立体几何动点问题专项训练-2025届高三数学一轮复习

立体几何动点问题（难） 1、 动平行，体积不变问题 2、 动垂直问题 3、 异面直线动点问题 4、 线面角动点问题 5、 二面角动点问题 6、 动点轨迹类问题 一、位置关系中的动态分析问题 1.动平行，体积不变问题 例1（多选）.在棱长为1的正方体中，点为底面的中心，点是正方形内（含边界）一个动点，则下列结论正确的是（　　） A． B．点存在无数个位置满足平面 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．三棱锥体积的最大值为 例2（多选）. 如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（　　） A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线与直线所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 例3（动态面面平行）.在正方体中，、分别为、的中点，，，如图. （1）若交平面于点，证明：、、三点共线； （2）线段上是否存在点，使得平面平面，若存在确定的位置，若不存在说明理由. 例4（动垂直问题） 2.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点． （1）若为线段上的动点，证明：平面平面； 二、空间角中的动点问题（难）。 空间角中的动点问题的解决方法以建系为主，1.动点在坐标轴上时，直接设坐标或设线段长2.动点在非坐标轴的线上，设比例系数，例如PM=mPA. 异面直线动点问题 例1（多选）.如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是（　　） A．三棱锥的体积是 B．平面 C．平面与平面所成的二面角为 D．异面直线与所成角的范围是 例2（多选）.如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（　　） A．三棱锥的体积为定值 B．为线段的中点时，过三点的平面截正方体所得的截面的面积为 C．的最小值为 D．直线与直线所成角的取值范围为 线面角动点问题 例1（多选）．已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中有下列结论：（　　） A．三棱锥的体积最大值为 B．三棱锥的外接球体积不变 C．异面直线与所成角的最大值为 D．与平面所成角的最大值为 例2．如图，在四棱锥中，面面，且，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 二面角动点问题 例1.如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面. （1）证明：BDCC1； （2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 例2. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点. （1）证明：平面平面； （2）是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 三、动点轨迹问题 例1.在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方形内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（　　） A．当时，点的轨迹长度为 B．若平面，则长度的最小值为2 C．当时，二面角的余弦值的最小值是 D．记直线与平面所成角为，则的取值范围是 例2. 如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则点在底面上运动形成的轨迹长度为　 　. 例3.．已知正方体中，O为正方形的中心．M为平面上的一个动点，则下列命题正确的　 　 ①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线距离相等，则M的轨迹是抛物线 位置关系中动点问题（建系法） 例1.如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 例2. 直三棱柱中，，，，点是线段上的动点. （1）当点是的中点时，求证：平面； （2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由. 跟踪训练 1. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，若底面，，点为线段上的动点，则(　　) A．对于动点，线段上存在动点不与端点重合，使得平面 B． C．与平面所成角的范围为 D．过点，且与直线和所成角均为的直线有条 2. 已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，且与正方体的内切球为球心交于，两点，则下列说法正确的是(　　) A．线段的长为 B．三棱锥的体积为 C．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为 D．设为球上任意一点，则的范围为 3.如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（　　） A．动点的轨迹长度为； B．异面直线与所成角的正切值为2； C．的最大值为2； D．三棱锥的外接球表面积为. 4．已知四棱锥分别为的中点，平面. （1）若，证明：平面； （2）若，二面角的大小为，求. 5．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点O是的中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点M，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何动点问题（难） 1、 动平行，体积不变问题 2、 动垂直问题 3、 异面直线动点问题 4、 线面角动点问题 5、 二面角动点问题 6、 动点轨迹类问题 1、 位置关系中的动态分析问题 1.