14.3 实数（分层作业，13大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

第十四章 实数 14.3 实数（13大题型提分练） 知识点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 题型一 无理数 1．（2024·湖南益阳·二模）在实数 ， 0，  ，  中，无理数是（    ） A． B．0 C． D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）在，，，，，这六个数中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）写出一个大于2的无理数 ． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）为不大于的正整数，若为无理数，则可取的值是 ． 5．（23-24七年级上·浙江·期中）在数轴上表示数2，，，，并按从小到大的顺序用“<”号连接． 6．（24-25七年级下·山东滨州·期中）我们在七年级上册学习了有理数，这学期类比有理数学习了无理数，进而把数系扩大到了实数，请回忆七下第六章实数，叙述实数的学习路径（思路）及研究中用到的数学思想和方法． 题型二 实数概念理解 1．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）下列实数中，是无理数的为（    ） A． B．3.1415 C． D． 2．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）的相反数是 ． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）在数0、π、﹣0.1010010001，，中，无理数有 个． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各数的相反数和绝对值： ，，，，，． 6．（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 题型三 实数的分类 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）关于实数，下列说法错误的是（ ） A．是分数 B．是无理数 C．是非负数 D．是无限不循环小数 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数 C．带根号的数和分数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 3．（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）在下列实数，3.1415926，，0，16，，，1.103030030003…（两个3之间依次多一个0），中，非负整数有 4．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： ，1， 正数集合{ }； 负分数集合{ }； 非负整数集合{ }． 5．（23-24七年级下·西藏林芝·期末）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）把下列各数填入相应的集合中： 、、0、、、、、、 ①无理数集合 ②整数集合 ③有理数集合 ④负数集合 ． 题型四 实数的性质 1．（23-24七年级下·陕西安康·期中）的相反数是（    ） A．0 B． C． D． 2．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）设a、b为实数，①若，则；②若，则；③若，则；④若，则a与b中至少有一个数为0，则下列说法正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）的相反数是 ， ． 4．（23-24七年级下·辽宁营口·阶段练习）的绝对值是 ，的相反数是 ，的倒数是 ． 5．（23-24七年级下·甘肃陇南·期末）求下列各数的绝对值： ，，，，． 6．（23-24七年级下·山西阳泉·课后作业）写出下列各数的相反数：﹣，π﹣3.14，． 题型五 实数与数轴 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，周长为的圆上有仅一点A在数轴上，点A所表示的数为1．该圆沿着数轴向右滚动一周后A对应的点为B，且滚动中恰好经过3个整数点（不包括A、B两点），则的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）若在数轴上表示整数的点叫做整点，则直径为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动周，经过的整点的个数是 （不包括原点）． 4．（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则的长度为 ；若点A对应的数是，则点B对应的数是 ． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ，，，． 6．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，数轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等，设A、B、C三点表示的三个数之和为p． (1)求AB的长； (2)求p； (3)点D在点O的左侧，且，若以点D为原点，直接写出点C表示的数． 题型六 实数的大小比较 1．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）在下面四个实数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．3 2．（2024·福建南平·模拟预测）在实数3，1，0，中，最小的数是（　　） A． B．0 C．1 D．3 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ． 4．（23-24九年级上·福建福州·期末）在，，，这四个数中，最大的数是 ． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）比较与的大小． 6．（23-24七年级下·天津河西·期中）比较下列各组数的大小： (1) ； (2) ； (3) 题型七 无理数的大小估算 1．（23-24九年级下·重庆大渡口·阶段练习）估计大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 2．（2023·北京东城·模拟预测）数轴上有四点，最接近的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．（23-24七年级下·全国·期末）与最接近的整数是 ． 4．（2024·河南南阳·模拟预测）请你写出一个大于 且小于的无理数： ． 5．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）在剪纸拼图活动中，小明同学把图1中的大正方形纸片沿所示的虚线剪出4个完全相同的直角三角形与图1中小正方形纸片无缝隙不重叠拼成图2的正方形，经测量图1中的两个正方形纸片的边长分别为4和2，请你求出图2中正方形的边长，并将结果估算出在哪两个整数之间． 6．（23-24七年级下·吉林白城·期中）已知一块面积为的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)小吉想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布，长方形的面积为，且长宽之比为．小吉的方案是否可行？请说明理由． 题型八 无理数整数部分的有关计算 1．（23-24七年级下·广东中山·期中）的整数部分为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24八年级上·河北沧州·期中）设的小数部分是的整数部分是，则的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．一个无理数 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）若的整数部分为 ． