串讲01 二次根式（考点串讲，3个常考点+8种重难点题型+4个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

八年级沪教版数学上册期中考点大串讲 串讲01 二次根式 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理 八大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 四大易错易混经典例题 精选6道期中真题对应考点练 二次根式 概念 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式. 其中“”称为二次根号. 有意义的条件 被开方数（式子）为非负数， （a≥0） 考点透视 二次根式 性质 （a≥0），二次根式的被开方数非负 ≥0（a≥0），二次根式的值非负 拓展 a （a≥0） 最简二次根式和同类二次根式 最简二次根式 被开方数不含分母 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，被开方数相同 二次根式的运算 乘法法则 法则逆用 二次根式的运算 除法法则 法则逆用 二次根式的运算 混合 运算 加、减、乘、除、乘方、开方混合 先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先去掉括号. 灵活运用运算律、多项式乘法法则和乘法公式. 重难点1：二次根式的概念 下列式子中是二次根式的有哪些？请说明原因. ① ② ③ ④ ⑤ 序号 结论 理由 ① ② ③ ④ ⑤ 是 不是 不一定 不是 是 含有二次根号，且被开方数是非负数. 不是二次根号. 被开方数是负数. 被开方数可能为负数，也可能为非负数. 注意是非负数，则+2也是非负数. 题型剖析 9 （1） （2） （3） 重难点2：二次根式有无意义的条件 当 a 取何值时，下列式子在实数范围内有意义？ 根号下式子非负 同时分母不为0 同时满足两个根号下式子非负 根号下式子非负 同时分母不为0 当 a 取何值时候，下列式子在实数范围内有意义？ （1） （2） （3） 解：（1）由 a+2≥0 且 a-5≠0，得 a≥-2 且 a≠5. 所以当 a≥-2 且 a≠5 时， 在实数范围内有意义. 当 a 取何值时候，下列式子在实数范围内有意义？ 解：（2）由 a-1≥0 且 3-a≥0 ，得 1≤ a ≤ 3. 所以当 1≤ a ≤ 3 时， 在实数范围内有意义. （1） （2） （3） 当a取何值时候，下列式子在实数范围内有意义？ 解：（3）由 3a-2>0，得 a>. 所以当 a> 时， 在实数范围内有意义. （1） （2） （3） 类型 举例 式子有意义的条件 单个二次根式 多个二次根式相加 二次根式作为分式的分母 二次根式与分式相加 二次根式与零指数幂相加 1.若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）. 解：由 在实数范围内有意义，得 x-2≥0 且 x-7≠0. A A. x≥2 且 x≠7 B. x ≥2 C. x>2 且 x≠7 D. x<2 解得 x≥2 且 x≠7. 举一反三 重难点3：二次根式的性质 计算： （1） （2） 解：（1） （2） 计算： （3） （4） 解：（3） （4） （1）三类常见的非负数：. （2）若即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0. （3）化简形如的式子时，要先转化为，再根据a的符号去掉绝对值符号. 2.若 . 解：由题意可知： 所以 -3 举一反三 3.已知与 解答本类题时常先依据“若几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0”列出方程组，然后解方程组求出字母的值，再把字母的值代入相关式子求值. 3.已知与 解： ∵ 与 ∴ ∵ ∴，解得 ∴=1 4.化简： 解： 原式= 由题意可得： ≥0，即 所以原式= -1- +3=2. ≥0 5. 解：由题意可得8-n≥0且n≥0，所以0≤n ≤8，所以0≤8-n ≤8. 因为，即8-n是一个完全平方数，在0~8之间的完全平方数有0，1，4. 所以当8-n=0时，解得n=8；当8-n=1时，解得n=7；当 8-n=4时，解得n=4. 综上，自然数n的值为8或7或4. 重难点4：最简二次根式 把下列二次根式化成最简二次根式： （1） （2） 解：（1） （2） （3） （1） （2） 重难点5：二次根式的乘法法则 1.计算下列式子： 解：（1） （2）()() （1） （2） 1.计算下列式子： 解：（3） 将二次根式下的带分数化为假分数. 2.化简下列各式子： （1） （2） 解：（1） （2） 2.化简下列各式子： 解：（3） （1） （2） 重难点6：二次根式的除法法则 （1） （2） 解：（1） （2） 1.计算下列式子： 将二次根式下的带分数化为假分数 2.化简下列各式子: （1） （2） 解：（1） （2） （3） 重难点7：二次根式的加减法 计算下列式子： （1） （2） 解：（1） （2） 重难点8：二次根式的混合运算 计算下列式子： （1） （2） 解：（1） 计算下列式子： （1） （2） 解：（2） 二次根式乘除混合运算的方法 （1）将式子中的除法转化为乘法； （2）利用乘法运算律转化为系数和被开方数的运算； （3）将系数和被开方数分别相乘； （4）结果化成最简二次根式（或整式）. 6.计算： 解：（1） 举一反三 7.计算： 解：原式= = = 利用完全平方公式和平方差公式进行运算. 8.先化简 . 解：原式= = 当时， 原式==2. 9. 解析：本题可以采用“0”点取值法，即令要讨论的每个代数值为 0，求出代数式的值为 0 时字母的值，然后进行分类讨论.分类讨论时要做到不重复、不遗漏. 9. 解： 原式= . ①当<-3时， . 所以原式= . 9. ②当-3≤≤1时， . 所以原式= . ③当>1时， . 所以原式= . 9. 综上可知，原式= 4（-3≤≤1） 易错易混 1.（2023秋•青浦区校级期中）下列二次根式中，最简二次根式是( __ ) A. B. C. D. 【解析】解：A、被开方数含有分母，不符合题意； B、 ，不是最简二次根式，不符合题意； D 押题预测 C、 ，不是最简二次根式，不符合题意； D、 ，是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 46 2.（2023秋•浦东新区期中）若 = 在实数范围内成立，则x的取值范围是( ____ ) A.x≥1 B.x≥4 C.1≤x≤4 D.x＞4 【解析】解：∵ = 在实数范围内成立， ∴x-1≥0，x-4＞0， ∴x＞4． D 故选：D． 47 3.（2023秋•闵行区期中）二次根式 有意义的条件是　 　． 【解析】解：根据二次根式有意义，得：2x+1≥0， 解得：x≥- ． 故答案为x≥- ． 48 4.（2022秋•静安区校级期中） 设-1≤x≤7，化简： - ． 【解析】解：∵-1≤x≤7， ∴x-7≤0、x+1≥0， 则原式= - =7-x-(x+1) =7-x-x-1 =6-2x. 49 5.（2022秋•杨浦区期中） 计算： -2a +2ab2 (b＜0)． 【解析】解： (b＜0) =ab + ab -ab = ab ． 50 6.（2022秋•奉贤区期中） 已知x,y为实数，且 ，求xy的平方根． 【解析】解：由题意得， ， 解得x=27， 则y= ， ∴xy= =9， ∴9的平方根是± =±3． 51 $$