动平行，体积不变问题 例1（多选）.在棱长为1的正方体中，点为底面的中心，点是正方形内（含边界）一个动点，则下列结论正确的是（　　） A． B．点存在无数个位置满足平面 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．三棱锥体积的最大值为 答案：A,B,D A，根据题意作图如下： 在正方体中，易知， 因为，所以平面，即，A正确； B，根据题意作图如下： 在正方体中，易知， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得：平面，因为，所以平面平面， 易知平面，当时，平面，B正确； C，根据题意作图如下： 在正方体中，易知， 因为，所以平面，即，同理可得：， 因为，所以平面，连接，易知， 则为直线与平面所成角， 在中，， 因为，所以直线与平面所成角的余弦值为.C错误； D，根据题意作图如下： 在正方体中， 易知当点与点重合时，三棱锥体积取最大值， 设点到平面的距离为，则， 由选项B可知，则，可得， 则三棱锥体积取最大值： ，D正确. 故答案为：ABD 例2（多选）. 如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（　　） A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线与直线所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 答案：A,C,D 以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，设， A、 当点为中点时， 即时，点，，，，即， 而平面，则平面，故A正确； B、由A可得，，故B错误； C、由A知，点到平面的距离为，而的面积， 因此三棱锥的体积是定值，故C正确； D、，则点到直线的距离 ，当且仅当时取等号，故D正确. 故答案为：ACD. 例3（动态面面平行）.在正方体中，、分别为、的中点，，，如图. （1）若交平面于点，证明：、、三点共线； （2）线段上是否存在点，使得平面平面，若存在确定的位置，若不存在说明理由. 解析： （1），平面，平面，所以，点是平面和平面的一个公共点，同理可知，点也是平面和平面的公共点，则平面和平面的交线为， 平面，平面，所以，点也是平面和平面的公共点，由公理三可知，，因此，、、三点共线； （2）如下图所示： 设，过点作交于点， 下面证明平面平面. 、分别为、的中点，， 平面，平面，平面. 又，平面，平面，平面， ，、平面，因此，平面平面. 下面来确定点的位置： 、分别为、的中点，所以，，且，则点为的中点， 易知，即，又，所以，四边形为平行四边形，， 四边形为正方形，且，则为的中点，所以，点为的中点，， 因此，线段上是否存在点，且时，平面平面. 例4（动垂直问题） 2.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点． （1）若为线段上的动点，证明：平面平面； 解析：由底面，得平面平面．将问题转化为点到直线的距离有无最大值即可解决. 【详解】（1）证明:因为，为线段的中点，所以, 因为底面，平面，所以, 又因为底面为正方形，所以，,所以平面, 因为平面，所以,因为，所以平面, 因为平面，所以平面平面. 2、 空间角中的动点问题（难）。 空间角中的动点问题的解决方法以建系为主，1.动点在坐标轴上时，直接设坐标或设线段长2.动点在非坐标轴的线上，设比例系数，例如PM=mPA. 异面直线动点问题 例1（多选）.如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是（　　） A．三棱锥的体积是 B．平面 C．平面与平面所成的二面角为 D．异面直线与所成角的范围是 答案：A,B,D 解：A、，因为到面的距离不变，且△的面积不变，所以三棱锥的体积不变，当与重合时：，故A正确；B、连接，，，，如图所示： 易证平面平面，因为面，所以面，故B正确； C、根据正方体的结构特征，有面，又面，则面面，故C错误； D、由知：当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围，故D正确. 例2（多选）.如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（　　） A．三棱锥的体积为定值 B．为线段的中点时，过三点的平面截正方体所得的截面的面积为 C．的最小值为 D．直线与直线所成角的取值范围为 答案：B,C 解：对于A，因为，面，面，所以面， 所以到面的距离等于到面的距离，所以，故选项A正确； 对于B，连接，因为分别为线段的中点，所以且， 又且，所以且， 所以过三点的截面为梯形， 易知， 作，则， 所以梯形的面积，故选项B错误； 对于C：将侧面展开如图，显然当三点共线时，取得最小值，最小值为，故选项C错误； 对于D，连接，则， 则直线与直线所成角即为直线与直线所成角， 则当与重合时，直线与直线所成角最小为， 当与重合时，直线与直线所成角最大为， 所以直线与直线所成角的取值范围为，故选项D正确. 故选：BC. 线面角动点问题 例1（多选）．已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中有下列结论：（　　） A．三棱锥的体积最大值为 B．三棱锥的外接球体积不变 C．异面直线与所成角的最大值为 D．