专题 垂径定理的应用5大题型提分练（专项训练）数学浙教版九年级上册

（浙教版）九年级数学上册《圆的基本性质》 专题 垂径定理的应用 知识点 垂径定理的应用 垂径定理的用法： （1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值. （2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： （3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量. 题型一 直接利用勾股定理求线段长 1．（2023•容县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD＝8cm，AB＝10cm，则AE＝　 　． 【分析】结合题意，由垂径定理可得AB垂直平分CD，然后在Rt△CEO中运用勾股定理求得OE即可求解． 【解答】解：由题意可知，AB垂直平分CD，， ∴， 在Rt△CEO中，OE3（cm）， ∴AE＝OA﹣OE＝2cm． 故答案为：2cm． 【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． 2．（2023•阿荣旗一模）如图所示，小区内有个圆形花坛⊙O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的半径为（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【分析】根据垂径定理求得AD＝BD＝16，再求得CD＝5，在Rt△COD和Rt△BOD中，利用勾股定理进行计算即可求解． 【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D， ∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦， ∴， ∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5， 在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144， 在Rt△BOD中，， 故选：B． 【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提． 3．（2024•黄埔区二模）如图，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上，PA＝4，PB＝2，，则⊙O的半径为（　　） A．5 B． C．4 D． 【分析】过O作OH⊥AB于H，连接OA，由垂径定理得到AHAB＝3，由勾股定理求出OH4，OA5，得到圆的半径长． 【解答】解：过O作OH⊥AB于H，连接OA， ∴AHAB， ∵PA＝4，PB＝2， ∴AB＝4+2＝6， ∴AH＝3， ∴PH＝AP﹣AH＝4﹣3＝1， ∵， ∴OH4， ∴OA5． ∴⊙O的半径长是5． 故选：A． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理求出AH的长得到PH的长，由勾股定理求出OH的长，即可求出圆的半径的长． 4．（2023秋•东城区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则BH的长度为　 　． 【分析】根据垂径定理得到CH＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3，进而得出答案． 【解答】解：连接OC， ∵CD⊥AB，CD＝8， ∴CH＝DHCD＝4，∠OHC＝90°， ∵直径AB＝10， ∴OB＝OC＝5， 在Rt△OCH中，OH3， ∴BH＝OB﹣OH＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了垂径定理与勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OH的长是解题的关键． 5．（2023秋•庐江县期末）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，求CD的长． 【分析】连接OC，求出半径OC和OM，根据勾股定理求出CM，根据垂径定理得出CD＝2CM，即可求出答案． 【解答】解：连接OC， ∵AM＝18，BM＝8， ∴半径OC＝OA＝OB＝13， ∴OM＝5， ∵直径AB⊥弦CD于点M， ∴CD＝2CM＝2DM， 在Rt△OCM中，由勾股定理得：CM12， ∴CD＝24． 【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，关键是能构造直角三角形、求出CM长和得出CD＝2CM． 6．如图，⊙O的半径OB＝5cm，AB是⊙O的弦，点C是AB延长线上一点，且∠OCA＝30°，OC＝8cm，求AB的长． 【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由在Rt△ODC中，∠OCA＝30°，OC＝8cm，可求得OD的长，由在Rt△OAD中，OA＝5cm，即可求得AD的长，继而求得答案． 【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA， ∵在Rt△ODC中，∠OCA＝30°，OC＝8cm， ∴ODOC＝4cm， ∵在Rt△OAD中，OA＝5cm， ∴AD3， ∴AB＝2AD＝6． 【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 7．（2023秋•海珠区校级期中）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，∠DEB＝30°，AE＝2，EB＝6，求CD的长． 【分析】过O作OF⊥CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在Rt△OEF中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD＝2DF即可求出CD的长． 【解答】解：如图，过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD， ∴F为CD的中点，即CF＝DF， ∵AE＝2，EB＝6， ∴AB＝AE+EB＝2+6＝8， ∴OA＝4， ∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2， 在Rt△OEF中，∠DEB＝30°， ∴OFOE＝1， 在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4， 根据勾股定理得：DF， 则CD＝2DF＝2． 