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为a，则 ． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知的小数部分为，的小数部分为，求和的值． 6．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，每个小正方形的边长为1． (1)求图中阴影正方形的面积； (2)已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为的整数部分，求的算术平方根． 题型九 实数的混合运算 1．（2024·陕西西安·二模）的值是（　　） A．2 B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期末）在，0，，这四个数中，与的和为有理数的是（   ） A． B．0 C． D． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算： ． 4．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，数轴上点A表示的实数是，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴滚动1周，圆上的点A到达点B处，则点B表示的数是 ． 5．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）计算： 6．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）数轴上点A表示，点A关于原点的对称点为B，设点B所表示的数为x， (1)求x的值； (2)求的值． 题型十 程序设计与实数运算 1．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C． D．3 2．（23-24八年级下·河南濮阳·阶段练习）按如图所示的运算程序，若输入，则输出的y值为（    ）    A．0 B． C． D．以上都不对 3．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，输入的值为，则输出的数值 ． 4．（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序： 当输入x的值是时，输出的结果是 5．（23-24七年级下·河北衡水·期中）如图为一个数值转换器． (1)当输入的x值为4时，输出的y值为 ；当输入的x值为16时，输出的y值为 ； (2)输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x值； (3)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？ 6．（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当x为9时，y值为 ； (2)如果输入0和1， （填“能”或“不能”）输出y值； (3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值： ．（写出两个即可） 题型十一 新定义下的实数运算 1．（23-24八年级下·云南玉溪·阶段练习）对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算：．如，那么的结果为（   ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）设[x)表示大于x的最小整数，如，则下列结论：①；②的最小值是0；③的最大值是1；④存在实数x，使成立；⑤如，则不大于a的最大整数一定是奇数．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．③④ D．③④⑤ 3．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）对于两个有理数a，b，定义一种新运算如．下：，如：，那么 ． 4．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 5．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）对于任意非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，求的值． 6．（23-24七年级下·广东阳江·期末）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似．例如：．复数的加法运算法则：将两个复数的实部和虚部分别相加．例如：． 【应用新知】 (1)填空：______；______． (2)计算：． 题型十二 实数运算的实际应用 1．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④是分数．其中正确的为（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．② 3．（23-24九年级上·陕西西安·期中）在比例尺为的地图上，某经济开发区的面积为，那么，该经济开发区的实际面积为 ． 4．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    5．（23-24八年级上·全国·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 6．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 题型十三 与实数运算相关的规律题 1．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，所以，即，仿照以上推理计算的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 4．（23-24七年级下·河南安阳·期末）如图，某品牌的计算器上、、三个按键是并列的，是算术平方根按键；是倒数按键；是平方按键．计算器显示屏上现在显示100这个数字，小敏第一下按，第二下按，第三下按，之后以、、的顺序轮流按，当她共按100下后，该计算器屏幕上显示的数是 ． 5．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 6．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习），，…，．将以上等式两边分别相加得 用你发现的规律解答下列问题 (1)猜想并写出：___________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____________； ②______________； (3)探究并计算：． 1．（23-24七年级下·广东汕尾·期末）已知，为两个连续的整数，且，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）如图，数轴上点、对应的有理数分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）在实数，，，3.14，，3.1212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），中，无理数的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）用“★”规定新运算：对于任意实数a，b，都有，如果，那么x等于（    ） A．15 B． C． D． 5．（23-24八年级上·河南洛阳·阶段练习）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）写出两个无理数，使它们的和为5： ． 7．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在数轴上点和点之间的所有整数之和等于 ． 8．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）若的整数部分是a，小数部分是b，则的值为 ． 