与平面所成角的最大值为 答案：A,B 解：A、要使三棱锥的体积最大值，则点到平面的距离最大，此时平面平面时，作，垂足为，如图所示： 因为平面平面，平面，所以平面， 因为，所以， ，则， 即三棱锥的体积最大值为，故A正确； B、因为和均为以为斜边的直角三角形， 所以中点到四点的距离相等，即中点为三棱锥的外接球球心， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球体积为定值，故B正确； C、假设异面直线与所成角的最大值为，则， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以是以为斜边的直角三角形， ，与已知矛盾，故假设错误，故C错误； D、设与平面所成角为，点到平面距离为，则， 所以当点到平面距离最大时，与平面所成角最大， 当平面平面时，点到平面距离最大，此时， 即，则，故D错误. 故答案为：AB. 例2．如图，在四棱锥中，面面，且，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 答案：解：（1）过A作，垂足为，则， 以A为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 则，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为 ，， 则，令，解得：. 因为，所以 又平面，所以平面. （2）设平面的一个法向量为， 因为，， 所以，令，解得. 所以. 即平面与平面所成锐二面角的余弦值. （3）假设线段上存在一点，设，，. 因为，所以 则 因为平面的一个法向量 所以， 整理得：， 所以，因为，所以. 所以存在，且. 二面角动点问题 例1.如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面. （1）证明：BDCC1； （2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 答案：（1）证明：如图所示，连接， 因为为棱台，所以四点共面， 又因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：取中点，连接， 因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即， 由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 假设点存在，设点的坐标为，其中， 可得 设平面的法向量，则， 取，可得，所以. 又由平面的法向量为， 所以，解得 由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即 故上存在点，当时，二面角的余弦值为. 例2. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点. （1）证明：平面平面； （2）是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 答案：（1）证明：因为底面为正方形，则， 又因为平面，平面，， 且，平面， 可得平面，由平面，可得， 因为，且E为的中点，则， 由，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面. （2）解：以分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 设， 则， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 又因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意得：，即， 整理得即，解得， 所以存在点， 使二面角的大小为 ，. 三、动点轨迹问题 例1.在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方形内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（　　） A．当时，点的轨迹长度为 B．若平面，则长度的最小值为2 C．当时，二面角的余弦值的最小值是 D．记直线与平面所成角为，则的取值范围是 答案：A,D 解：以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，如图所示： 则有，，设，，， 对A：，故， 则点的轨迹为以为圆心，为半径，且在正方形内部的半圆， 则点的轨迹长度为，故A正确； 对B：，，， 则，，令平面的法向量为， 则有，可令，则，即， 由平面，则有， 即，则 ，故B错误； 对C：，，， 设平面的法向量为， 则有， 可令，则，，即， 易得轴平面，故平面的法向量可为， 则， 由A知，故，即， 则， 故二面角的余弦值的最小值是，故C错误； 对D：，平面法向量为， 则， 由，，则， 故，故D正确. 例2. 如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则点在底面上运动形成的轨迹长度为　 　. 答案： 例3.．已知正方体中，O为正方形的中心．M为平面上的一个动点，则下列命题正确的　 　 ①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线距离相等，则M的轨迹是抛物线 答案：②③ 位置关系中动点问题（建系法） 例1.如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 答案：解：(1)证明：因为，是的中点，所以， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，，， 又因为， 所以平面， 由题意，易知，， 所以四边形是平行四边形，故， 所以平面； (2) 因为平面， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， 所以是正三角形，所以， 所以与平面所成的角为30°； (3) 假设线段上是存在点，使得平面， 过点作交于，连结，，如下图： 所以，所以，，， 四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形，故， 所以为中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 例2. 