6.2.3组合6.2.4组合数课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.3 组合 复习回顾 2. 排列数公式 3. 全排列     1. 排列数的定义   问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动, 其中1名同学参加上午的活动, 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 甲乙， 甲丙， 乙丙 问题引入 从已知的3 个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列. 从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组 有顺序 无顺序 排列 组合 甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙 探究新知 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination). 注意： (1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. (2)组合的特性：元素的无序性. 取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求. 组合定义: 共同点: 都是“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，排列的有序性 而组合则与元素的顺序无关，组合的无序性 探究新知 　　你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？ ？ 探究 组合 甲乙 甲丙 乙丙 甲乙，乙甲 甲丙，丙甲 乙丙，丙乙 排列 问题一和问题二中“排列”和“组合”的对应关系： 思考：如何区分排列问题还是组合问题？ 排列问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关. 组合问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关. 练习：校门口停放着9辆共享自行车，下面的问题： (1)从中选3辆，有多少种不同的方法？ (2)从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法？ 没有顺序，是组合问题 有顺序，是排列问题 例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题： 题型一　组合概念的理解 (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 解　(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题. (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题. (3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题. (4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题. 例5 平面内有A，B，C，D共4个点. (1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条? 分析: (1)确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题; (2)确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题. 解： 例题讲解 结论：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半 利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？ ？ 思考 1. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛. (1) 列出所有各场比赛的双方； (2) 列出所有冠、亚军的可能情况. 解：(1) 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁. (2) 冠军 甲 甲 甲 乙 乙 乙 丙 丙 丙 丁 丁 丁 亚军 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙 课堂练习 课本P22 解：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD共4个. 2. 已知平面内A, B, C, D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形. 3. 现有1, 3, 7, 13这4个数. (1) 从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和? (2) 从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差? 解：(1) 不相等的和为4, 8, 14, 10, 16, 20，共6个. (2) 不相等的差为－2, －6, －12, 2, －4, －10, 6, 4, 12, 10，共10个. 课堂练习 课本P22 10 题型三　简单的组合问题 例3 有5名教师，其中3名男教师，2名女教师. (1)现要从中选2名去参加会议，有__________种不同的选法； (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法； (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有__________种不同的选法. 4 3 解析　(1)从5名教师中选2名去参加会议的选法种数，通过列举法可得共有10种不同的方法. (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师，有3种方法； 第2类，选出的2名是女教师，有1种方法. 根据分类加法计数原理，共有3＋1＝4(种)不同选法. (3)从3名男教师中选2名的选法有3种，从2名女教师中选2名的选法有1种， 根据分步乘法计数原理，共有不同的选法3×1＝3(种). 训练3 一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解　(1)从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是10. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是6. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是4. 1.组合的定义 课堂小结 2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法： 排列问题 组合问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关. 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关. 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination). 6.2.4 组合数 类比排列数，我们引进组合数概念： 组合数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. 组合的第一个字母 元素总数 取出元素数 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为 从4个不同元素中任取3个元素的组合数为 符号 中的C是英文combination (组合)的第一个字母. 组合数还可以用符号 表示. 思考： 探究 前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢? 3个不同元素a, b, c中取出2个共有ab, ac, bc 3个不同的组合， 4个不同元素a, b, c, d中取出3个共有abc, abd, acd, bcd 4个不同的组合， 4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素的排列数为 3个不同元素a, b, c中取出2个元素的排列数为 下面我们就来探究 从3个不同元素a, b, c中取出2个元素 从4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素 组合 ab 排列 ac bc ab ba ac ca bc cb 由此可得 组合 abc 排列 abd acd abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb 由此可得 这里的n, m∈N*，并且m≤n，这个公式叫做组合数公式. 组合数公式： 另外，我们规定 所以上面的公式还可以写成 探究新知 解： 例6 计算： 思考 此关系是否具有一般性？ 性质1 性质1 性质2 组合数的性质： 课本P28 解： 1. 计算： 课本P25 巩固训练： 1. 计算： 解： 解： 解： 证明： 解： 证明： 2. 求证： 课本P25 例7 在100件产品中, 有98件合格品, 2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1) 有多少种不同的抽法? (2) 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 解： (1) 所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为 (2) 从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 例7 在100件产品中, 有98件合格品, 2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1) 有多少种不同的抽法? (2) 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? （3）解1(直接法)： 解2(间接法)： 抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 思维升华 3. 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩. (1) 共有多少种不同的选法? (2) 如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法? (3) 如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法? 解： 课本P25 例4 从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(　　) A.300 B.216 C.180 D.162 C 题型四　排列与组合的综合问题 解析　依题意知，可以分两类： 由分类加法计数原理，组成没有重复数字的四位数共有72＋108＝180(个). 1.求解排列与组合问题，首先把握问题的实质，元素是否有序，再结合两个计数原理，按元素的性质确定分类标准，按事情发生的过程确定分步的顺序. 2.解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列. 思维升华 训练4 大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的10个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时填报，则该考生有________种不同的填报专业志愿的方法(用数字作答). 672 第二类：取数字0，取2和4中一个数字，再取2个奇数，组成无重复数字的四位数有CCCA＝108(个). 第一类，不取0，从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为CA＝72. 当甲、乙两个专业选1个时，有CCA＝336(种). 根据分类加法计数原理，共有336＋336＝672(种)不同的填报专业志愿的方法. 解析　当甲、乙都不选时，有CA＝A＝336(种)； $$