9．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于 ． 10．（23-24九年级下·全国·期末）请你规定一种适合非零实数a，b的新运算“”，使得下列算式成立：，，…你规定的新运算 .（用含a，b的一个代数式表示） 11．（23-24七年级下·云南红河·期末）计算：． 12．（23-24七年级上·全国·单元测试）完成下列各题： (1)求出下列各数的相反数：、、． (2)将（）中的数及其相反数表示在数轴上． (3)将（）中的数及其相反数按从小到大的顺序排列，并用“”连接 13．（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习）有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推． (1)填空： ， ． (2)试探寻规律，找出的值 14．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 15．（23-24七年级下·全国·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 实数 14.3 实数（13大题型提分练） 知识点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 题型一 无理数 1．（2024·湖南益阳·二模）在实数 ， 0，  ，  中，无理数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，根据“无限不循环小数是无理数”进行判断即可． 【详解】解：是无理数， 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）在，，，，，这六个数中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】在，，，，，这六个数中，无理数有，，共3个， 故选：C． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）写出一个大于2的无理数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和有关的数，有规律的无限不循环小数．首先2可以写成，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解． 【详解】解：，大于2的无理数只要被开方数大于4即可，如（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一） 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）为不大于的正整数，若为无理数，则可取的值是 ． 【答案】，，，，，， 【分析】本题考查了无理数．熟练掌握无理数定义是解题的关键． 根据无理数的定义求解作答即可． 【详解】解：∵为不大于的正整数，为无理数， ∴可取的值是，，，，，，， 故答案为：，，，，，，． 5．（23-24七年级上·浙江·期中）在数轴上表示数2，，，，并按从小到大的顺序用“<”号连接． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了绝对值，数轴，有理数大小比较； 先化简绝对值，再在数轴上找到各数对应的位置，然后根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大用“<”号连接． 【详解】解：， 将各数表示在数轴上如图所示： 由数轴得：． 6．（24-25七年级下·山东滨州·期中）我们在七年级上册学习了有理数，这学期类比有理数学习了无理数，进而把数系扩大到了实数，请回忆七下第六章实数，叙述实数的学习路径（思路）及研究中用到的数学思想和方法． 【答案】见详解 【分析】利用实数的定义，以及数学思想和方法即可得出结论． 【详解】解：实数分为有理数和无理数，用到了类比的方法和由特殊到一般的数学方法数学思想． 【点睛】本题主要考查了无理数，利用类比的方法和由特殊到一般的数学方法解答是解题的关键． 题型二 实数概念理解 1．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）下列实数中，是无理数的为（    ） A． B．3.1415 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 【详解】解：A．，是有理数，不符合题意； B．3.1415是有限小数，是有理数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D．是分数，是有理数，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了实数的分类，熟练牢记有理数的分类和无理数的概念是解题的关键． 【详解】解：由实数的分类可知，有理数分为分数和整数，无理数是无限不循环小数， ， ∴无理数有2个 故选：B． 3．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数，即可得到正确的答案． 【详解】解：无理数的相反数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求一个实数的相反数的能力，关键是能准确理解、运用相反数的概念． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）在数0、π、﹣0.1010010001，，中，无理数有 个． 【答案】1 【分析】根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：在所列实数中，无理数的是π， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查无理数，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各数的相反数和绝对值： ，，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了实数的性质，相反数和绝对值的意义，熟练掌握相反数和绝对值的意义是解本题的关键． 根据实数的性质，分别求其相反数和绝对值即可． 【详解】∵， ∴的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是1，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是． 6．（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 【答案】，，，；：，，，；，，，，；，，． 【分析】根据实数的分类逐一填写即可． 【详解】解：∵， ∴中 有理数集合为：，，，； 无理数集合为：，，，； 正实数集合为：，，，，； 负实数集合为：，，． 【点睛】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键． 题型三 实数的分类 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）关于实数，下列说法错误的是（ ） A．是分数 B．是无理数 C．是非负数 D．是无限不循环小数 【答案】A 【分析】本题考查了实数，理解实数的分类是解题的关键．根据实数的分类直接得出答案． 【详解】解：是无理数，是无限不循环小数，是非负数，不是有理数，所以不是分数， ∴B、C、D正确，A不正确． 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数 C．带根号的数和分数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 3．（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）在下列实数，3.1415926，，0，16，，，1.103030030003…（两个3之间依次多一个0），中，非负整数有 【答案】0，16， 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． 