2.2基本不等式课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 上一节我们利用国际数学家大会的会标与完全平方公式得出了一类重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b， 我们有 当且仅当a=b时，等号成立 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 问题一 替换后得到： 即： 即： 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？ 问题二 证明：要证 只要证 ① 要证①，只要证 ② 要证②，只要证 ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分析法 证明不等式： 问题二 若a>0，b>0，则 ≥ 通常我们把上式写作： 当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 基本不等式 在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数，所以文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? Rt△ACD∽Rt△DCB， A B C D E a b O 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. ②如何用a, b表示CD? CD=______ ①如何用a, b表示OD? OD=______ 问题三 ③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD ≥ 几何意义：半径不小于弦长的一半 变式：当x<0，求最大值？ 例题 例题 小结： 求最值时注意把握 “一正，二定，三相等” 已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P  x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S  xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 1 4 2. 利用基本不等式求最值 1. 两个重要的不等式 回顾：       基本不等式在解决实际问题中有广泛应用，是解决最大（小）值问题的有力工具. 例3：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 解：如图设BC=x ，CD=y ， 则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m. 当且仅当 时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 此时x=y=10. x=y A B D C 例题 例3：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则 2(x + y)= 36 , x + y =18 矩形菜园的面积为xy m2 得 xy ≤ 81 当且仅当x=y时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2 即x=y=9 例题 A B D C 例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m,如果池底每平方的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少？ 例题 如图，用一段长为30m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m,当这个矩形的边长长为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ A B D C 变式练习 课本P48T2 利用基本不等式求最值 配凑法 化简消元法 1的代换 拆裂项法 拓展对勾函数 (1)已知x<eq \f(5,4)，求y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值； (2)已知0<x<eq \f(1,2)，求y＝eq \f(1,2)x(1－2x)的最大值； (3)已知x>0，求y＝eq \f(2x,x2＋1)的最大值； (4)已知x>0，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值. 已知函数y＝x＋eq \f(1,x). (1)已知x>0，求函数y的最小值． (2)已知x<0，求函数y的最大值． $$