专题01 二次根式（考题猜想，5种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

专题01 二次根式（考题猜想，5种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 利用二次根式有意义的条件求字母的值 利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的取值范围 利用二次根式的加减求字母的值 整体代换在求值中的应用 整体变形在求值中的应用 题型一：利用二次根式有意义的条件求字母的值 1．（2021春•开福区校级月考）已知，为实数，是否存在实数满足关系式？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由． 2．（2021春•雨花区校级月考）已知实数、为实数，是否存在实数满足关系式？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由． 3．先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题： 如果和在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求、的值． 解：因为与可以合并 所以即 解得 问： （1）以上解是否正确？答 　 　． （2）若以上解法不正确，请说明理由． 题型二：利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的取值范围 4．（2022秋•浦东新区校级期中）如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．（2020春•玄武区期中）如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的的取值范围是 　　． 6．已知最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，求使有意义的的取值范围． 7．（2023春•吴兴区期中）阅读下列材料，解答后面的问题： 在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如： ①要使二次根式有意义，则需，解得：； ②化简：，则需计算，而所以． （1）根据二次根式的性质，要使成立，求的取值范围； （2）利用①中的提示，请解答：如果，求的值； （3）利用②中的结论，计算：． 题型三：利用二次根式的加减求字母的值 8．（2023•临沂）设，则实数所在的范围是　　 A． B． C． D． 9．（2024•渝北区自主招生）设，则实数所在的范围是　　 A． B． C． D． 10．（2023•桥西区二模）已知正整数，满足等式，下列各组数值中符合要求的是　　 A．， B．， C．， D．， 11．（2024•长春一模）已知正整数、满足等式，下列各组数值中符合要求的是　　 A．， B．， C．， D．， 12．（2023秋•东乡区期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设：（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得　　，　　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、，填空：　　　　 　　　　； （3）若，且、、、均为正整数，求的值． 13．（2023秋•历城区期中）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： （1）与 　　互为有理化因式，将分母有理化得 　　； （2）①比较大小： 　　（填，，，或中的一种） ②计算下列式子的值：； （3）已知正整数，满足，求，的值． 14．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （1）的整数部分是 　4　，小数部分是 　　； （2）点表示的数为无理数，点在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 　　；（填序号即可） ①，均为有理数；②；③；④． （3）若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 15．（2022秋•长安区校级期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （1）的整数部分是 　4　，小数部分是 　　； （2）点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 　　（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ （3）若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 16．（2024春•滑县月考）阅读材料：小青在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的完全平方，如，善于思考的小青进行了以下探索： 设（为方便探究规律，设，，，均为正整数），则有． ，． 这样小青就找到了一种把部分形如的式子化为完全平方式的方法．请你仿照小青的方法探索并解决下列问题： 当，，，均为正整数时， （1）若，用含，的式子分别表示，，得　　，　　； （2）①若，则　　，　　； ②若，且，求的值． 17．（2024春•崇阳县校级月考）阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　　，　　； （2）若，且、、均为正整数，求的值； （3）化简：． 18．（2023春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写出另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），则有，，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数，若，用含、的式子分别表示、，得　　，　　； （2）若，且、、均为正整数，求的值． （3）化简． 19．（2024春•红山区期末）我们在整式的乘法中学习了完全平方公式，利用此公式可把配成完全平方的形式． 善于思考的小明进行了以下推理： 设（其中、、、均为整数）， 则有， ，， 这样小明就找到了一种把类似的式子配成完全平方形式的方法． 请你仿照小明的方法解决下列问题： （1）请把下列各式都配成完全平方的形式： ①； ②． （2）且，，都为正整数，求的值． 题型四：整体代换在求值中的应用 20．已知：，求、的值． 21．（2022春•江汉区校级月考）（1）计算式子的结果是一个常数，请直接写出这个常数； （2）已知，求的值； （3）化简； （4）若的整数部分为，小数部分为，直接写出的值． 22．（2022春•巢湖市期中）求值： （1）先化简，再求值：，其中； （2）已知：，求的值； （3）已知实数、满足，求的值． 23．（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 24．（2023春•雷州市校级期中）已知：，求，的值． 题型五：整体变形在求值中的应用 25．已知，，求的值． 26．已知，，求的值． 27．已知，，，求的值． 28．已知，，求的值． $$专题01 二次根式（考题猜想，5种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 利用二次根式有意义的条件求字母的值 利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的取值范围 利用二次根式的加减求字母的值 整体代换在求值中的应用 整体变形在求值中的应用 题型一：利用二次根式有意义的条件求字母的值 1．（2021春•开福区校级月考）已知，为实数，是否存在实数满足关系式？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由． 【分析】利用二次根式有意义的条件得到，则，所以，利用非负数的性质得到，，然后解关于、、的方程组即可． 【解答】解：存在． ， ， ， ，， 解方程组得， 即的值为7． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 2．（2021春•雨花区校级月考）已知实数、为实数，是否存在实数满足关系式？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，等式右边等于0，可得方程组，解方程组即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：， ， ， 解得：， 存在，的值为102． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到方程组是解题的关键． 3．先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题： 如果和在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求、的值． 解：因为与可以合并 所以即 解得 问： （1）以上解是否正确？答 　 　． （2）若以上解法不正确，请说明理由． 【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同，故要分两种情况讨论． （2）分两种情况讨论：被开方数相同和化简后被开方数相同． 【解答】解：（1）不正确； （2）与可以合并， 或或 解得或或． 故答案为：不正确． 【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 题型二：利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的取值范围 4．（2022秋•浦东新区校级期中）如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据同类二次根式的定义，列方程求出的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：最简根式与是同类二次根式， ， ， 使有意义， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了同类二次根式的概念及二次根式的性质：概念：化成最简二次根式后，被开方数相同的根式叫同类二次根式；性质：被开方数为非负数． 5．（2020春•玄武区期中）如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的的取值范围是 　　． 【分析】根据已知得出，求出的值再根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可． 【解答】解：最简二次根式与可以合并， ， 解得：， ， 要使有意义，必须， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件和解一元一次不等式等知识点，能根据题意得出方程和不等式是解此题的关键． 6．已知最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，求使有意义的的取值范围． 【分析】根据二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得的值，根据被开方数是非负数，可得答案． 【解答】解：由最简二次根式与可以合并，得 ． 解得． 由有意义， ，解得． 【点评】本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出关于的方程是解题关键． 7．（2023春•吴兴区期中）阅读下列材料，解答后面的问题： 在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如： ①要使二次根式有意义，则需，解得：； ②化简：，则需计算，而所以． （1）根据二次根式的性质，要使成立，求的取值范围； （2）利用①中的提示，请解答：如果，求的值； （3）利用②中的结论，计算：． 【分析】（1）根据二次根式成立的条件求解即可； （2）根据二次根式成立的条件求出，的值，进而求解即可； （3）利用②中的结论求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，， ； （2）由题意得，， ， ， ； （3）原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简及规律型，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 题型三：利用二次根式的加减求字母的值 8．（2023•临沂）设，则实数所在的范围是　　 A． B． C． D． 【分析】将原式进行化简后判断其在哪两个连续整数之间即可． 【解答】解： ， ， ， 即， 那么， 则， 故选：． 【点评】本题考查无理数的估算，将原式计算后得出结果为是解题的关键． 9．（2024•渝北区自主招生）设，则实数所在的范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【解答】解：， ， ， 即， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，无理数的估算，正确地计算是解题的关键． 10．（2023•桥西区二模）已知正整数，满足等式，下列各组数值中符合要求的是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】分解把、的值代入等式的左、右两边，进行计算判断求解． 【解答】解：、当，时：， 故不符合题意； 、当，时：， 故符合题意， 、当，时：， 故不符合题意， 、当，时：， 故不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 11．（2024•长春一模）已知正整数、满足等式，下列各组数值中符合要求的是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】将各选项中数字分别代入算式，运用二次根式的化简、计算方法进行求解． 【解答】解：当时， ， 选项，不符合题意； 当时， ， 选项符合题意； 当时， ， 选项不符合题意， 故选：． 【点评】此题考查了二次根式的化简与计算的能力，关键是能准确理解并运用二次根式的性质进行化简、求解． 12．（2023秋•东乡区期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设：（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得　　，　　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、，填空：　　　　 　　　　； （3）若，且、、、均为正整数，求的值． 【分析】（1）利用完全平方公式展开，可得结论； （2）取，，可得结论； （3）利用（1）中结论即可解决问题． 