【详解】解： ， 1.103030030003…（两个3之间依次多一个0），是无理数； 是分数，3.1415926是小数，是负整数； 0，16，是非负整数． 故答案为：0，16，． 4．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： ，1， 正数集合{ }； 负分数集合{ }； 非负整数集合{ }． 【答案】 1， 1， 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握各类数的定义是解题的关键． 根据实数的分类进行判断即可． 【详解】解：正数：1，； 负分数：； 非负整数：1，． 故答案为：1，；；1，． 5．（23-24七年级下·西藏林芝·期末）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【答案】(1)，，，，相邻的两个之间依次多一个 (2)，，，， (3)，， (4)， 【分析】此题考查了实数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据无理数，有理数，分数，负无理数的定义求解即可． 【详解】（1）无理数集合：，，，，相邻的两个之间依次多一个， 故答案为：，，，，相邻的两个之间依次多一个， （2）有理数集合：，，，，， 故答案为：，，，，， （3）分数集合：，，， 故答案为：，，， （4）负无理数集合：，， 故答案为：，， 6．（2024七年级下·全国·专题练习）把下列各数填入相应的集合中： 、、0、、、、、、 ①无理数集合 ②整数集合 ③有理数集合 ④负数集合 ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了无理数、整数、有理数、负数的定义．根据无理数、整数、有理数、负数的定义选出即可． 【详解】解：、、 ①无理数集合，，，； ②整数集合0，，，； ③有理数集合，0，、，，，； ④负数集合，，； 故答案为：，，；0，，；，0，、，，；，，． 题型四 实数的性质 1．（23-24七年级下·陕西安康·期中）的相反数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 2．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）设a、b为实数，①若，则；②若，则；③若，则；④若，则a与b中至少有一个数为0，则下列说法正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了与实数相关知识，绝对值、乘方、实数的乘法等知识，掌握这些知识是解题的关键；根据相关知识逐个判断即可． 【详解】解：①取，则，但，故说法错误； ②取，则，但，故说法错误； ③取，满足，但，故说法错误； ④若，则或或，即a与b中至少有一个数为0，故说法正确；正确的只有一个； 故选：A． 3．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）的相反数是 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：的相反数是，， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·辽宁营口·阶段练习）的绝对值是 ，的相反数是 ，的倒数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，倒数和相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：，的相反数是，的倒数是， 故答案为：；；． 5．（23-24七年级下·甘肃陇南·期末）求下列各数的绝对值： ，，，，． 【答案】，，，， 【分析】根据正数及零的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，可得答案． 【详解】解：， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了实数的绝对值， 理解绝对值的意义是解题的关键． 6．（23-24七年级下·山西阳泉·课后作业）写出下列各数的相反数：﹣，π﹣3.14，． 【答案】， 3.14-π，- 【分析】根据相反数的概念逐一进行分析求解即可得答案． 【详解】解：﹣的相反数是，π﹣3.14的相反数是3.14-π， 的相反数是-． 【点睛】本题考查了相反数的概念，熟练掌握相反数的概念是解题的关键，相反数是只有符号不同的两个数，特别地，0的相反数是0． 题型五 实数与数轴 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴， 根据数轴可得，据此化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，周长为的圆上有仅一点A在数轴上，点A所表示的数为1．该圆沿着数轴向右滚动一周后A对应的点为B，且滚动中恰好经过3个整数点（不包括A、B两点），则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数与数轴．由于圆的周长为，点所表示的数为1，根据数轴的性质，可得该圆沿着数轴向右滚动一周后对应的点表示的实数为，由滚动中恰好经过3个整数点（不包括、两点），可知，据此求出的取值范围． 【详解】解：圆的周长为，点所表示的数为1，该圆沿着数轴向右滚动一周后对应的点为， 点到原点的距离为， 滚动中恰好经过3个整数点（不包括、两点）， ， ． 故选：D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）若在数轴上表示整数的点叫做整点，则直径为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动周，经过的整点的个数是 （不包括原点）． 【答案】9 【分析】本题考查了实数与数轴，掌握圆的周长公式以及数轴上的点的特征是解答本题的关键．先求出圆的周长，再根据滚动可以求出，即问题随之得解． 【详解】解：∵圆的直径为1， ∴圆的周长为：， ∴圆滚动三周的距离为：， ∴经过的整点的个数是：1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9个， 故答案为：9． 4．（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则的长度为 ；若点A对应的数是，则点B对应的数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了圆的周长及实数与数轴， 解题的关键是求了出．运用圆的周长公式求出周长即可 ． 【详解】解：的长度为：， 点对应的数是， 故答案为：，． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ，，，． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了利用数轴比较实数的大小，关键是利用数形结合，把抽象的问题转化成直观的问题处理即可．先在数轴上描出各点，再根据数轴上右边的数大于左边的数即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 故． 6．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，数轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等，设A、B、C三点表示的三个数之和为p． (1)求AB的长； (2)求p； (3)点D在点O的左侧，且，若以点D为原点，直接写出点C表示的数． 【答案】(1) (2) (3)以点D为原点，点C表示的数为 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握应用两点间的距离公式． （1）根据已知条件，利用两点间的距离公式求出即可； （2）先根据条件求出，再利用两点间的距离公式求出点表示的数，从而求出即可； （3）先根据已知条件，利用两点间的距离公式求出点表示的数，从而求出点表示的数即可． 【详解】（1）解：表示1和 的对应点分别为、， ； （2）解：点到点的距离与点到原点的距离相等， ， 点在原点左侧， 点所表示的数为：， ； （3）解：点在点的左侧，且， 点表示的数为：， 以点为原点，点表示的数为：． 