直三棱柱中，，，，点是线段上的动点. （1）当点是的中点时，求证：平面； （2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由. 答案： （1）如图，连接，交于点，连接，则点是的中点， 又点是的中点，由中位线定理得，因为平面，平面， 所以平面. （2）当时平面平面. 证明：因为平面，平面，所以． 又，，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故点满足. 因为，，，所以， 故是以角为直角的三角形，又，所以. 跟踪训练 1. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，若底面，，点为线段上的动点，则(　　) A．对于动点，线段上存在动点不与端点重合，使得平面 B． C．与平面所成角的范围为 D．过点，且与直线和所成角均为的直线有条 答案：B,C 解：A、因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于平面与平面不平行，要使平面，则， 又因为点E为线段BC上的动点，点F在线段PC（不与端点重合）上，则不平行，故A错误； B、连接，如图所示： 因为，，所以， 梯形的面积，故， 又三棱锥与三棱锥的高均为， 故，故B正确； C、取的中点，连接，过点作⊥交于点，如图所示： 因为，所以， 又，所以四边形为平行四边形，所以，故⊥， 因为⊥底面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 连接，则即为AE与平面PBC所成角， 因为，所以为等腰直角三角形，， 故当与重合时，最大，最大为， 又对称性可知，当与或重合时，最小， 由勾股定理得，故， 故，所以AE与平面PBC所成角的范围为，故C正确； D、因为，故过点A，且与直线AP和BC所成角均为60°的直线条数等价于过点A，且与直线AP和AD所成角均为60°的直线条数， 以为邻边作正四棱锥，且侧面均为等边三角形，可以作两个， 故过点A，且与直线AP和BC所成角均为60°的直线可作2条，D错误. 故选：BC 2. 已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，且与正方体的内切球为球心交于，两点，则下列说法正确的是(　　) A．线段的长为 B．三棱锥的体积为 C．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为 D．设为球上任意一点，则的范围为 答案：A,B,D 解：A、分别取，，，的中点，，，，则过、、三点的截面为正六边形，球心为其中心， 如图所示： 在正六边形中，，点到的距离为，，所以，故A正确； B、建立空间直角坐标系，如图所示： ，，，， ，，， 因为，， 所以，，因为，平面， 所以，， 因为，故B正确； C、过、、三点的截面为正六边形，边长为，，故C错误； D、 因为，， 所以四边形为菱形，则， 所以 若与共线同向时，即， 若与共线反向时，即，， 所以的范围为，故D正确. 3.如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（　　） A．动点的轨迹长度为； B．异面直线与所成角的正切值为2； C．的最大值为2； D．三棱锥的外接球表面积为. 答案：A,C,D 解：取的中点，连接，如图所示： 因为分别为的中点，所以∥，且， 又因为平面，所以平面，平面，所以， A、在中，，可知动点的轨迹是以点为圆心，半径为1的半圆， 即动点的轨迹长度为，故A正确； B、因为∥，∥，则∥，则异面直线与所成角即为， 其正切值为，故B错误； C、因为线段在平面内的投影为，结合选项A可知：在方向上的投影数量的最大值为1， 所以的最大值为，故C正确； D、设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 因为平面，且为的外接圆圆心，可知， 则，解得，所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确. 4．已知四棱锥分别为的中点，平面. （1）若，证明：平面； （2）若，二面角的大小为，求. 答案：（1）证明：因为平面平面，， 又因为，且，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 与共面，所以， 又因为平面平面，所以平面. （2） 如图所示，以为原点，所在直线分别为，轴，再由线面垂直建立z轴，从而建立空间直角坐标系，如图所示： 建立空间直角坐标系.则，，， 设，则， 所以，，， 设面的法向量为， 由，令，可得， 设面的法向量为， 由， 令，可得. 设二面角的大小为，则， 所以，. 5．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点O是的中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点M，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由． 答案：（1）证明：因为，点O是的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又因为平面，所以； （2）解：设为的中点，连接， 因为，，所以，由（1）可知：平面，而平面， 所以， 以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，因此平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则，即，， 则二面角的余弦值为； （3）解：假设在棱上存在点M，使得平面，且，可得：，因此， 由（2）可知平面的法向量为， 因为平面，所以， 因此假设成立，. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$