专题3.1 函数的概念及其表示（6类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题3.1 函数的概念及其表示 【考点1：函数的概念及其构成要素】 1 【考点2：函数的定义域及其求法】 5 【考点3：函数的值域】 8 【考点4：函数解析式的求法】 14 【考点5：分段函数的解析式及图象】 19 【考点6：判断两个函数是否为同一函数】 23 【考点1：函数的概念及其构成要素】 【知识点：函数的概念及其构成要素】 函数 两集合A，B 设A，B是两个非空的数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 1．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义一一判定选项即可. 【详解】根据函数的定义可知，中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应， 显然A、B、C符合题意， 而D选项中，E中的元素在中有两个元素对应，不符合函数的定义. 故选：D 2．（2024高三·全国·专题练习）下列图象中，不能作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义知，定义域内的任意的自变量，只能有唯一的与对应，逐项判定，即可求解. 【详解】根据函数的定义知，对于定义域内的任意的自变量，只能有唯一的与对应， 选项ABD中，每一个都有唯一的与对应，满足函数的定义，可以表示函数； 选项C中，出现一个都有两个与对应，不满足函数的定义，不可以表示函数. 故选：C. 3．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据的图像可知，，根据表格即可求得. 【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，. 故选：B 4．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 5．（多选）（24-25高一上·全国·课堂例题）下列集合到集合的对应关系是函数的是（    ） A．，，：A中的数平方 B．，，：A中的数开方 C．，，：A中的数取倒数 D．，，：A中的数取绝对值 【答案】AD 【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为， 所以集合中的任意元素都在集合中对应着唯一的函数值，所以A正确， 对于B，集合中的元素1对应集合B中的元素，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件，所以B错误， 对于C，集合中的元素0取倒数没有意义，不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求，所以C错误， 对于D，因为任意实数的绝对值都是非负的，且是唯一的， 所以集合中的任意元素都在集合中对应着唯一的函数值，所以D正确， 故选：AD 6．（23-24高一上·天津北辰·期中）已知函数，若则a的值为 ． 【答案】-2或1 【分析】把a代入函数表达式解方程即可得出结果. 【详解】由，解得或者， 故答案为：-2或1. 7．（24-25高一上·四川内江·开学考试）已知函数，计算 ． 【答案】 【分析】先求出，再观察所求，倒序相加即可得解. 【详解】由，得， 所以 . 故答案为：. 8．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，其中. (1)若，求实数的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，由，列出方程，即可求解； （2）根据题意，得到，结合一元二次不等式不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）由函数，因为，可得，解得. （2）因为，可得，即， 当时，解得，所以不等式的解集为； 当时，解得或，所以不等式的解集为， 综上可得，当时，解集为；当时，解集为. 【考点2：函数的定义域及其求法】 【知识点：函数的定义域及其求法】 ①常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． ②对于抽象函数定义域的求解 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为. 故选：A 2．（23-24高一上·江苏常州·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由且可求得结果. 【详解】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C 3．（24-25高一上·广西钦州·开学考试）函数的定义域是指自变量的取值范围，则函数的定义域为（    ） A． B．且 C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意知，解不等式即可求解. 【详解】根据题意，要使函数有意义，需满足，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 4．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可. 【详解】的定义域为， ，解得：， 的定义域为. 故选：B. 5．（24-25高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意得，解出该不等式组即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为. 故选：A. 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）若的定义域是，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式求解即可. 【详解】∵， ∴， ∴的定义域为． 故答案为：. 7．（24-25高一上·全国·单元测试）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由根式、分式的定义域，解不等式组得到定义域. 【详解】解不等式组得，故函数的定义域是． 故答案为：. 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）函数的定义域为 ． （2）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】（1）由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可； （2）由二次根式的被开方数非负和零次幂的底数不为零，列不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意得，即，解得， 所以的定义域为； （2）由题意得，解得且， 所以的定义域为． 故答案为: ， 【考点3：函数的值域】 【知识点：函数的值域】 求函数值域的常用方法 方法 步骤 观察法 第一步 观察函数中的特殊函数； 第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 分离常数法 第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式； 第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域. 配方法 第一步 将二次函数配方成； 第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 换元法 第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 基本不等式法 第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数； 第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域. 1．（23-24高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可. 【详解】函数的定义域和值域都为R，A正确； 的定义域为，值域为，B错误； 的定义域为R，值域为，C错误； 的定义域为R，值域为，D错误. 故选：A 2．（多选）（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 【答案】AB 【详解】利用函数值域的求解方法求解. 【分析】对A，因为，所以，A正确； 对B，因为，所以，B正确； 对C，，C错误； 对D，， 因为，所以，， 所以，D错误. 故选：AB. 3．（24-25高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解. 【详解】因为，令，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 所以在内的值域为， 即在内的值域为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分离常数法可得解； （2）换元，令，，，再由二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）， 显然，所以， 故函数的值域为： （2）设，则，且， 所以，，    结合函数的图象可得原函数的值域为. 