第三单元长方形和正方形（讲义）-2024-2025学年三年级上册数学苏教版

长方形和正方形 板块一：考点精讲 1．长方形的特征及性质 【知识点归纳】 长方形：是一种平面图形，长方形的四个角都是直角，同时长方形的对角线相等． 长方形的性质： 1．长方形的4个内角都是直角； 2．长方形对边相等； 3．长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴．对称中心是对角线的交点． 4．长方形是特殊的平行四边形，长方形具有平行四边形的所有性质 长方形的判定： ①定义：有一个角是直角的平行四边形是长方形 ②定理1：有三个角是直角的四边形是长方形 矩形的面积：S矩形＝长×宽＝ab． 黄金长方形： 宽与长的比是（√5﹣1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金长方形． 黄金长方形给我们一协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙等． 2．正方形的特征及性质 【知识点归纳】 1．概念：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．性质： （1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直 （2）内角：四个角都是90°； （3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角； （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）． （5）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质． （6）特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． （7）正方形是特殊的长方形． 3．长方形的周长 【知识点归】 周长：图形一周的长度，就是图形的周长；周长的长度等于图形所有边的和．一般用字母C来表示． 计算方法： ①周长＝长+宽+长+宽 ②周长＝长×2+宽×2 ③周长＝（长+宽）×2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求长方形的周长，分别找出长和宽，代入公式即可求得． （2）周长概念和公式要理解牢记． 4．正方形的周长 【知识点归纳】 正方形周长是围成正方形的边长总和，由于正方形的特征是4条边都相等，所以正方形周长＝边长×4． 用字母表示为c＝4a． 【解题思路点拔】 （1）常规题求正方形周长，先求出边长，代入公式即可得． 板块二：高频考点 一、选择题 1．下面说法正确的是（    ）。 A．两位数乘一位数积一定是两位数 B．1千克铁比1000克棉花重 C．正方形周长是它边长的4倍 D．任何数与0相乘都得0，任何数与1相乘都得1 2．把一个可以活动的平行四边形拉成一个长方形，那么周长（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．无法确定 3．用（     ）个同样大小的小正方形，不能拼成一个大正方形． A．4 B．8 C．9 D．16 4．数学课上，张老师让同学们用正方形纸通过“折一折、比一比”的方法来探究正方形的特征，乐乐在探究时先把正方形纸上下对折（如图1），然后又把正方形纸斜着对折（如图2）。乐乐通过两次对折是为了验证（    ） A．正方形有四条边 B．正方形对边相等 C．正方形有四个角 D．正方形四条边都相等 5．王大叔把家中正方形羊圈的每边都增加了10米，这个羊圈的周长一共就会增加（    ）米． A．20 B．40 C．80 D．100 6．长方形菜地长120米，宽48米，沿菜地四周有一条小路，小路大约长（  ）． A．168 米 B．268 米 C．336米 D．526米 7．下图的周长是(单位：厘米) （ ） A．130厘米 B．40厘米 C．32厘米 D．12厘米 二、填空题 8．先量一量，再填一填。（取整厘米数）    周长是（    ）cm                周长是（    ）cm 9．长12厘米，宽8厘米的长方形纸剪成一个最大的正方形，正方形的周长是( )厘米，剩下的图形周长是( )厘米。 