题型六 实数的大小比较 1．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）在下面四个实数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】根据实数比较大小的法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，进行比较大小即可． 本题考查了实数比较大小的法则，解题的关键是熟练掌握实数比较大小的法则． 【详解】解：， ∴这四个数中最小的数是． 故选：A． 2．（2024·福建南平·模拟预测）在实数3，1，0，中，最小的数是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查实数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值越大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：A． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．根据实数的运算及不等式的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 4．（23-24九年级上·福建福州·期末）在，，，这四个数中，最大的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数比较大小，根据夹逼法求出的范围，进而确定四个数中的最大数即可． 【详解】解：∵，，且， ∴在，，，这四个数中，最大的数是； 故答案为： 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查比较实数大小，掌握比较实数大小的法则是解题的关键． 根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，求解即可． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴． 6．（23-24七年级下·天津河西·期中）比较下列各组数的大小： (1) ； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的大小比较： （1）根据，即可求解； （2）求出1与的差，即可求解； （3）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴； 故答案为： （3）解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 题型七 无理数的大小估算 1．（23-24九年级下·重庆大渡口·阶段练习）估计大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】C 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间． 根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴大小在4与5之间． 故选：C． 2．（2023·北京东城·模拟预测）数轴上有四点，最接近的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，先根据无理数的估算可得，再根据实数与数轴的关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由数轴可知，最接近的点是， 故选C． 3．（23-24七年级下·全国·期末）与最接近的整数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得出最接近的整数是4，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴最接近的整数是4, 故答案为：4． 4．（2024·河南南阳·模拟预测）请你写出一个大于 且小于的无理数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了估算无理数的大小和无理数的定义，根据无理数的定义和实数的大小比较写出符合条件的数即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设这个数为， ∴，即， ∴可以取， 故答案为：．（答案不唯一） 5．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）在剪纸拼图活动中，小明同学把图1中的大正方形纸片沿所示的虚线剪出4个完全相同的直角三角形与图1中小正方形纸片无缝隙不重叠拼成图2的正方形，经测量图1中的两个正方形纸片的边长分别为4和2，请你求出图2中正方形的边长，并将结果估算出在哪两个整数之间． 【答案】，和两个整数之间 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先求出大正方形的面积，进而求出边长，再根据整数的范围，即可得出无理数的范围． 【详解】解：由题意图2中大正方形面积， 大正方形的边长. ∵， ， ∴图2中正方形的边长在4和5两个整数之间． 6．（23-24七年级下·吉林白城·期中）已知一块面积为的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)小吉想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布，长方形的面积为，且长宽之比为．小吉的方案是否可行？请说明理由． 【答案】(1)该正方形画布的边长为 (2)小吉的方案不可行．理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的大小比较，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形的边长的平方等于面积，进行列式再开方，即可作答． （2）先设长方形画布的长为，宽为，根据长方形的面积列式，再开方，得出长方形的长为，与进行比较，即可作答 【详解】（1）解：∵正方形画布的面积为， ∴该正方形画布的边长为． （2）解：不可行，理由如下： 理由如下：设长方形画布的长为，宽为． 根据题意，得，解得（负值舍去）， ∴长方形的长为． ∵ ∴，但正方形画布的边长只有20， ∴小吉的方案不可行． 题型八 无理数整数部分的有关计算 1．（23-24七年级下·广东中山·期中）的整数部分为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算及估算能力．先估算，再估算的整数部分即可． 【详解】解： 的整数部分为2． 故选：C． 2．（23-24八年级上·河北沧州·期中）设的小数部分是的整数部分是，则的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．一个无理数 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算；由题意确定出m与n的值即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴； 故选：A． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）若的整数部分为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了无理数的估算，先利用夹逼法估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可找出其整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的整数部分为1， 故答案为：1． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为a，则 ． 【答案】 【分析】根据题意可知的整数部分为3，则小数部分为， 本题考查了无理数整数、小数部分的相关问题，解题的关键是：求出无理数的取值范围，从而确定取值． 【详解】解：∵， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分为：， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知的小数部分为，的小数部分为，求和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先根据无理数的估算方法得到，则，，据此求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ． 6．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，每个小正方形的边长为1． (1)求图中阴影正方形的面积； (2)已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为的整数部分，求的算术平方根． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查无理数的估算、求一个数的算术平方根，熟练掌握网格中割补法求图形面积的方法以及算术平方根的定义是解答的关键． （1）根据网格特点，由大正方形的面积减去阴影周围四个直角三角形的面积可求求解； （2）根据无理数的估算求得x、y值，再根据算术平方根的定义代值求解即可． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积． （2）解：由（1）得阴影正方形的面积为13， ∴阴影正方形的边长为 的整数部分是， ， 的整数部分是3， ∴． ， 的算术平方根为． 题型九 实数的混合运算 1．（2024·陕西西安·二模）的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了实数的混合运算，计算算术平方根后再计算减法即可． 【详解】解： 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期末）在，0，，这四个数中，与的和为有理数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的运算，熟练掌握加法法则是解题关键，根据互为相反数的两个数和为0直接解决即可． 【详解】解：， 这四个数中，与的和为有理数的是， 故选：D． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查了实数的运算，先根据算术平方根的性质化简，再相加即可． 【详解】解：原式 故答案为：4 4．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，数轴上点A表示的实数是，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴滚动1周，圆上的点A到达点B处，则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴的特点，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．先求出圆的周长，再根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：∵圆的直径为1个单位长度， ∴此圆的周长， ∵从点A沿数轴滚动1周， ∴， ∵点A表示的实数是， ∴向右滚动，点B表示的数是，向左滚动，点B表示的数是． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和算术平方根，再去绝对值和计算乘方，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 6．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）数轴上点A表示，点A关于原点的对称点为B，设点B所表示的数为x， (1)求x的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算， （1）根据点A和点B关于原点对称得到点A和点B表示的数互为相反数，据此可得答案； （2）根据（1）所求，代值计算即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示，点A关于原点的对称点为B， ∴点B表示的数为，即； （2）解：∵， ∴． 题型十 程序设计与实数运算 1．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的运算，先求出，再根据流程图代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级下·河南濮阳·阶段练习）按如图所示的运算程序，若输入，则输出的y值为（    ）    A．0 B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据程序运算列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，程序运算，代数式求值，解题的关键是理解题意，根据无理数的估算方法，得出． 3．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，输入的值为，则输出的数值 ． 【答案】2 【分析】本题考查了实数混合运算，理解运算程序是解题的关键． 根据运算程序把代入，进行计算即可得解． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：2． 4．（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序： 当输入x的值是时，输出的结果是 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，根据题意可得算式，据此计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·河北衡水·期中）如图为一个数值转换器． (1)当输入的x值为4时，输出的y值为 ；当输入的x值为16时，输出的y值为 ； (2)输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x值； (3)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？ 【答案】(1)； (2)输入的x值为9 (3)他输入的x值为0或1 【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解． （2）对平方两次即可出答案． （2）始终输不出y值， x为非负数，则x的任何算术平方根都是有理数，只有0和1，即可得到答案． 【详解】（1）解：依据题意得： 当x=4时， ， 继续输入x=2， 结果：； 当x=16时， 是有理数， 继续输入x=4， 是有理数， 继续输入x=2， 结果：； 故答案为：；． （2）∵输出y的值为， ∴第二次输入的数为， ∴第一次输入的数为； ∴输入的值为9． （3）∵x为非负数， ∴当x=1时，1的算术平方根是1，1是有理数，始终输不出y值， ∴当x=0时，0的算术平方根是0，0是有理数，，始终输不出y值， ∴x取值为1或0． 【点睛】此题考查算术平方根概念及无理数，解题关键是正确理解题目中规定的运算． 6．（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当x为9时，y值为 ； (2)如果输入0和1， （填“能”或“不能”）输出y值； (3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值： ．（写出两个即可） 【答案】(1) (2)不能 (3)5或25（答案不唯一） 【分析】（1）根据运算流程图，即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可得到满足题意的x值． 【详解】（1）解：当输入x=9时，9的算术平方根为3，不是无理数，3的算术平方根为， 即； 故答案为： （2）解：当输入x=0或1时，因为0的算术平方根是0，始终是有理数，1的算术平方根是1，也始终是有理数， 所以不能输出y； 故答案为：不能 （3）解：当时，，此时x=5； 当时，，，此时x=25； 故答案为：5或25（答案不唯一） 【点睛】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解工作流程图是解题的关键． 题型十一 新定义下的实数运算 1．