精品解析：广东省深圳市高级中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

初三年级数学暑假作业反馈练习【2024-09-18】 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 一元二次方程的解完全正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴， 故选：B． 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 由于关于的一元二次方程有实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 且． 故选C． 3. 在一次兑换盲盒的游戏中，规定：在不透明的袋子中，放置3个黄球，2个红球，这些小球除颜色以外其他完全相同，搅匀后随机摸出两个球，若摸到的两个球颜色相同，便能得到一次兑换盲盒的机会，则参与者每次摸球得到兑换盲盒机会的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，利用概率计算公式，即可求解；能理解放回与不放回的区别是解题的关键． 【详解】解：列表如下 黄 黄 黄 红 红 黄 黄 黄 红 红 共有种等可能结果，其中摸到的两个球颜色相同的有种结果， 摸到的两个球颜色相同的概率：； 故选：C． 4. 若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（　　） A. B. 2018 C. D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得，从而可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴，即， ∴， 故选：D． 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定，根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定定理进行判定即可得到结论 【详解】解：A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，说法正确，故选项A符合题意； B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，故选项B不符合题意； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故选项C不符合题意； D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法错误，故选项D不符合题意； 故选：A 6. 如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点C，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，作图基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质．根据作图过程可得是的平分线，然后证明，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 根据作图过程可知：是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，，， ， 解得：． 故选：B． 7. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得. 【详解】设花带的宽度为，则可列方程为， 故选D． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系. 8. 如图①，在矩形中（），动点从点出发，沿匀速运动，运动到点处停止．设点的运动路程为，的周长为，与的函数图象如图②所示，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设的长为a，由函数图象可知，根据第一次周长为12时列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． 设的长为a， 由函数图象可知，当周长第一次为12时，点P运动到点D，当周长第二次为12时，点P运动到点C， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数土象，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，数形结合是解答本题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 关于的一元二次方程的一个根是1，则常数______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的含义．根据一元二次方程的解的定义，把代入求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是1， ∴把代入方程， 得， 解得：． 故答案为：． 10. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为___． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：3 11. 如图，在四边形中，，为中点，连接交于点，若为中点，，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查中位线定理及性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，根据题意得出，，进而得出． 【详解】解：∵分别为、的中点，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：6． 12. 如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题的关键． 确定平行于墙的一边与★的关系即可求解． 【详解】解：由题意可得：平行于墙的一边为：， 由可得，★表示的为平行于墙的一边的长度， 即为：★表示的代数式为， 故答案为． 13. 如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为______．    【答案】 【解析】 【分析】作于，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：作于，      由折叠的性质可知，， 四边形是菱形， ，， 为等边三角形， ， 设，则， 在中，，， 在中，，，即， 解得，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 三、解答题（共7题，共61分） 14. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 ∴，； 【小问2详解】 或 ∴，． 15. 先化简，再求值：．其中是方程的根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解： ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 16. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）概率公式：； （2）画树状图求概率． 【小问1详解】 解：恰好抽到B（滑板）的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的结果数为2， ∴体育老师抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的概率为：． 17. 如图，在四边形中，，连接，，且经过的中点，点在上，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形 （2）若，且，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵是中的中线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）通过，，得出四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得，即可证明四边形是菱形． （2）根据，，得，而 ，用勾股定理可得，代入数值求解可得，故，即可求出菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， 故在中，用勾股定理可得， 代入数值为， 化简得， ∴， ∴菱形的面积为． 18. 栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． （1）求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率； （2）从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用， （1）设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，利用该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元， ∴月销售量为：， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该吉祥物摆件售价为元时，月销售利润达元． 19. 请认真阅读，并根据理解，完成相应任务： 阅读材料： 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”，例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． 任务一： （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③． 任务二： （2）关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； 任务三： （3）若关于的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 【答案】（1）①②；（2）1或；（3）或． 【解析】 【分析】（1）利用题中的新定义判断即可； （2）根据题中的新定义列出有关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （3）求得两个方程的根，根据“同伴方程”的定义即可得出的值． 【详解】解：（1）① 解得：，， ②， 解得：， ③， 解得， 所以，属于“同伴方程”的有①② 故答案为：①②； （2）一元二次方程的解为， 当相同的根是时，则，解得； 当相同的根是时，则，解得； 综上，的值为1或； （3）∵关于的一元二次方程（） 同时满足和， ∴关于的一元二次方程的两个根是， ∵的两个根是， ∵关于的一元二次方程（）与互为“同伴方程”， ∴或． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，根的判别式，熟练掌握新定义是解题的关键． 20. 我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”． （1）如图1、点A，B，C在网格格点上，请你在网格图甲和乙中画出2个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； （2）如图2，矩形中，，，点E在边上，连接 ，作于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由； （3）如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点（不与A，B重合），当四边形是等邻边四边形且为相等的邻边之一时，的长为 ． 【答案】（1）见详解； （2）四边形，是等邻边四边形，理由见解析； （3）3 【解析】 【分析】（1）根据等邻边四边形的定义画出两个不同形状的等邻边四边形； （2）根据题意求出，根据勾股定理求出，计算得到，根据等邻边四边形的定义判断即可； （3）根据条件画出等邻边四边形，再利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可 【小问1详解】 等邻边四边形如图所示： 【小问2详解】 四边形,是等邻边四边形，理由如下: 四边形是矩形， ，， 四边形,是等邻边四边形 【小问3详解】 ，，， ， D是的中点， 四边形是等邻边四边形且为相等的邻边之一， 如图，四边形是等邻边四边形且 过点D作，垂足为N 在中， 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，理解“等邻边四边形”的定义是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学暑假作业反馈练习【2024-09-18】 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 一元二次方程的解完全正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 在一次兑换盲盒的游戏中，规定：在不透明的袋子中，放置3个黄球，2个红球，这些小球除颜色以外其他完全相同，搅匀后随机摸出两个球，若摸到的两个球颜色相同，便能得到一次兑换盲盒的机会，则参与者每次摸球得到兑换盲盒机会的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（　　） A. B. 2018 C. D. 2024 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 6. 如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点C，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 7. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图①，在矩形中（），动点从点出发，沿匀速运动，运动到点处停止．设点的运动路程为，的周长为，与的函数图象如图②所示，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 关于的一元二次方程的一个根是1，则常数______． 10. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为___． 11. 如图，在四边形中，，为中点，连接交于点，若为中点，，，则______． 12. 如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为______． 13. 如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为______．    三、解答题（共7题，共61分） 14. 解一元二次方程： （1） （2） 15. 先化简，再求值：．其中是方程的根． 16. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 17. 如图，在四边形中，，连接，，且经过的中点，点在上，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形 （2）若，且，求菱形的面积． 18. 栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． （1）求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率； （2）从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？ 19. 请认真阅读，并根据理解，完成相应任务： 阅读材料： 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”，例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． 任务一： （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③． 任务二： （2）关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； 任务三： （3）若关于的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 20. 我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”． （1）如图1、点A，B，C在网格格点上，请你在网格图甲和乙中画出2个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； （2）如图2，矩形中，，，点E在边上，连接 ，作于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由； （3）如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点（不与A，B重合），当四边形是等邻边四边形且为相等的邻边之一时，的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $