2.2.3直线的一般式方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2.3直线的一般式方程 第二章 直线和圆的方程 1 复习导入 形式 方程 适用条件 点斜式 斜率存在的直线 斜截式 斜率存在的直线 两点式 斜率存在且不为 截距式 斜率存在且不为，不过原点 直线的方程 2 新知探究 问题1：由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形. (1)斜率是,经过点； (2)在轴和轴上的截距分别是,; (3)经过两点，; (4)在轴上的截距是,倾斜角是. 【答案】 (1)；(2)=1； (3)； (4). 同一直线 都可以化简为 3 新知探究 思考1：平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程表示吗？ 直线 斜率存在 斜率 不存在 0 都可以用,（，不同时为）表示 4 新知探究 追问：反之，任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗？ （，不同时为） 过点 垂直于轴 任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线 5 新知探究 我们把关于的二元一次方程 (其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 注：①直线的一般式适用于所有直线. ②解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式． ③ 6 新知探究 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 直线方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为0) 已知条件 直线上一定点 ,斜率 斜率k, y轴截距b 直线上两点 (x1,y1),(x2,y2) 非零截距a,b 系数 适用条件 斜率存在 斜率存在 斜率存在且不为 斜率存在且不为，不过原点 任何位置 直线的方程 7 新知探究 辨析1：斜率为，且在轴上截距为的直线的一般式方程是( ). . . . . 【答案】 辨析2：在直角坐标系中，直线的倾斜角是( ). . . . . 【答案】 8 新知探究 辨析3：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．( 　　) (2)任何一条直线的一般式都能与其他四种形式互化．( 　　) (3)关于的二元一次方程(不同时为)一定表示直线．( 　　) (4)对于二元一次方程，当时，方程表示斜率 不存在的直线．( 　　) 【答案】 9 新知探究 问题2：在方程中，为何值时，方程表示的直线： ①平行于轴？ ②平行于轴？ ③与轴重合？ ④与轴重合？ ①此时， ②此时不存在， ③，此时 ④，此时不存在， 10 练习巩固 例5：已知直线过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点，斜率为的直线的 点斜式方程是， 化为一般式，得. 练习1：已知直线经过点，，求直线的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在轴、轴上的截距. 解：∵，所以点斜式方程为，斜截式方程为， 一般式方程为，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为. 11 练习巩固 变式1：根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点； (2)斜率是，在轴上的截距为； (3)经过点两，点； (4)在轴，轴上的截距分别为，； (5)经过点，且平行于轴. 解：(1)由点斜式，得直线方程为，即. (2)由斜截式，得直线方程为，即. (3)由两点式，得直线方程为，即. (4)由截距式，得直线方程为，即. (5). 12 练习巩固 例6：把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形. 解：把直线的一般式方程化为斜截式. 因此，直线的斜率，它在轴上的截距是. 在直线的方程中，令，得， 即直线在轴上的截距是. 由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，， 过，两点作直线，就得直线(如图). 13 练习巩固 练习2：(1)已知直线与直线平行，求的值； (2)当为何值时，直线与直线互相垂直？ 解：(1)由，知： ①当时，显然与不平行； ②当时，，需. 解得或， ∴的值为或. 14 练习巩固 练习2：(2)当为何值时，直线与直线互相垂直？ 解：(2)由题意知，直线. ①若1，即时，直线与直线显然垂直. ②若1即时，直线与直线不垂直. ③若1且，则直线，的斜率都存在， ，.当时，即解得综上可知，当或时，直线. 15 练习巩固 直线平行、垂直问题技巧： 1、直线：，直线：， (1)若l1∥l2 ⇔ 或 A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1≠0； (2)若l1⊥l2 ⇔ A1A2＋B1B2＝0. 2．(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为 Ax＋By＋m＝0(m≠C)； (2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为 Bx－Ay＋m＝0. 16 练习巩固 变式2：已知直线的方程为求满足下列条件的直线的方程. (1)过点，且与平行； (2)过点，且与垂直. 解：(1)由与平行，可设的方程为. 将点代入上式得. ∴所求直线的方程为. (2)由与垂直，可设的方程为.将点代入上式得. ∴所求直线的方程为. 17 练习巩固 练习3：无论m为何值,直线所过定点的坐标为 (　　) A.(-2,-1)　　　B.(2,-1) C.(-2,1)　　　　D.(2,1) 【答案】 变式3-1：如果,且,那么直线不通过 (　　) A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 【答案】 18 练习巩固 变式3-1：已知直线. (1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求的取值范围. （1）证明：将直线的方程整理为， ∴直线的斜率为，且过定点， 而点在第一象限内，故不论为何值，恒过第一象限. （2）解：直线的斜率为.如图，要使不经过第二象限，需斜率， ∴，即的取值范围为. 19 练习巩固 变式3-2：已知直线.若直线不经过第二象限，求的取值范围. 解：①当，即时，直线方程为，该直线不经过第二象限，满足要求. ②当，即时，直线化为截距式方程， 因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在轴的截距小于等于零，即解得所以. 由①②可得，的取值范围为. 20 小结 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 直线方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为0) 已知条件 直线上一定点 ,斜率 斜率k, y轴截距b 直线上两点 (x1,y1),(x2,y2) 非零截距a,b 系数 适用条件 斜率存在 斜率存在 斜率存在且不为 斜率存在且不为，不过原点 任何位置 直线的方程 21 $$