【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及含30°锐角的直角三角形的性质，正确添加辅助线利用垂径定理和勾股定理是解题的关键． 题型二 运用单勾股列方程求线段长 1．（2023•芝罘区一模）如图，弓形ADB的跨度AB＝8，高CD＝3，则弓形所在圆的直径长为​（　　） A．5 B．10 C． D． 【分析】设弓形所在圆的圆心是O，圆的半径是r，连接OC，OA，由勾股定理得到r2＝（r﹣3）2+42，求出r的值，即可得到答案． 【解答】解：设弓形所在圆的圆心是O，圆的半径是r，连接OC，OA， 由题意知O、C、D共线， ∵AB＝8， ∴ACAB＝4， ∵高CD＝3， ∴OC＝r﹣3， ∵OA2＝OC2+AC2， ∴r2＝（r﹣3）2+42， ∴r， ∴弓形所在圆的直径长2r． 故选：C． 【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程． 2．（2024•长沙模拟）如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D．如果CD＝8，AB＝24，那么OA＝（　　） A．12 B． C．13 D．16 【分析】根据垂径定理可得ADAB＝12，∠ADO＝90°，设OA＝x，则OC＝x，DO＝x﹣8，再利用勾股定理列出方程，解出x的值即可． 【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB， ∴ADAB＝12，∠ADO＝90°， 设OA＝x，则OC＝x，DO＝x﹣8， 在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2， ∴x2＝122+（x﹣8）2， 解得：x＝13， ∴OA＝13． 故选：C． 【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝　 ． 【分析】由垂径定理得CECD＝5，设OB＝OC＝x，则OE＝x﹣2，再在Rt△OCE中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝10， ∴CECD＝5，∠OEC＝90°， 设OB＝OC＝x，则OE＝x﹣2， 在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE2+OE2＝OC2， 即52+（x﹣2）2＝x2， 解得：x， 即OC， 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理．熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 4．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径． 【分析】先连接OC，根据AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，得出CE＝BE，设半径为R，则BE＝4，OE＝R﹣2，得到R2＝（R﹣2）2+42，再解方程即可． 【解答】解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E， ∴OD垂直平分BC， ∵BC＝8，ED＝2 设半径为R，则CE＝4，OE＝R﹣2， ∴R2＝（R﹣2）2+42 ∴R＝5． 答：⊙O的半径是5． 【点评】本题考查了垂径定理，用到的知识点是垂径定理、勾股定理，解题的关键是正确地构造直角三角形． 5．（2023秋•白云区校级期中）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E． （1）求证：AC＝AD； （2）若AC＝10，CD＝12，求⊙O的半径． 【分析】（1）利用垂径定理证明CE＝DE，再利用线段的垂直平分线的性质可得答案； （2）先求解CE＝DE＝6，再利用勾股定理求解AE＝8，连接CO，设圆的半径为r，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵直径AB垂直弦CD于点E， ∴CE＝DE， ∴AC＝AD． （2）∵CD＝12，CE＝DE， ∴CE＝DE＝6， ∴， 连接CO， 设圆的半径为r， 则CO＝r，CE＝6，OE＝AE﹣OA＝8﹣r， ∴（8﹣r）2+62＝r2， 解得：． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，熟练的利用垂径定理进行求值是解本题的关键． 6．（2023秋•龙口市期末）如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB 于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BCO＝∠B，根据圆周角定理证明即可； （2）根据垂径定理求出CE，根据勾股定理计算即可． 【解答】（1）证明：∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠B， ∵， ∴∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D； （2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CECD＝2， 在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2， 设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2， ∴r2＝（2）2+（r﹣2）2， 解得：r＝3， ∴⊙O的半径为3． 【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 7．（2023秋•上城区校级月考）如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12． （1）求线段OD的长； （2）当EOBE时，求DE的长． 【分析】（1）连接OB，先根据垂径定理得出OD⊥BC，BDBC，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可得出结论； （2）在Rt△EOD中，设BE＝x，则OEx，DE＝6﹣x，再根据勾股定理即可得出结论． 【解答】解：（1）连接OB． ∵OD过圆心，且D是弦BC中点， ∴OD⊥BC，BDBC， 在Rt△BOD中，OD2+BD2＝BO2． ∵BO＝AO＝8，BD＝6． ∴OD＝2； （2）在Rt△EOD中，OD2+ED2＝EO2． 