经过点且与点和点的距离之比为. 【答案】（1）答案见解析；（2）或. 【分析】（1）对直线是否过原点进行分类讨论，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，进而可得出直线的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，由此可得出直线的方程. 【详解】（1）若直线过原点，可设直线的方程为， 由题意可得，解得； 若直线不过原点，可设直线的方程为，即， 由题意可得，解得或. 综上所述，直线的方程为或或或； （2）若直线的斜率不存在，直线的方程为， 此时，点、到直线的距离分别为、，不合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即. 由已知条件可得，整理得，解得或. 综上所述，直线的方程为或，即或. 【点睛】易错点点睛：本题考查利用点到直线的距离求直线方程，需要注意以下两点： （1）求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论； （2）在用截距式时，应先判断截距是否为，若不确定，则需分类讨论. 16．（24-25高二上·河南郑州·阶段练习）已知实数x，y满足方程． (1)求的最值； (2)求的最值． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)的最大值为；最小值为 【分析】（1）设，由几何意义得到当l与圆C相切时，t达到最大或最小值，由点到直线距离公式求出答案； （2）由的几何意义，数形结合得到当P、O、C三点共线时，达到最大值或最小值，求出答案. 【详解】（1）令，即对应直线l, 将直线l平移，当l与圆C：相切时，t达到最大或最小值， 由，得， ∴t的最小值为，最大值为； （2）满足的点在以为圆心，半径为的圆上， 其中，    ∵当P、O、C三点共线时，达到最大值或最小值， ∴当圆C上的点P在OC延长线上时，的最大值为， 得到的最大值为； 当圆C上的点P在线段OC上时，的最小值为， 得到的最大值为． 综上所述，的最大值为，最小值为． 17．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知圆过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于两点，求两个圆公共弦的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）通过解方程组求出交点坐标，结合两点间距离公式进行求解即可.. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 所以有； （2）由，或，即， 所以.    18．（23-24高二上·河南南阳·期中）在平面直角坐标系中，点，，，圆M为的外接圆. (1)求圆M的标准方程； (2)过点作直线l，被圆M截得的弦长为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法先求圆的一般方程再化为标准方程即可； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离，设直线l方程，计算即可. 【详解】（1）设圆M的方程为， 因为圆M为的外接圆， 所以，解得， 所以圆M的方程为， 故圆M的标准方程为. （2）由上可知圆心，半径， 因为过点作直线l，被圆M截得的弦长为， 所以可得圆心到直线l的距离为. 当l的斜率不存在时，方程为，满足题意； 当l的斜率存在时，设方程为，即， 由，解得， 所以直线l的方程为，即. 综上所述，所求直线l的方程为或. 19．（2024高二·黑龙江哈尔滨·学业考试）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切，直线与圆交于、两点，且的面积为． (1)求圆的方程； (2)当圆的圆心在第一象限时，过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】(1)或 (2)或. 【分析】（1）根据圆心在直线上，可设圆心的坐标为，利用点到直线的距离公式和弦长公式求出三角形的高以及弦长，代入面积公式，解方程即可得解； （2）要求圆的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，分切线斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上， 所以设圆心的坐标为，则半径为. 所以圆心到直线的距离为， ， 则， 由，解得：， 当时，圆心，半径，此时圆的方程为：， 当时，圆心，半径，此时圆的方程为：， 所以符合条件的圆的方程为或. （2）当圆的圆心在第一象限时，圆的方程为：， 点在圆外， 当过点直线斜率不存在时，直线为满足与圆相切， 当过点直线斜率存在时，设切线方程为：即， 圆心到切线的距离为， 整理可得：，所以， 所以，即， 所以过点的圆的切线方程为：或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$