6.3.1二项式定理课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.1 二项式定理 ( a + b ) 2 = 思考:(a+b)4的展开式是什么? ( a + b ) 3 = 一、复习回顾 解决问题的关键： (1)次数;(2)项数;(3)系数. 注：（1）各项的次数等于二项式的次数 （2）展开式的项数=次数+1 (a+b)2 = (a+b)(a+b)= a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3 C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4 猜 想 (a+b)4 ＝ 二、新知探究 ( a + b ) n= (a+b)n的展开式： 问：各项前的系数代表着什么？ 代表着这些项在展开式中出现的次数 —此公式叫做通项公式. 上述公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式， 它一共有 n＋1 项，其中各项的系数 叫做二项式系数. 二项展开式中的 叫做二项展开式的通项，用 来表示，即通项为展开式第k＋1项，即 三、二项式定理 1. 系数规律： 2. 指数规律： (1)各项的次数均为n； (2)各项里a的指数由n降到0，b的指数由0升到n. 3. 项数规律： 两项和的n次幂的展开式共有n+1个项 . 4. 通项公式: 二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项、特定项系数、以及数、式的整除方面有广泛应用 . 定理的特征： 三、二项式定理 注意： 2、 二项式定理对任意的数a, b都成立，若设a＝1, b＝x，则有 1、二项式系数与项的系数是两个概念 （1）二项式系数： （2）项的系数：二项式系数与数字系数的积 例1 求 的展开式 . 解：根据二项式定理，可得 解： 变式训练：课本31页练习 四、例题解析 例1 二项式定理的逆用 训练1(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________. x5－1 ＝(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1， 所以(x－1)5＋5(x－1)4＋…＋5(x－1)＝x5－1. 二项式定理的逆用练习 例2 解：(1) 由通项公式，可得 (2) 由通项公式，可得 解： 由通项公式，可得 变式训练：课本P31 解： 由通项公式，可得 变式训练：课本P31 解： 由通项公式，可得 变式训练：课本P31 解： 含x4的项是由5个括号中任意4个括号各取出1个x，剩余1个括号取出常数相乘得到的，故含x4的项的系数是 变式训练：课本P31 A 题型三　利用二项展开式的通项求参数 思维升华 1 1. 二项式定理： 小结： 2. 通项公式： 3. 二项式系数： 五、小结 (2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(n＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 解　原式＝Ceq \o\al(0,n)(x＋1)n＋Ceq \o\al(1,n)(x＋1)n－1(－1)＋Ceq \o\al(2,n)(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ceq \o\al(k,n)(x＋1)n－k· (－1)k＋…＋Ceq \o\al(n,n)(－1)n ＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 解析　因为[(x－1)＋1]5＝(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋1 所以Cm6－2(－1)2＝60， 即15m4＝60. 又m>0，所以m＝. 解析　二项式的展开式的通项为Tr＋1＝C(mx)6－rx－2r·(－1)r 例3 二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mx－\f(1,x2)))eq \s\up12(6)(m>0)的展开式中常数项为60，则m＝(　　) A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.3 ＝Ceq \o\al(r,6)m6－rx6－3r·(－1)r，0≤r≤6，且r∈N. 令6－3r＝0，得r＝2， 二项式中的参数求解问题，一类是借助二项式定理的通项公式求解，需要注意的是展开式中第r＋1项的二项式系数Ceq \o\al(r,n)与第r＋1项的系数是不同的，特别要注意符号；另一类是利用二项式系数或特定项求指数n，要注意n为正整数. 当9－2k＝3时，解得k＝3， 代入得x3的系数为C(－a)3＝－84， 解得a＝1. 训练3 已知二项式的展开式中x3的系数是－84，则a＝________. 解析　的展开式的通项为 Tk＋1＝Cx9－k(－a)k· ＝C·(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N). $$