设BE＝x，则OEx，DE＝6﹣x． （2）2+（6﹣x）2＝（x）2， 解得x1＝﹣16（舍），x2＝4． 则DE＝2． 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 8．（2023秋•郾城区校级期中）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC． （1）求证：AC＝CG； （2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径． 【分析】（1）利用等角的余角证明∠D＝∠G，再根据圆周角定理得到∠A＝∠D，所以∠A＝∠G，从而得到结论； （2）连接OC，如图，设⊙O的半径为r，根据等腰三角形的性质和垂径定理得到AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，则OE＝8﹣r，利用勾股定理得r2＝（8﹣r）2+42，然后解方程即可． 【解答】（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB， ∴∠DEB＝∠BFG＝90°， ∵∠DBE＝∠GBF， ∴∠D＝∠G， ∵∠A＝∠D， ∴∠A＝∠G， ∴AC＝CG； （2）解：连接OC，如图， 设⊙O的半径为r． ∵CA＝CG，CD⊥AB， ∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4， ∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r， 在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2， ∴r2＝（8﹣r）2+42， 解得r＝5， ∴⊙O的半径为5． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理． 题型三 运用双勾股列方程求线段长 1．（2023秋•慈溪市校级月考）在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为10cm，如果再注入一些水后，水面上升7cm，此时水面宽度变为24cm．则该水槽截面半径为（　　） A． B．13cm C．14cm D．15cm 【分析】如图，水面AB上升7cm得到油面CD，依题意得AB＝10cm，CD＝24cm，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AEAB＝5cm，CFCD＝12cm，设OE＝xcm，则OF＝（x﹣7）cm，在Rt△OAE中和Rt△OCF中，根据勾股定理求得OA、OC的长度，然后由OA＝OC，列方程求x即可求半径OA，得出直径MN． 【解答】解：如图，依题意得AB＝10cm，CD＝24cm，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC， 由垂径定理，得AEAB＝5cm，CFCD＝12cm， 设OE＝xcm，则OF＝（x﹣7）cm， 在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2， 在Rt△OCF中，OC2＝CF2+OF2， ∵OA＝OC， ∴52+x2＝122+（x﹣7）2， 解得x＝12， ∴半径OA13（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理的运用．关键是利用垂径定理得出两个直角三角形，根据勾股定理表示半径的平方，根据半径相等列方程求解． 2．（2024•叙州区校级一模）如图，M为弦AB上的一点，连接OM，过点M作MC⊥OM，CM交圆O于点C．若AB＝13，AM＝4，则CM的长为（　　） A．5 B．6 C． D． 【分析】先根据垂径定理，得出AH＝BH＝6.5，MH＝6.5﹣4＝2.5，再结合勾股定理，列式MO2＝2.52+x2，BO2＝6.52+x2，代入MC2＝CO2﹣MO2＝BO2﹣MO2，即可作答． 【解答】解：如图：连接CO、BO以及过点O作OH⊥AB， 设OH＝x， ∵AB＝13，AM＝4，OH⊥AB， ∴AH＝BH＝6.5，MH＝6.5﹣4＝2.5， 则MO2＝MH2+OH2＝2.52+x2， BO2＝BH2+OH2＝6.52+x2， ∴MC2＝CO2﹣MO2＝BO2﹣MO2＝6.52+x2﹣2.52﹣x2＝36， ∴MC＝6（负值已舍去）， 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，关键是垂径定理的熟练应用． 3．（2023秋•江汉区校级月考）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD于点E，AD＝4，OE＝3，求CD的长． 【分析】连接OD，根据垂径定理得出CE＝DE，根据勾股定理得出R2﹣9，解出R，进而求出ED． 【解答】解：连接OD， ∵AB⊥CD， ∴CE＝DE， 设⊙O的半径为R， 在Rt△ODE中，∵OE＝3， ∴DE2＝R2﹣9， 在Rt△ADE中，∵AD＝4， ∴DE2， ∴R2﹣9， 解得R＝5或R＝﹣8（不合题意，舍去）， ∴DE＝4， ∴CD＝2DE＝8， ∴CD的长为8． 【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是设出未知数利用勾股定理列出方程解答． 4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，求OF的长． 【分析】设OF＝a，连接OC，根据垂径定理得出AE＝EC，CF＝FD，根据勾股定理求出AE，求出AC，根据勾股定理得出CF2＝AC2﹣AF2＝OC2﹣OF2，求出82﹣（5+a）2＝52﹣a2，再求出a即可． 【解答】解：设OF＝a，连接OC， ∵AB⊥CD，OE⊥AC，OE和OF过圆心O， ∴AE＝EC，CF＝FD， ∵OB＝OC＝OA＝5， 在Rt△OAE中，， ∴AE＝EC＝4， 即AC＝4+4＝8， 在Rt△AFC和Rt△OFC中，由勾股定理得：CF2＝AC2﹣AF2＝OC2﹣OF2， 即82﹣（5+a）2＝52﹣a2， 解得：a＝1.4， 即OF＝1.4． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键． 5．如图，点O在∠MAN的边AN上，以O为圆心的圆交AM于B，C两点，交AN于D，E两点，若AO＝2，AB＝2，∠BOC＝60°，求⊙O的半径r． 【分析】过点O作OF⊥BC于点F．在Rt△AOF和Rt△BOF中，由勾股定理，得OF2＝OA2﹣AF2＝OB2﹣BF2，由此构建方程即可解决问题． 