2.1.1 不等关系与不等式 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1.1 不等关系与不等式 生活中有哪些不等关系的例子？ 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 0<v≤40 (1)某路段限速40km/h (2)某品牌酸奶的质量检查规定， 酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 问题1 用不等式（组）表示下列问题中的不等关系？ 设△ABC的三条边为a，b，c，则 如图，设C是直线AB外的任意一点，CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则 C D E A B CD＜CE. a + b ＞ c ，a – b ＜ c . 小结 用不等式表示实际问题中的不等关系： 从实际问题中抽象出不等关系 用字母表示不等关系中的量 用不等号连接字母，建立不等式 跟踪训练1 　　　 用不等式或不等式组表示下面的不等关系. (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m； 0<h≤4. (2)a与b的和是非负实数； a＋b≥0. 不等关系及其表示 【问题2】某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本.据市场调查 发现，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价 才能使涨价后的总收入不低于20万元? 不等关系及其表示 【问题2】某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本.据市场调查 发现，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价 才能使涨价后的总收入不低于20万元? 【分析】设涨价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为 万元， ≥20，求出不等式的解，即可求出定价 实数大小的比较 如何解不等式 ≥20呢？ 实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质，那么 这些不等式的性质为什么是正确的呢？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题 要用到关于两个实数大小关系的基本事实. 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变 不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变 不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变 实数大小的比较 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来 规定实数的大小关系；如图，设是两个实数，他们在数轴上所对应的点分 别是A，B，当点A在点B的左边时，；当点A在点B的右边时，；当 点A和点B重合时，. A B B A A(B) 实数大小比较 的基本事实① 【作差法】 ① ② ③ 比较和的大小. 比较和的大小. 【解】运用作差法： 0是正数与负数的分界线，它为比较实数的大小提供了标杆. 2＞0， 所以＞ 实数大小的比较 设，当的值小于1时，；当的值大于1时，； 当的值等于1时，. 【作商法】 ① ② ③ ，比较和的大小. 【解】运用作商法： PART 2 重要不等式 问题3　如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？ 知识点三　重要不等式 一般地,∀a,b∈R,有a2＋b2≥ 　2ab　⁠,当且仅当 　a＝b　⁠时,等号成立. 2ab　 a＝b　 赵爽弦图动画 1.某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为 A.v≤120 km/h且d≥10 m B.v≤120 km/h或d≥10 m C.v≤120 km/h D.d≥10 m √ 1 2 3 4 v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m. 基础巩固 2.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是 A.5x＋4y<200 B.5x＋4y≥200 C.5x＋4y＝200 D.5x＋4y≤200 √ 1 2 3 4 依题意，得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200. 3.比较（x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小。 1 2 3 4 19 4.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是 A.M>N B.M＝N C.M<N D.与x有关 √ 1 2 3 4 20 5.若实数a>b>0，则a2－ab____ba－b2.(填“>”或“<”) 1 2 3 4 > 因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2， 又a>b，所以(a－b)2>0. 课堂 小结 1.知识清单： (1)用不等式(组)表示不等关系. (2)作差法比较大小. (3)重要不等式. 课堂 小结 1.知识清单： (1)用不等式(组)表示不等关系. (2)作差法比较大小. (3)重要不等式. 2.方法归纳：作差法. 3.常见误区：实际问题中变量的实际意义. 课外作业 课本P43习题2.1第2、3题（交） 选做：第4题 预习等式与不等式性质 巩固练习 已知ab>0，a>b，求证 　　已知a>0，b>0. (1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)； 例3 因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0， 当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a2＋3b2≥2b(a＋b). 例1 数（式）大小的比较 (2)比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：因为 3x3－(3x2－x＋1) =3x3－3x2＋x－1 =3x2(x－1)＋(x－1) =(x－1)(3x2+1) 所以，当x－1>0即x>1时，3x3>3x2－x＋1； 当x－1=0即x=1时，3x3=3x2－x＋1； 当x－1<0即x<1时，3x3<3x2－x＋1； (2)求证：a3＋b3≥ab2＋a2b. 因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2， 因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0， 当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 所以a3＋b3≥ab2＋a2b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45. √ 比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两个数的大小关系，通过逻辑推理进行证明. 反思感悟 ∵M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，∴M>N. A. B. C. D. $$