（23-24八年级下·云南玉溪·阶段练习）对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算：．如，那么的结果为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算．根据定义的新运算可得12※，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）设[x)表示大于x的最小整数，如，则下列结论：①；②的最小值是0；③的最大值是1；④存在实数x，使成立；⑤如，则不大于a的最大整数一定是奇数．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．③④ D．③④⑤ 【答案】D 【分析】此题考查了新定义，正确理解新定义是解本题的关键．根据新定义逐个算式分析即可． 【详解】解：①∵表示大于的最小整数， ∴， ∴不正确； ②∵表示大于的最小整数， ∴， ∴的最小值是0不正确； ③∵表示大于的最小整数，设(n为整数)，则，， ∴，即的最大值是1，正确； ④∵表示大于的最小整数， ∴当x的小数部分为0.5时，， ∴存在实数，使，正确； ∵表示大于x的最小整数，，则， ∴不大于a的最大整数一定是奇数，正确； 故选：D． 3．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）对于两个有理数a，b，定义一种新运算如．下：，如：，那么 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算，利用已知新运算公式进而代入计算得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 【答案】3 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：3． 5．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）对于任意非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确应用分数的性质将原式变形是解题关键． 根据题意将原式变形，进而根据分式的性质化简得出答案． 【详解】解： ． 6．（23-24七年级下·广东阳江·期末）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似．例如：．复数的加法运算法则：将两个复数的实部和虚部分别相加．例如：． 【应用新知】 (1)填空：______；______． (2)计算：． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查实数的新定义运算，根据题意解答是解题的关键． （1）根据，分别求出、的值即可； （2）把与的实部、虚部分别相加，求出的值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：1；i． （2）解：原式． 题型十二 实数运算的实际应用 1．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求一个数算术平方根和乘方运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项不成立； B.，故该选项不成立； C.，故该选项成立； D.，故该选项不成立； 故选：C． 【点睛】本题考查了一个数算术平方根和乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④是分数．其中正确的为（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．② 【答案】D 【分析】根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得． 【详解】①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误； ②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确； ③两个无理数的积不一定是无理数，如，此说法错误； ④是无理数，不是分数，此说法错误； 综上，说法正确的为②， 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期中）在比例尺为的地图上，某经济开发区的面积为，那么，该经济开发区的实际面积为 ． 【答案】3.2 【分析】结合题意，根据乘方的性质，首先计算得该经济开发区的实际面积，在根据实数的性质计算，即可得到答案. 【详解】根据题意，该经济开发区的实际面积 ∵， ∴该经济开发区的实际面积． 故答案为：3.2. 【点睛】本题考查了实数的知识；解题的关键是熟练掌握实数运算的性质，从而完成求解. 4．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 【答案】甲 【分析】根据，得到，分别求出甲乙的电压，故可求解． 【详解】∵ ∴ ∴，，该用电器是甲． 【点睛】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的能力，本题还用到物理中的电功率的知识． 6．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 题型十三 与实数运算相关的规律题 1．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可． 【详解】解：，，，， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 2．（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，所以，即，仿照以上推理计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】仿照题干中的推理过程，令，则，再利用，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 因此， 所以， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题干中的推理过程是解题关键． 3．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律探索问题，结合已知数据总结出规律是解题的关键． 根据已知数据总结规律后即可求得． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 故第6个数：； 故答案为：． 4．（23-24七年级下·河南安阳·期末）如图，某品牌的计算器上、、三个按键是并列的，是算术平方根按键；是倒数按键；是平方按键．计算器显示屏上现在显示100这个数字，小敏第一下按，第二下按，第三下按，之后以、、的顺序轮流按，当她共按100下后，该计算器屏幕上显示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是与实数运算的规律题，根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论． 【详解】根据题意，，，， ，，， ……， 依次类推，每按下六次，屏幕上的数字循环一次， ∵， ∴当他共按下后，该计算器荧幕显示的数是， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索： （1）根据给出的等式找出一般规律，写出第4个等式即可； （2）根据题干中给出的一般规律，写出第n个等式即可； （3）根据（2）的规律把对应式子进行替换，然后隔项相消即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； … 第4个等式为：． 故答案为：． （2）解：解：第n个等式为：（n为正整数）； 故答案为：． （3）解： ． 6．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习），，…，．