3.1列代数式 第4课时 列代数式表示数量关系-反比例关系 课件-2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

3.1.4 列代数式表示数量关系 第三章 代数式 人教版初中数学/七年级上册 授课教师：XXX 日期：XXX 反比例关系 学习目标 1. 了解反比例的意义； 2. 掌握反比例成立的条件和方法。 3. 通过具体问题进一步认识反比例的量。使同学们能够迅速地判断两种相关联的量成反比例。 复习回顾 1. 苹果的单位为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需( ) A. (a+b)元 B. (3a+2b)元 C. (2a+3b)元 D. 5(a+b)元 2. 甲、乙两地相距n千米，李师傅驾驶摩托车从甲地驶往乙地，原计划每小时行x千米，但实际每小时行40千米(x<40)，则从甲地到乙地所需要的时间比原来减少了( ) A. 小时 B. 小时 C. ( - )小时 D. (- )小时 C C 复习回顾 3.某公园的门票价格是成人10元，学生5元，某旅行团有成人x人，学生y人，则该团购买门票共花费( ) A. (10x+5y)元 B. (10y+5x)元 C.15xy元 D. (15x+15y)元 A 4.某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下，已知从楼下到楼顶的路程为s米，同学上楼速度是a米/分，下楼速度是b米/分，则他的平均速度是( ) A. /分 B. /分 C. (+ ) 米/分 D. 米/分 D 预习检测 1. 下面各式中，表示x和y成反比例的是( ) A.x+y=6 B.x=6+y C. = D.y=6x 2. 下面每个选项中的两种量成反比例关系的是( ) A. 路程一定，速度和时间 B. 圆柱的高一定，体积和底面积 C. 被减数一定，减数和差 D. 圆的半径和它的面积 C A 预习检测 3. 若5：x=y：3，则x和y成( ) A.正比例 B.反比例 C.不成比例 D.无法判断 4. 如表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填( ) 19.6 B. 2.5 C.3.5 D.16 5. 长方形的长和宽( ) A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例 D.无法判断 B x 7 △ y 5 14 B B 新知探究 回顾一下本章引言中的问题(1).机器人t s能识别的范围是5t m2，也就是说，机器人能识别的范围与所用时间的比值总是一定的(等于5).因此机器人能识别的范围与所用时间是成正比例的量，它们成正比例关系. 一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比例的量，它们成正比例关系.下面我们来讨论，如果工作量保持不变，工作时间与工作效率之间的关系.先看一个实际问题. 因为工作量和工作时间是两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值或商一定(即工作效率一定)，所以它们是成正比例的量，它们的关系是成正比例关系. 合作探究 问题 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260 000m3.解答下列问题： (1)根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表3.1-1. 每天造雪量/m3 5 000 5 200 6 500 … 造雪天数 … 表3.1-1 52 50 40 合作探究 问题 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260 000m3.解答下列问题： (2)每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？ 此问题包含三个量：造雪总量、每天造雪量和造雪天数，根据它们之间的关系 造雪天数= ， 每天造雪量为5 000m3时，造雪天数为 =52；每天造雪量为5200m3 时，造雪天数 =50；每天造雪量为6 500m3时，造雪天数为 =40.因此，表3.1-1中依次填52，50，40. 合作探究 可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是260 000. 例如，5 000 × 52=5 200 × 50=6 500 × 40=260 000. 像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值，且k ≠ 0)，反比例关系可以用xy =k或y = 来表示，其中k叫作比例系数. 知识要点 正比例关系和反比例关系的异同： 1.相同点 (1) 两种关系中都有两个变量，一个定量。 (2) 在两个变量中，当一个变量变化时，另一个变量也随着变化。 2.不同点 (1) 正比例关系变化的方向相同，反比例关系变化的方向相反。 (2) 正比例关系相对应的两个变量的商一定，反比例关系相对应的两个变量的积一定。 (3)正比例关系的关系式为 = k (k≠-0)，反比例关系的关系式为xy=k(k ≠0)。 例5 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 10cm2，20cm2，30cm2 ，60cm2.分别往这四个容 器中注人300cm3的水 . 四个容器中水的高度分别是多少厘米？ (2) 分别用x(单位：cm2)和y(单位：cm)表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？ 圆柱的体积 = 底面积×高 ， 高= . 分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系： 典例解析 (注入水的体积一定) 相当于注入水的体积，为定值. 乘积一定，底面积和高成反比例关系. 典例解析 例5 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 10cm2，20cm2，30cm2 ，60cm2.分别往这四个容 器中注人300cm3的水 . 四个容器中水的高度分别是多少厘米？ (2) 分别用x(单位：cm2)和y(单位：cm)表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？ 解：(1) 四个容器中水的高度分别为 = 30(cm)， = 15(cm)， = 10(cm)， = 5(cm) (2) xy=300或y= . y与x成反比例关系. 新知探究 思考 生活中，成反比例关系的例子是很常见的.例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系。你还能举出一些例子吗？ 答案不唯一，如：从家到学校，小明步行的速度与步行的时间成反比例关系。 课堂练习 1. 汽车从甲地驶往乙地，汽车行驶的平均速度与时间是否成反比例关系？为什么？ 点拨：从甲地到乙地的路程一定,故平均速度和时间的乘积一定. 解：成反比例关系。 路程=速度×时间. 因为汽车行驶的平均速度与时间的乘积是一个定值，所以平均速度与时间成反比例关系. 课堂练习 2. 判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由： (1) 一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量； (2) 长方体的体积一定，长方体的底面积与高； (3) 购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用 易错：荧光笔费用+中性笔费用=定值 点拨：长方体的体积=底面积×高=定值。 解：成反比例关系。因为装箱数与每箱的质量的乘积是一个定值，所以两个量成反比例关系. 解：成反比例关系。因为长方体的底面积与高的乘积是一个定值，所以两个量成反比例关系. 解：不成反比例关系。因为荧光笔的费用与中性笔的费用的乘积不是一个定值，所以两个量不成反比例关系. 课堂练习 3. 某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … (1) 这批货物共有多少吨？ (2) 运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？ (3)用t表示运输的天数，用a表示每天运输的吨数，用式子表示t与a的关系.t与a成什么比例关系？ 课堂练习 3. 某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … (1) 这批货物共有多少吨？ 解：500吨. 课堂练习 3. 某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … (2) 运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？ 答：运输的天数是随着每天运输的吨数减小而增大的. 课堂练习 3. 某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … (3) 用t表示运输的天数，用a表示每天运输的吨数，用式子表示t与a的关系.t与a成什么比例关系？ 点拨：500×1=250×2=100×5=50×10 乘积一定. 解：at=500，t与a成反比例关系. 随堂检测 1.判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由： (1) 200名同学参加队列操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与排数； 答：是成反比例关系。因为每排的人数与排数的乘积是定值，所以每排人数与排数成反比例关系。 随堂检测 1.判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由： (2) 三角形的面积是6cm2，它的一条边的长与这条边上的高； 答：是成反比例关系.因为三角形的一条边的长与这条边上的高的乘积是定值，所以三角形的一条边的长与这条边上的高成反比例关系。 随堂检测 1.判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由： (3) 张华每小时可以制作120朵小红花，她制作的小红花朵数与制作时间. 答：不成反比例关系.因为张华制作的小红花朵数与制作时间的乘积不是定值，所以两个量不成反比例关系. 易错：每小时制作的小红花朵数=小红花朵数÷制作时间=定值。 随堂检测 2. 糖果厂生产一批水果糖.把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表： (1) 这批水果糖共有多少颗？ (2) 总袋数是怎样随着每袋装的颗数的变化而变化的？ (3) 用n表示总袋数，m 表示每袋装的颗数，用式子表示n与m的关系，n与m 成什么比例关系？ 每袋装的颗数 10 12 18 20 24 … 总袋数 360 300 200 180 150 … 随堂检测 2. 糖果厂生产一批水果糖.把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表： (1) 这批水果糖共有多少颗？ 解：这批水果糖共有颗数=每袋装的颗数×总袋数=10×360=3600(颗). 每袋装的颗数 10 12 18 20 24 … 总袋数 360 300 200 180 150 … 答：这批水果糖共有3600颗. 随堂检测 2. 糖果厂生产一批水果糖.把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表： (2) 总袋数是怎样随着每袋装的颗数的变化而变化的？ 解：总袋数随着每袋装的颗数增加而减少。 每袋装的颗数 10 12 18 20 24 … 总袋数 360 300 200 180 150 … 随堂检测 2. 糖果厂生产一批水果糖.把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表： (3) 用n表示总袋数，m表示每袋装的颗数，用式子表示n与m的关系，n与m成什么比例关系？ 解：mn=3600或n= ，n与m成反比例关系。 每袋装的颗数 10 12 18 20 24 … 总袋数 360 300 200 180 150 … 课程小结 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值，且k ≠ 0)，反比例关系可以用xy = k或y = 来表示，其中k叫作比例系数. $$