2.1不等关系与不等式课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1 不等关系与不等式 长短 轻重 实际生活中: 大小 高矮 探究点1 在数学中，我们怎样来表示不等关系？ 用不等式表示. 1.某路段限速40 km/h，写成不等式：___________. 0<v≤40 问题一：请看下面现实生活的例子: 2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5％ ，蛋白质的含量p应不少于2.3％，写成不等式组为　　　　　.　　 f≥2.5% p≥2.3% 3.三角型两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，写成不等式： 　 设三边长为a,b,c,则a+b>c,a-b<c 4.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短，写成不等式： 　 如图，CD<CE 将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与数学符号间的正确转换. 文字语言 大于 小于 大于等于 小于等于 数学符号 ＞ ＜ ≥ ≤ 文字语言 至多 至少 不少于 不多于 ≤ 数学符号 ≥ ≥ ≤ 【提升总结】 问题二： 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a=b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对.这可以表示为 关于实数a,b大小的比较，有以下事实： 探究点2 作差法比较两个实数大小 例一： 作差比较法的步骤是： 1. 作差； 2. 变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等； 3. 判断符号； 4. 作出结论． 练习P40T2 思考1：这会标中含有怎样的几何图形？ 思考2：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ 探究点3 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 a b 1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿ ２、四个直角三角形的面积和S’ =＿＿ ３、S与S’有什么样的不等关系？ S___>__S′ 问：那么它们有相等的情况吗？ A D B C E F G H b a 重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 A B C D E(FGH) a b 你能用作差法给出不等式 的证明吗？ 证明： 思考3： 一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 适用范围： a,b∈R 【重要不等式】 我们知道，等式有一些基本性质，如 不等式是否有类似性质呢？ 带着这个问题，我们继续学习！ 思考： 探究点4 不等式的性质 （对称性) (传递性) (可加性) 由性质（3）可得： 一般地说，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. (可乘性) (同向不等式的可乘性)（同正） （同向不等式的可加性） (可乘方性) 你还有其他证明方法吗？ 探究点5 不等式的性质的应用 证明：(作差法) 【即时练习】 课本P42T2 > < < < 当堂达标： 1.不等式的基本性质； 2.不等式基本性质的应用. 3.不等式的基本性质列表 性质 具体名称 性质内容 特别提醒 （1） （2） （3） （4） 对称性 传递性 可加性 可乘性 a>b a>b,b>c a>b _______ _______ ⇔ ⇒ 注意c 的符号 ⇔ b<a a>c a+c>b+c ac>bc ac<bc ⇔ ______ ⇒ ____ ⇔ _________ ⇔ ⇔ 性质 具体名称 性质内容 特别提醒 （5） （6） （7） 同向可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 ________ ______ a>b>0 a,b为正数 ⇒ ⇒ a+c>b+d ________ ac>bd an>bn ⇒ ⇒ ⇒ (n∈N,n≥2) $$