【解答】解：过点O作OF⊥BC于点F． ∵OB＝OC，∠BOC＝60°， ∴∠BOF＝∠COF＝30°， ∴BFOBr， 在Rt△AOF和Rt△BOF中，由勾股定理，得 OF2＝OA2﹣AF2＝OB2﹣BF2，即（2）2﹣（2r）2＝r2﹣（r）2， 解得r1＝﹣4（负值舍去），r2＝2． ∴⊙O的半径为2． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 6．如图，PQ是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形CEFG彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径PQ上，点E在BC上，正方形CEFG的面积为16． （1）求证：OC＝OD； （2）求⊙O的半径长． 【分析】（1）由Rt△AOD≌Rt△BOC（HL），即可证明OC＝OD； （2）设OC＝OD＝x，则BC＝2x，由勾股定理得到x2+（2x）2＝（x+4）2+42，求出x＝4（舍去负值），即可得到OBx＝4． 【解答】（1）证明：连接OA，OB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADO＝∠BCO＝90°，AD＝BC＝DC， ∵OA＝OB， ∴Rt△AOD≌Rt△BOC（HL）， ∴OD＝OC； （2）解：连接OF， 设OC＝OD＝x，则BC＝2x， ∵正方形EFGC的面积＝16， ∴FG＝CG＝4， ∴OG＝x+4， ∵OB2＝OC2+BC2，OF2＝OG2+FG2，OB＝OF， ∴x2+（2x）2＝（x+4）2+42， ∴x＝4（舍去负值）， ∴OBx＝4， ∴⊙O半径长是4． 【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，关键是由勾股定理求出OC的长． 题型四 垂径定理的实际应用 1．（2024•灞桥区校级模拟）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径是（　　） A．24厘米 B．26厘米 C．28厘米 D．30厘米 【分析】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径． 【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线， 由题意可得：OC⊥AB，ACAB＝10（厘米）， 设镜面半径为x厘米， 由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2， ∴x＝26， ∴镜面半径为26厘米， 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解． 2．（2024•梧州二模）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为6cm，瓶内液体最大深度为4cm，则液面宽AB的长为（　　） A．2cm B． C．8cm D． 【分析】过点O作OD⊥AB于点D，则AD＝BD，再由半径为6cm，瓶内液体最大深度为4cm得出OD的长，根据勾股定理求出AD的长，进而可得出结论． 【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，则AD＝BD， ∵球体的半径为6cm，瓶内液体最大深度为4cm， ∴OA＝6cm，OD＝6﹣4＝2（cm）， ∴AD4， ∴AB＝2AD＝8（cm）． 故选：D． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 3．（2023秋•九龙坡区期末）今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深CD＝2，锯道AB＝12，则这根圆柱形木材的半径是（　　） A．20 B．12 C．10 D．8 【分析】连接OA、OD，由垂径定理得AD＝BD6，连接OA，设圆的半径为x寸，再在Rt△OAD中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径． 【解答】解：连接OA、OD，如图： 由题意得：D为AB的中点， 则O、D、C三点共线，OD⊥AB， ∴AD＝BD6， 设圆的半径为x，则OD＝（x﹣2）． 在Rt△OAD中，由勾股定理得：62+（x﹣2）2＝x2， 解得：x＝10． ∴这根圆柱形木材的半径为10． 故选：C． 【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 4．（2023•香洲区校级三模）如图是某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分，与矩形ABCD组合而成的图形（点B，C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半径为25，BC＝14，AB＝26，EF＝48，则香水瓶的高度h是（　　） A．56 B．57 C．58 D．59 【分析】作OG⊥BC交BC于点G，延长GO交EF于点H，连接BO、EO，利用垂径定理，得到BG＝7，EH＝24，再利用勾股定理，求得GO＝24，HO＝7，即可求出香水瓶的高度h． 【解答】解：如图，作OG⊥BC交BC于点G，延长GO交EF于点H，连接BO、EO， ∵OG⊥BC，BC＝14， ∴， ∵BO＝EO＝25， 在Rt△BGO中，， ∵BC∥EF，OG⊥BC， ∴OH⊥EF， ∴， 在Rt△EHO中，， ∴h＝HO+GO+AB＝7+24+26＝57， 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题关键． 5．（2023秋•宕昌县期末）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝24米，拱高CD＝9米，那么圆弧形桥拱所在圆的半径是 　 　米． 【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案． 【解答】解：设圆弧形桥拱所在圆心为O，连接BO，DO， 可得：AD＝BD，OD⊥AB， ∵AB＝24米，拱高CD＝9米， ∴BD＝AD＝12m， 设BO＝x m，则DO＝（x﹣9）m， 根据题意可得：BD2+DO2＝BO2， 即122+（x﹣9）2＝x2， 解得：x， 即圆弧形桥拱所在圆的半径是m． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键． 6．