将以上等式两边分别相加得 用你发现的规律解答下列问题 (1)猜想并写出：___________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____________； ②______________； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2)① ② (3) 【分析】本题主要考查了与实数运算相关的规律题． （1）归纳总结得到一般性规律，写出即可. （2）①两式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；②总结规律即可． （3）先探索当分母为连续偶数时如何写成差的形式，再计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）① 故答案为：． ② 故答案为：． （3） 1．（23-24七年级下·广东汕尾·期末）已知，为两个连续的整数，且，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据，可得a，b的值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵、为两个连续整数， ∴，， ， 故选：D． 2．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）如图，数轴上点、对应的有理数分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴可得，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴四个选项中，只有C选项中的结论正确， 故选：C． 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）在实数，，，3.14，，3.1212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），中，无理数的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②含的数；③有规律但无限不循环的小数．根据无理数概念逐个判断，即可解题． 【详解】解：题中的无理数有，，3.1212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），共个， 故选：D． 4．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）用“★”规定新运算：对于任意实数a，b，都有，如果，那么x等于（    ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义． 根据新规定的运算，列出等式，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 5．（23-24八年级上·河南洛阳·阶段练习）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律．利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵… ∴用含的等式表示为， ∴第2021个等式为． 故选：C． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）写出两个无理数，使它们的和为5： ． 【答案】和（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形．根据无理数的意义，可得答案． 【详解】解：， 故答案为：和（答案不唯一）． 7．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在数轴上点和点之间的所有整数之和等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，进而得到，据此确定在数轴上点和点之间的所有整数有，再把这些整数求和即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴在数轴上点和点之间的所有整数有， ∴在数轴上点和点之间的所有整数之和等于， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）若的整数部分是a，小数部分是b，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了无理数的估算，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键． 首先对估算出大小，从而求出其整数部分，再进一步表示出其小数部分，最后代入中计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数，立方根，理解程序原理：把按程序原理求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n的值． 【详解】解：当输入时，取立方根为：， 5是有理数，返回，取立方根为：， 是无理数，输出n， ∴n为， 故答案为：． 10．（23-24九年级下·全国·期末）请你规定一种适合非零实数a，b的新运算“”，使得下列算式成立：，，…你规定的新运算 .（用含a，b的一个代数式表示） 【答案】 【分析】根据已知等式，归纳总结得到结果即可． 【详解】解：根据题意得： 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（23-24七年级下·云南红河·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再合并即可． 【详解】解： ； 12．（23-24七年级上·全国·单元测试）完成下列各题： (1)求出下列各数的相反数：、、． (2)将（）中的数及其相反数表示在数轴上． (3)将（）中的数及其相反数按从小到大的顺序排列，并用“”连接 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了实数的比较大小，以及相反数，关键是掌握在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大． （1）根据相反数定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数可得答案； （2）利用数轴确定各点位置即可； （3）根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大按从小到大的顺序排列即可． 【详解】（1）解：的相反数是； 0的相反数是0； 相反数为； （2）解：如图： （3）解：． 13．（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习）有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推． (1)填空： ， ． (2)试探寻规律，找出的值 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据差倒数的定义，运算规则即可求解； （2）根据差倒数的定义，运算规则，找出规律，由此即可求解． 【详解】（1）解：，是的差倒数， ∴， ∵是的差倒数， ∴， 故答案为：，． （2）解：，，， ∴， ，，┈， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握有理数的混合运算是解题的关键． 14．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 15．（23-24七年级下·全国·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查无理数的整数部分与小数， （1）根据材料提示，即，由此即可求解； （2）根据材料提示可得，，代入计算即可求解； （3）根据材料提示可得的小数部分，由此可得的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：； （2）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵的整数部分为， ∴， ∵是整数，，且， ∴， ∴， ∴的相反数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$