10．一张长方形纸，长30厘米，宽20厘米，这个长方形的纸的周长是( )厘米；如果靠一端剪下一个最大的正方形，正方形的边长是( )厘米，剩下的部分正好又可以剪成两个边长是( )厘米的小正方形。 11．平行四边形的对边( )，正方形的四条边( )． 12．长方形和正方形都有( )条边，( )个角，它们都是( )角．长方形( )边相等，正方形四条边都( )，正方形是( )长方形． 13．在一张长10厘米，宽4厘米的长方形纸上剪去一个最大的正方形，剩下的图形周长是( )厘米。 14．把两个长10厘米、宽4厘米的长方形拼成一个大长方形，这个大长方形周长最大是( )厘米。 15．用一张长16厘米、宽12厘米的长方形纸，折出最大的正方形，正方形的边长是( )。 三、判断题 16．用三个周长都是64厘米的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的周长是128厘米。    ( ) 17．我们没有办法测量物体的周长．             ( ) 18．把长方形从中间剪开得到两个正方形，每个正方形的周长是原长方形周长的一半。( ) 19．至少4个同样的小正方形可以拼成一个大正方形。( ) 20．小孟说：“黑板表面的形状是长方形。”( ) 21．四条边都相等的图形一定是正方形。( ) 22．把两个完全一样的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是其中一个正方形周长的2倍。( ) 23．一根8米的绳子围成的长方形和正方形的周长是一样的。( ) 四、解答题 24．在一个长12厘米，宽8厘米的长方形中剪一个最大的正方形，这个正方形的周长是多少厘米？剩下图形的周长是多少厘米？ 25．一块长方形菜地，长8米，宽5米。如果菜地一面靠墙，篱笆至少长多少米？（先画图，再列式解答） 26．一个长方形操场，长55米，宽45米。小红沿操场跑3圈，跑了多少米？ 27．一个长方形的长是34厘米，如果长缩短10厘米，这样就变成了一个正方形，那么原来长方形的周长是多少厘米？ 28．用两个长6厘米，宽2厘米的长方形拼成长方形，拼成的长方形的周长是多少厘米？（提示：先画图，再算一算） 29．足球场的长是243米，宽比长短58米．小刚绕着操场跑了3圈，他一共跑了多少米？ 30．王大伯想用篱笆围一个长是22米、宽是13米的长方形菜园，接头处要用2米，他需要篱笆多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B B D B C C 1．C 【分析】根据两位数乘一位数计算方法，举例判断、1千克等于1000克以及正方形周长＝边长×4进行逐一分析即可。 【详解】A．30×4＝120，积是三位数，两位数乘一位数积一定是两位数是错的； B．1000克＝1千克，都是1千克，即1千克铁和1000克棉花一样重； C．正方形周长是它边长的4倍，正确。     D．0×1＝0，即任何数与1相乘都得1是错的。 故答案为：C 【点睛】明确克、千克单位进率以及正方形周长公式是解决本题关键。 2．B 【详解】试题分析：根据平行四边形活动框架拉成长方形后各条边的变化来进行判断． 解：平行四边形活动框架拉成长方形之后，每条边的长度不变，所以周长不变． 故选B． 点评：解决本题的关键是熟悉前后两个图形的主要变化：边长不变，把一个平行四边形活动框架拉成长方形后，高变大． 3．B 4．D 【分析】第一次将正方形纸上下对折，可以得出相对的两条边长度相等。第二次将正方形斜着对折，可以得出相邻的两条边长度相等。由此可以得出正方形的四条边长度相等。 【详解】由分析得： 乐乐通过两次对折是为了验证正方形四条边都相等。 故答案为：D 5．B 6．C 7．C 8．4 2；2 12；8 【分析】测量时，把线段的一个端点和尺子的0刻度线对齐，线段的另一个端点对着尺子刻度线几，这条线段就是几厘米。长方形周长＝（长＋宽）×2，正方形周长＝边长×4，测量出数据后，把数据代入计算即可。 【详解】（4＋2）×2 ＝6×2 ＝12（cm） 2×4＝8（cm）    9． 32 24 10． 