（2023秋•海淀区校级月考）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径AB＝1米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝0.7米，则门洞的半径是多少？ 【分析】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得米，再证四边形DCNM是矩形，则MN＝CD＝0.7米，DM＝CN＝BC+BN＝1.2（米），设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，如图所示： 则米，∠ONC＝∠DMN＝90°， ∵DC⊥AB， ∴∠DCN＝90°， ∴四边形DCNM是矩形， ∴MN＝CD＝0.7米，DM＝CN＝BC+BN＝1.2（米）， 设该圆的半径长为r米， 根据题意得， 解得：， 即门洞的半径长为1.3米． 【点评】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识，掌握垂径定理的应用是解题的关键． 7．（2023秋•赛罕区校级期中）如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度AB＝32米，拱高CD＝8米 （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩EF高度． 【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可； （2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可． 【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R， 在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2， ∴R2＝（R﹣8）2+162， 解得R＝20； （2）OH⊥FE于H，则OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20， 在Rt△OHF中，HF16， ∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米）， ∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米． 【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，根据题意画出图形结合勾股定理得出是解题关键． 8．（2023秋•西湖区校级期中）如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为17m． （1）求圆弧形拱顶的半径的长度； （2）求MN的长度． 【分析】根据题意和垂径定理得到CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得MH，即可求得MN． 【解答】解：（1）设CD于AB交于G，与MN交于H． ∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m， ∴CG＝CD﹣DG＝18﹣10＝8（m），AGAB2412（m），CH＝CD﹣DH＝18﹣17＝1（m）， 设圆拱的半径为r， 在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2， ∴r2＝（r﹣8）2+122， 解得r＝13， ∴圆弧形拱顶的半径的长度为13m； （2）∵OC＝13m， ∴OH＝13﹣1＝12（m），在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2， ∴132＝122+MH2， 解得MH2＝25， ∴MH＝5（m）， ∴MN＝10（m）． 【点评】本题考查了垂径定理的应用，作出辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键． 题型五 垂径定理应用的综合题 1．如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度． 【分析】根据垂径定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通过证得△AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD． 【解答】解：∵E点为AF中点， ∴OE⊥AF， ∵CO⊥EO， ∴OC∥AF， ∴∠OAE＝∠COD， ∵CD⊥AB， ∴∠AEO＝∠ODC， 在△AEO和△ODC中， ， ∴△AEO≌△ODC（AAS）， ∴CD＝OE＝4， ∵OC＝5， ∴OD3． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，证得△AEO≌△ODC得到CD＝4是解题的关键． 2．（2024•静安区二模）已知：如图，CD是⊙O的直径，AC、AB、BD是⊙O的弦，AB∥CD． （1）求证：AC＝BD； （2）如果弦AB长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求CD的长． 【分析】（1）过点O作OF⊥AB，延长OF交⊙O与点E，根据垂径定理得，，即，即可得出结论； （2）根据垂径定理得AFAB＝4，设OC＝OE＝OA＝r，则OF＝OE﹣EF＝r﹣2，根据勾股定理得（r﹣2）2+42＝r2，解方程即可． 【解答】（1）证明：过点O作OF⊥AB，延长OF交⊙O与点E， ∵CD是⊙O的直径， ∴，， ∴，即， ∴AC＝BD； （2）解：∵OF⊥AB， ∴AFAB＝4， 设OC＝OE＝OA＝r，则OF＝OE﹣EF＝r﹣2， 在Rt△AOF中，有OF2+AF2＝OC2， ∴（r﹣2）2+42＝r2， 解得：r＝5， ∴CD＝2r＝10． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 3．（2023秋•硚口区期中）如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）求证：四边形ADOE是正方形； （2）若AC＝4，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据三个直角可得矩形，再利用垂径定理可得一组邻边相等，进而可得结论； （2）根据勾股定理可得半径． 