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 6．（23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据题意化简得，结合基本不等式，即可得到结果； （2）根据题意，将函数化简变形为，再结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】（1）， 当且仅当时等号成立，则函数值域为. （2）因为， ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为，此时. 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）判断函数的单调性，求出区间端点函数值，即可得解； （2）首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解； （3）利用分离常数法及反比例函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 8．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 【考点4：函数解析式的求法】 【知识点：求函数解析式的四种方法】 1．（2024高三·北京·专题练习）已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数，设，准确运算，即可求解. 【详解】设， 因为，可得， 又因为，可得， 即，所以, 解得，所以． 故答案为：. 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）若函数，则 . 【答案】 【分析】利用配凑法求解函数的解析式即可. 【详解】函数，又的值域为， ， 故答案为：. 3．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）求下列函数解析式 (1)函数满足， 求函数的解析式; (2)函数满足，求函数的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，用换元法进行求解； （2）用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. 【详解】（1）令，则(R)，又， 所以， 所以函数的解析式为. （2）∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）利用换元法或配凑法求解即可； （2）利用待定系数法，令，然后结合已知条件化简列方程组可求出，从而可求出； （3）将已知等式中的用替换，得到另一个式子，与已知等式联立可求出. 【详解】（1）方法一  （换元法）： 令，则，， 所以， 所以的解析式为． 方法二  （配凑法）： ． 因为， 所以的解析式为． （2）设， 则 ， 所以，解得， 所以． （3）， 令，得， 于是得到关于与的方程组， 解得． 5．（24-25高三上·海南·开学考试）（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用换元法求解即可，注意定义域的变化； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）设，则，，即， 所以，所以． （2）因为是二次函数，所以设.由，得． 由，得， 整理得， 所以，所以，所以． （3）用替换中的x，得， 由，解得. 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）设的表达式为，由已知可得，解之即可； （2）利用换元法可求解析式； （3）在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可. 【详解】（1）设，∵，∴． 又∵，∴． 整理得． 由恒等式的性质知上式中对应项系数相等， ∴，解得 ∴所求函数的表达式为． （2）令，则．∴， ∴所求函数的表达式为． （3）在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为． 【考点5：分段函数的解析式及图象】 【知识点：分段函数的解析式及图象】 ①分段函数求值的解题思路：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. ②求分段函数自变量的值或范围的方法：求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围. 1．（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，代入准确运算，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：D. 2．（2024高三·北京·专题练习）将函数写成分段函数的形式，作出函数的图象. 【答案】，作图见解析 【分析】根据题意，结合绝对值的定义，求得分段函数的解析式，进而画出函数的图象. 【详解】由函数， 当时，可得；当时，；当时，， 所以函数的解析式为， 画出函数的图象，如图所示， 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数 (1)求的值； (2)画出函数的图象． 【答案】(1) (2)图象见详解 【分析】（1）利用函数的解析式由内到外可逐层计算出的值； （2）根据函数的解析式可画出该函数的图象. 【详解】（1）因为， 则，； 所以. （2）函数的图象如下图所示：    4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的解析式为. (1)求， ，的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求的最大值． 【答案】(1)；； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）根据分段函数函数值的求法直接计算； （2）根据分段函数的定义可画出函数图象； （3）根据函数图象可得最值. 【详解】（1），； ，； ，； （2）此分段函数的图象如图所示． 在函数的图象上截取的部分， 在函数的图象上截取的部分， 在函数的图象上截取的部分， 图中实线组成的图形就是函数的图象； （3）由函数图象可知，当时，取最大值. 5．（23-24高二下·陕西西安·期中）设． (1)求的值； (2)若，求t值. 【答案】(1)0 (2)或或 【分析】（1）根据分段函数的特征可计算； （2）就的不同取值范围构建不同的方程后可求的值. 【详解】（1）. （2）当时，，∴； 当时，，解得：； 当时，，∴， 综上所述：或或． 6．（24-25高一下·青海西宁·开学考试）已知函数，且. (1)求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解析式和求得，进而确定解析式，再从内到外计算； （2）分，分别求解，注意检验即可得解. 【详解】（1）因为，， 故，解得，故， 所以，. （2）因为， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得或（舍去）； 综上，. 【考点6：判断两个函数是否为同一函数】 【知识点：判断两个函数是否为同一函数】 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数是同一函数，这是判断两函数是否为同一函数的依据． 1．（24-25高一上·湖南益阳·阶段练习）下列函数中与函数相等的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数相等的判断方法，即从函数定义域和对应法则一一分析即可. 【详解】对A，的定义域为，而的定义域，故两者不是相等函数，故A错误； 对B，，其定义域为，则其与为相等函数，故B正确； 对C，的定义域为，而的定义域为，故两者不是相等函数，故C错误； 对D，，与的对应法则不同，故两者不是相等函数，故D错误. 故选：B. 2．（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）下列各组中的函数，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据定义域及对应关系判断是否是同一函数. 【详解】选项A，，，两个函数的定义域不同，不是同一函数； 选项B，，，两个函数的定义域不同，不是同一函数； 选项C，，，两个函数的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 选项D，，，即，是同一函数， 故选:D． 3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的定义为， 函数的定义域为    ， 两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以A不符合题意； 对于B中，由函数与函数， 其中两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数与，两个函数的定义域与对应关系都相同， 所以两个函数是同一组函数，所以C符合题意； 对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以D不符合题意. 