100 20 10 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入相关数据即可求出它的周长；当长方形的宽为正方形的边长时，此时剪下的是一个最大的正方形；剩下的部分是一个长为20厘米，宽为（30－20）厘米的长方形，把它分成两个边长为（20÷2）厘米的小正方形，据此解答。 【详解】（30＋20）×2 ＝50×2 ＝100（厘米） 这个长方形的纸的周长是100厘米； 如果靠一端剪下一个最大的正方形，正方形的边长是20厘米； 20÷2＝10（厘米） 剩下的部分正好又可以剪成两个边长是10厘米的小正方形； 【点睛】本题考查了长方形和正方形的周长公式，学生应熟练掌握并灵活运用。 11．平行且相等、都相等 【详解】试题分析：根据平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等；正方形的性质：四条边都相等；据此解答即可．． 解：据分析可知： 平行四边形的对边平行且相等，正方形的四条边都相等． 故答案为平行且相等、都相等． 点评：此题考查了正方形的性质，应注意基础知识的灵活运用． 12． 4 4 直 对 相等 特殊的 【详解】试题分析：根据长方形和正方形的共有的特征：有4条边，4个角，都是直角；其中长方形的对边平行且相等，正方形四条边相等；正方形是特殊的长方形，据此解答即可． 解：长方形和正方形都有4条边，4个角，它们都是直角．长方形对边相等，正方形四条边都相等，正方形是特殊的长方形． 故答案为4、4、直、对、相等、特殊的． 【点评】此题考查长方形和正方形的特征，属于基本题，记住特征即可． 13．20 【分析】如图，一张长方形纸，长10厘米，宽4厘米，如果从这张纸上剪去一个最大的正方形，则剪出的正方形边长为4厘米，所以剩余长方形为宽为4厘米，长为10－4＝6厘米，再根据长方形周长＝（长＋宽）×2计算即可。 【详解】10－4＝6（厘米） 所以剩余长方形为长为6厘米，宽为4厘米； （6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 所以剩下的图形周长是20厘米。 14．48 【分析】要使拼成的长方形的周长最大，就把原来两个长方形的宽对在一起进行拼组，由此求解。 【详解】拼组如下： 新长方形的长是：10＋10＝20（厘米）； 宽是：4厘米； 周长是：（20＋4）×2， ＝24×2， ＝48（厘米）； 这个大长方形周长最大是48厘米。 【点睛】本题关键是找出拼组的方法，由此找出新长方形的长和宽，进而求解。 15．12厘米 【分析】用一张长16厘米、宽12厘米的长方形纸，折成一个正方形，以长方形的宽12厘米为边长的正方形是最大的，据此解答。 【详解】根据分析可知： 用一张长16厘米、宽12厘米的长方形纸，折出最大的正方形，正方形的边长是12厘米。 【点睛】把长方形折成正方形，以长方形的宽为边长的正方形是最大的。 16．√ 【分析】想一想，拼成的长方形长是多少厘米，宽又是多少厘米？ 【详解】64÷4＝16（厘米） （16＋16＋16＋16）×2＝128（厘米） 故答案为：√ 17．× 18．× 【分析】 如上图所示：假设长方形的长是4厘米，宽是2厘米，长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入相关数据求出它的周长；每个正方形的边长都是2厘米，正方形的周长＝边长×4，代入相关数据求出它的周长；再来判断每个正方形的周长是不是原长方形周长的一半。 【详解】长方形的周长：（4＋2）×2 ＝6×2 ＝12（厘米） 正方形的周长：2×4＝8（厘米） 从12厘米、8厘米中可知：每个正方形的周长不是原长方形周长的一半。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握周长的定义是解答此题的关键。 19．√ 【分析】要求所得到的正方形最小，则每条边长是由两个小正方形的边长组成。 【详解】要组成新的大正方形至少要小正方形：2×2＝4（个）。 所以原题的说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查图形拼组，解决的关键是要能想象出拼组后的大正方形的形状。 20．√ 【分析】长方形的2组对边相等，有4个直角。据此判断即可。 【详解】因为黑板的上下2个边相等，左右2个边相等，4个角都是直角，符合长方形的特点，所以黑板的形状是长方形。