【解答】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴ADAB，AEAC， ∵AB＝AC， ∴AD＝AE， ∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°， ∴四边形ADOE是正方形； （2）解：连接OA， ∵AC＝4cm， ∴AE＝2cm， 在Rt△AOE中，OA2， 答：⊙O的半径是2． 【点评】本题考查正方形的判定，运用垂径定理得到AD＝AE是解题关键． 4．（2023秋•吉林期末）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC＝6，DE＝1，求AC的长． 【分析】连接OC，由垂径定理得出OD⊥BC，BD＝CD．在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长． 【解答】解：连接OC，如图所示． ∵点E是的中点， ∴∠BOE＝∠COE，OD⊥BC，BD＝DC． ∵BC＝6， ∴BD＝3． 设⊙O的半径为r，则OB＝OE＝r． ∵DE＝1， ∴OD＝r﹣1． ∵OD⊥BC即∠BDO＝90°， ∴OB2＝BD2+OD2． ∵OB＝r，OD＝r﹣1，BD＝3， ∴r2＝32+（r﹣1）2． 解得：r＝5． ∴OD＝4． ∵AO＝BO，BD＝CD， ∴OD是△ABC的中位线， ∴ODAC． ∴AC＝8． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出半径是解决问题的关键． 5．（2023秋•香洲区校级期中）如图，已知⊙O中弦AB＝8，点P是上一动点，连接AP，BP，过点O作OC⊥PA于点C，OD⊥PB于点D，连接CD． （1）若点P运动到的中点，此时点P到弦AB的距离为2，求⊙O的半径； （2）在点P运动过程中，线段CD的长是否发生改变？如果不变，求出线段CD的长；如果改变，请说明理由． 【分析】（1）连接OA，连接OP交AB于点H，设⊙O的半径为x，在Rt△OAH中，利用勾股定理即可求解； （2）利用垂径定理求得PC＝AC，PD＝BD，再利用三角形中位线定理求解即可． 【解答】解：（1）连接OA，连接OP交AB于点H，设⊙O的半径为x， ∵点P是的中点， ∴OP⊥AB， ∴， 由题意得PH＝2，则OH＝x﹣2， 在Rt△OAH中，AO2＝OH2+AH2，即x2＝（x﹣2）2+42， 解得x＝5，即⊙O的半径为5； （2）线段CD的长不变，且CD＝4，理由如下： ∵OC⊥PA，OD⊥PB， ∴PC＝AC，PD＝BD， ∴CD是△PAB是中位线， ∴． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6．（2023•合肥模拟）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G． （1）求证：ED＝EG； （2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接BD，容易得到∠GBE和∠DBE相等，利用ASA证明△BGE和△BDE全等即可； （2）连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，根据ED＝EG容易求出OE，再根据垂径定理求出AE的值，最后在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值即可． 【解答】（1）证明：如图：连接BD， ∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F， ∴∠CFG＝∠GEB， ∵∠CGF＝∠BGE， ∴∠C＝∠GBE， ∵∠C＝∠DBE， ∴∠GBE＝∠DBE， ∵AB⊥CD于E， ∴∠GEB＝∠DEB， 在△GBE和△DBE中， ， ∴△BGE≌△BDE（ASA）， ∴ED＝EG． （2）解：如图： 连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1， 由（1）可知ED＝EG， ∴OE， ∵AB⊥CD于E，AB＝8， ∴AE＝BE＝4， ∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2， 即（）2+42＝r2， 解得：r， 即⊙O的半径为． 【点评】本题结合勾股定理和全等三角形的证明考查了垂径定理的应用，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧． 7．如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB． （1）求证：E为OD的中点； （2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理证明即可； （2）根据平行四边形的判定和勾股定理解答即可． 【解答】证明：（1）在⊙O中，OD⊥BC于E， ∴CE＝BE， ∵CD∥AB， ∴∠DCE＝∠B， 在△DCE与△OBE中， ∴△DCE≌△OBE（ASA）， ∴DE＝OE， ∴E是OD的中点； （2）连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OD⊥BC， ∴∠CED＝90°＝∠ACB， ∴AC∥OD， ∵CD∥AB， ∴四边形CAOD是平行四边形， ∵E是OD的中点，CE⊥OD， ∴OC＝CD， ∵OC＝OD， ∴OC＝OD＝CD， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠D＝60°， ∴∠DCE＝90°﹣∠D＝30°， ∴在Rt△CDE中，CD＝2DE， ∵BC＝6， ∴CE＝BE＝3， ∵CE2+DE2＝CD2＝4DE2， ∴DE，CD＝2， ∴OD＝CD＝2， ∴四边形CAOD的面积＝OD•CE＝6． 【点评】本题考查了垂径定理，关键是根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理解答． 8．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC． （1）求证：AC＝CG； （2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径． 【分析】（1）想办法证明∠A＝∠G即可解决问题． （2）设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，在Rt△OEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB， ∴∠DEB＝∠BFG＝90°， ∵∠DBE＝∠GBF， ∴∠D＝∠G， ∵∠A＝∠D， ∴∠A＝∠G， ∴AC＝CG． （2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10， ∵CA＝CG，CD⊥AB， ∴AE＝EG，EC＝ED＝4， ∴OE＝AE﹣OA， 在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2， ∴r2＝（）2+42， 解得r或（舍弃）， ∴⊙O的半径为． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 9．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD，经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E． （1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长； （2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长． 【分析】（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．利用勾股定理构建方程组解决问题即可． （2）如图2中，作CH⊥AB于H．证明△ACH是等腰直角三角形，四边形EFHC是矩形，求出EF即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y． ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴∠CEF＝∠BFO＝90° ∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2， 根据勾股定理可得：， 解得（舍弃）或， ∴BF＝4，AB＝2BF＝8． 解法二：在Rt△OEC中，OC＝5，CECD＝12×42， ∴OE1 因此设BF＝EF＝x，则OF＝EF﹣OE＝x﹣1， ∴由勾股定理可得OF2+BF2＝OB2，即（x﹣1）2+x2＝52， 解得x＝4（x＝﹣3＜0，不合题意舍去）． （2）如图2中，作CH⊥AB于H． ∵OB⊥OC， ∴∠A∠BOC＝45°， ∵AH⊥CH， ∴△ACH是等腰直角三角形， ∵ACCH， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°， ∴四边形EFHC是矩形， ∴CH＝EF， 在Rt△OEC中，∵EC，OC， OE2， ∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°， ∴∠FOB＝∠ECO， ∵OB＝OC， ∴△OFB≌△CEO（AAS）， ∴OF＝EC， ∴CH＝EF＝3， ∴ACEF＝6． 【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！38 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）九年级数学上册《圆的基本性质》 专题 垂径定理的应用 知识点 垂径定理的应用 垂径定理的用法： （1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值. （2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： （3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量. 题型一 直接利用勾股定理求线段长 1．（2023•容县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD＝8cm，AB＝10cm，则AE＝　 　． 2．（2023•阿荣旗一模）如图所示，小区内有个圆形花坛⊙O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的半径为（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 3．（2024•黄埔区二模）如图，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上，PA＝4，PB＝2，，则⊙O的半径为（　　） A．5 B． C．4 D． 4．（2023秋•东城区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则BH的长度为　 　． 5．（2023秋•庐江县期末）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，求CD的长． 6．如图，⊙O的半径OB＝5cm，AB是⊙O的弦，点C是AB延长线上一点，且∠OCA＝30°，OC＝8cm，求AB的长． 7．（2023秋•海珠区校级期中）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，∠DEB＝30°，AE＝2，EB＝6，求CD的长． 题型二 运用单勾股列方程求线段长 1．（2023•芝罘区一模）如图，弓形ADB的跨度AB＝8，高CD＝3，则弓形所在圆的直径长为​（　　） A．5 B．10 C． D． 2．（2024•长沙模拟）如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D．如果CD＝8，AB＝24，那么OA＝（　　） A．12 B． C．13 D．16 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝　 ． 4．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径． 5．（2023秋•白云区校级期中）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E． （1）求证：AC＝AD； （2）若AC＝10，CD＝12，求⊙O的半径． 6．（2023秋•龙口市期末）如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB 于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径． 7．（2023秋•上城区校级月考）如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12． （1）求线段OD的长； （2）当EOBE时，求DE的长． 8．（2023秋•郾城区校级期中）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC． （1）求证：AC＝CG； （2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径． 