故选：C. 4．（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数. 【详解】对于A，和定义域均为R， ， 故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误； 对于B，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为，定义域为R， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误； 对于D，定义域为R，定义域为， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 5．（多选）（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于选项B：的定义域为， 的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：的定义域，的定义域， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确； 对于选项D：的定义域为，的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误. 故选：AC. 6．（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数. 【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确； 对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误； 对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确； 对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误. 故选：AC. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 函数的概念及其表示 【考点1：函数的概念及其构成要素】 1 【考点2：函数的定义域及其求法】 3 【考点3：函数的值域】 4 【考点4：函数解析式的求法】 8 【考点5：分段函数的解析式及图象】 10 【考点6：判断两个函数是否为同一函数】 13 【考点1：函数的概念及其构成要素】 【知识点：函数的概念及其构成要素】 函数 两集合A，B 设A，B是两个非空的数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 1．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）下列图象中，不能作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 4．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 5．（多选）（24-25高一上·全国·课堂例题）下列集合到集合的对应关系是函数的是（    ） A．，，：A中的数平方 B．，，：A中的数开方 C．，，：A中的数取倒数 D．，，：A中的数取绝对值 6．（23-24高一上·天津北辰·期中）已知函数，若则a的值为 ． 7．（24-25高一上·四川内江·开学考试）已知函数，计算 ． 8．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，其中. (1)若，求实数的值； (2)求不等式的解集. 【考点2：函数的定义域及其求法】 【知识点：函数的定义域及其求法】 ①常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． ②对于抽象函数定义域的求解 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏常州·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广西钦州·开学考试）函数的定义域是指自变量的取值范围，则函数的定义域为（    ） A． B．且 C． D．或 4．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）若的定义域是，则的定义域为 ． 7．（24-25高一上·全国·单元测试）函数的定义域为 ． 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）函数的定义域为 ． （2）函数的定义域为 ． 【考点3：函数的值域】 【知识点：函数的值域】 求函数值域的常用方法 方法 步骤 观察法 第一步 观察函数中的特殊函数； 第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 分离常数法 第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式； 第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域. 配方法 第一步 将二次函数配方成； 第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 换元法 第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 基本不等式法 第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数； 第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域. 1．（23-24高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 3．（24-25高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 . 4．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2) 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 6．（23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 8．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【考点4：函数解析式的求法】 【知识点：求函数解析式的四种方法】 1．（2024高三·北京·专题练习）已知是二次函数，且，，则 ． 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）若函数，则 . 3．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）求下列函数解析式 (1)函数满足， 求函数的解析式; (2)函数满足，求函数的解析式. 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 5．（24-25高三上·海南·开学考试）（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 【考点5：分段函数的解析式及图象】 【知识点：分段函数的解析式及图象】 ①分段函数求值的解题思路：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. ②求分段函数自变量的值或范围的方法：求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围. 1．（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2024高三·北京·专题练习）将函数写成分段函数的形式，作出函数的图象. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数 (1)求的值； (2)画出函数的图象． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的解析式为. (1)求， ，的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求的最大值． 5．（23-24高二下·陕西西安·期中）设． (1)求的值； (2)若，求t值. 6．（24-25高一下·青海西宁·开学考试）已知函数，且. (1)求； (2)若，求实数的值. 【考点6：判断两个函数是否为同一函数】 【知识点：判断两个函数是否为同一函数】 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数是同一函数，这是判断两函数是否为同一函数的依据． 1．（24-25高一上·湖南益阳·阶段练习）下列函数中与函数相等的函数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）下列各组中的函数，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 5．（多选）（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$