题干说法正确。 故答案为：√ 21．× 【分析】根据正方形的特征，四条边相等，四个角为直角的四边形是正方形，据此判断即可。 【详解】根据正方形的特征，一个图形的四条边相等，这个图形不一定是正方形，也有可能是平行四边形。 故答案为：× 22．× 【分析】 如图：，两个完全一样的正方形拼成一个长方形。设正方形的边长是1厘米，正方形的周长＝边长×4，把数据代入计算出正方形的周长。拼成的长方形的长是2厘米，宽是1厘米，长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入公式计算出长方形周长。将正方形周长和长方形周长作比较再进行判断。 【详解】1×4＝4（厘米） （2＋1）×2 ＝3×2 ＝6（厘米） 6不是4的2倍，这个长方形的周长不是其中一个正方形周长的2倍。 故答案为：× 【点睛】此题考查了周长的定义和长方形、正方形周长计算，采用赋值法简洁易懂。 23．√ 【详解】根据周长的意义，只要绳子的长度一样，不管围成的是什么图形，周长也是一样的。原说法正确。 故答案为：√ 24．32厘米；24厘米 【分析】根据题意分析，在这个长方形中剪一个最大的正方形，这个正方形的边长等于长方形的宽，根据正方形的周长＝边长×4，即可计算出正方形的周长；剩下图形的长是原来的宽，即8厘米，宽是（12－8）厘米，再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数值计算即可。 【详解】正方形：8×4＝32（厘米） 剩下图形：12－8＝4（厘米） （8＋4）×2 ＝12×2 ＝24（厘米） 答：这个正方形的周长是32厘米，剩下图形的周长是24厘米。 25．18米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，要想篱笆最短，菜地的长边应靠墙，此时篱笆长度为长＋2×宽，代入数据计算即可。 【详解】 8＋2×5 ＝8＋10 ＝18（米） 答：篱笆至少长18米。 【点睛】本题考查长方形周长公式的应用，需熟记公式，关键是明确长边靠墙时篱笆最短。 26．600米 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，依此计算出长方形操场的周长，然后用长方形操场的周长乘3，即可计算出小红沿操场跑3圈的长度，依此解答。 【详解】（45＋55）×2 ＝100×2 ＝200（米） 200×3＝600（米） 答：小红沿操场跑3圈，跑了600米。 27．96厘米 【分析】根据题干信息可知长比宽多10厘米，34减10求出长方形的宽，再根据周长公式，先求出长与宽的和，最后乘2即可求得长方形周长。 【详解】34－10＝24（厘米） （34＋14）×2 ＝48×2 ＝96（厘米） 答：原来长方形的周长是96厘米。 【点睛】此题的关键是先求出长方形的宽，宽即为正方形边长。 28．28厘米或20厘米；图见详解 【分析】如下图，有两种拼法，方法一：沿宽把两个长方形拼成一个大长方形，长为6＋6＝12（厘米），宽为2厘米；方法二：沿长把两个长方形拼成一个大长方形，长为6厘米，宽为2＋2＝4厘米；再根据长方形的周长公式计算即可解答。 【详解】 （1）（6＋6＋2）×2 ＝14×2 ＝28（厘米） （2）（6＋2＋2）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 答：拼成的长方形的周长是28厘米或20厘米。 【点睛】明确拼成的长方形的长、宽是多少是解答本题的关键。 29．2568米 【详解】试题分析：足球场是一个长方形，长是243米，宽比长短58米，用长方形的长减去58米，就是长方形的宽，再根据长方形的周长=（长+宽）×2，求出长方形的周长，再乘上3即可求出小刚跑的长度． 解：243﹣58=185（米） （243+185）×2×3 =428×2×3 =856×3 =2568（米） 答：他一共跑了2568米． 【点评】解决本题先求出长方形的宽，再根据长方形的周长求出一圈的长度，进而根据乘法的意义求出3圈的长度． 30．72米 【详解】22＋13＝35（米）    35×2＝70（米） 70＋2＝72（米） 答：他需要篱笆72米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$