题型三 运用双勾股列方程求线段长 1．（2023秋•慈溪市校级月考）在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为10cm，如果再注入一些水后，水面上升7cm，此时水面宽度变为24cm．则该水槽截面半径为（　　） A． B．13cm C．14cm D．15cm 2．（2024•叙州区校级一模）如图，M为弦AB上的一点，连接OM，过点M作MC⊥OM，CM交圆O于点C．若AB＝13，AM＝4，则CM的长为（　　） A．5 B．6 C． D． 3．（2023秋•江汉区校级月考）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD于点E，AD＝4，OE＝3，求CD的长． 4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，求OF的长． 5．如图，点O在∠MAN的边AN上，以O为圆心的圆交AM于B，C两点，交AN于D，E两点，若AO＝2，AB＝2，∠BOC＝60°，求⊙O的半径r． 6．如图，PQ是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形CEFG彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径PQ上，点E在BC上，正方形CEFG的面积为16． （1）求证：OC＝OD； （2）求⊙O的半径长． 题型四 垂径定理的实际应用 1．（2024•灞桥区校级模拟）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径是（　　） A．24厘米 B．26厘米 C．28厘米 D．30厘米 2．（2024•梧州二模）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为6cm，瓶内液体最大深度为4cm，则液面宽AB的长为（　　） A．2cm B． C．8cm D． 3．（2023秋•九龙坡区期末）今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深CD＝2，锯道AB＝12，则这根圆柱形木材的半径是（　　） A．20 B．12 C．10 D．8 4．（2023•香洲区校级三模）如图是某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分，与矩形ABCD组合而成的图形（点B，C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半径为25，BC＝14，AB＝26，EF＝48，则香水瓶的高度h是（　　） A．56 B．57 C．58 D．59 5．（2023秋•宕昌县期末）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝24米，拱高CD＝9米，那么圆弧形桥拱所在圆的半径是 　 　米． 6．（2023秋•海淀区校级月考）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径AB＝1米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝0.7米，则门洞的半径是多少？ 7．（2023秋•赛罕区校级期中）如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度AB＝32米，拱高CD＝8米 （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩EF高度． 8．（2023秋•西湖区校级期中）如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为17m． （1）求圆弧形拱顶的半径的长度； （2）求MN的长度． 题型五 垂径定理应用的综合题 1．如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度． 2．（2024•静安区二模）已知：如图，CD是⊙O的直径，AC、AB、BD是⊙O的弦，AB∥CD． （1）求证：AC＝BD； （2）如果弦AB长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求CD的长． 3．（2023秋•硚口区期中）如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）求证：四边形ADOE是正方形； （2）若AC＝4，求⊙O的半径． 4．（2023秋•吉林期末）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC＝6，DE＝1，求AC的长． 5．（2023秋•香洲区校级期中）如图，已知⊙O中弦AB＝8，点P是上一动点，连接AP，BP，过点O作OC⊥PA于点C，OD⊥PB于点D，连接CD． （1）若点P运动到的中点，此时点P到弦AB的距离为2，求⊙O的半径； （2）在点P运动过程中，线段CD的长是否发生改变？如果不变，求出线段CD的长；如果改变，请说明理由． 6．（2023•合肥模拟）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G． （1）求证：ED＝EG； （2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径． 7．如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB． （1）求证：E为OD的中点； （2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积． 8．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC． （1）求证：AC＝CG； （2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径． 9．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD，经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E． （1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长； （2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$