【解答】解：（1）， ， ，， 故答案为：，； （2）当，时，，， 故答案为：13，，1，2（答案不唯一）； （3）由题意，得，． ，且、为正整数， ， 或，， ，或． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 13．（2023秋•历城区期中）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： （1）与 　　互为有理化因式，将分母有理化得 　　； （2）①比较大小： 　　（填，，，或中的一种） ②计算下列式子的值：； （3）已知正整数，满足，求，的值． 【分析】（1）根据有理化因式的定义和分母有理化求解； （2）①利用因式因式得到，，然后比较与的大小即可； ②先分母有理化，然后合并即可； （3）先分母有理化，再移项变形得到，接着根据有理数和无理数的性质得到，，然后解方程组即可． 【解答】解：（1）与互为有理化因式，将分母有理化得； 故答案为：，； （2）①，， 而， ， 故答案为：． ②原式 ； （3）， ， 即， ，， 解得，． 即的值是2，的值是10． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了数字规律型问题的解决方法． 14．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （1）的整数部分是 　4　，小数部分是 　　； （2）点表示的数为无理数，点在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 　　；（填序号即可） ①，均为有理数；②；③；④． （3）若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据无理数在数轴上的位置确定无理数的大小，进而表示出、，最后根据估算无理数的大小的方法进行判断即可； （3）估算无理数的大小，确定、的值，再代入计算即可． 【解答】解：（1），即， 的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）设点所表示的无理数为，由点在数轴上的位置可知，， 所以点所表示的无理数的整数部分，小数部分， 因此①，均为有理数，不正确； ②由于，即， 因此②正确； ③，而， ， 因此③不正确； ④，而， ， 因此④正确； 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④； （3），即， ， ， 的整数部分，小数部分， ． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解答本题的关键． 15．（2022秋•长安区校级期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （1）的整数部分是 　4　，小数部分是 　　； （2）点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 　　（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ （3）若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据无理数在数轴上的位置确定无理数的大小，进而表示出、，最后根据估算无理数的大小的方法进行判断即可； （3）估算无理数的大小，确定、的值，再代入计算即可． 【解答】解：（1），即， 的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）设点所表示的无理数为，由点在数轴上的位置可知，， 所以点所表示的无理数的整数部分，小数部分， 因此①，均为有理数，不正确； ②由于，即， 因此②正确； ③，而， ， 因此③不正确； ④，而， ， 因此④正确； 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④； （3），即， ， ， 的整数部分，小数部分， ． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确计算的前提， 16．（2024春•滑县月考）阅读材料：小青在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的完全平方，如，善于思考的小青进行了以下探索： 设（为方便探究规律，设，，，均为正整数），则有． ，． 这样小青就找到了一种把部分形如的式子化为完全平方式的方法．请你仿照小青的方法探索并解决下列问题： 当，，，均为正整数时， （1）若，用含，的式子分别表示，，得　　，　　； （2）①若，则　　，　　； ②若，且，求的值． 【分析】（1）利用完全平方公式把，从而可用、分别表示、； （2）利用（1）得，，先利用整数的整除性由得到，或，，然后利用确定、的值； （3）由（1）得，，先利用整数的整除性由得到，或，，所以，，然后把、得值代入中计算即可． 【解答】解：（1）， ，； 故答案为：，； （2）由（1）得，， ， 、为正整数， ，或，， 当，不满足， 当，满足， 的值为2，得值为1； 故答案为：2，1； （3）由（1）得，， ， 、为正整数， ，或，， 而， ，， ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法和完全平方公式是解决问题的关键． 17．（2024春•崇阳县校级月考）阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　　，　　； （2）若，且、、均为正整数，求的值； （3）化简：． 【分析】（1）根据，再由等式的性质求、的值即可； （2）由（1）可知，，结合题意分别求出，或，，即可求的值； （3）根据完全平方公式可得，． 【解答】解：（1）， ，， 古答案为：，； （2）， 由（1）可知，， 、均为正整数， ，或，， 或； （3） ． 【点评】本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握完全平方公式，二次根式的性质是解题的关键． 18．（2023春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写出另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），则有，，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数，若，用含、的式子分别表示、，得　　，　　； （2）若，且、、均为正整数，求的值． （3）化简． 【分析】（1）根据小明的方法，将按完全平方公式展开，和的系数进行对比，即可求出和的值； （2）欲求出，，的值，需要先求出，的值，根据题意可知，进而得到，结合，均为正整数即可求出，的值；再根据即可求出的值． 【解答】解：（1）仿照小明的方法，将展开，得： ， 将与的系数进行对比，可得： 、． 故答案为：，． （2）观察可知， ， 由（1）中的规律可知， ， 则， 由于、均为正整数，则有： 或 将、代入，得： ， 将、代入，得： ， 综上可知，的值为13或7． （3）． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，并对相应的运算法则的掌握． 19．（2024春•红山区期末）我们在整式的乘法中学习了完全平方公式，利用此公式可把配成完全平方的形式． 善于思考的小明进行了以下推理： 设（其中、、、均为整数）， 则有， ，， 这样小明就找到了一种把类似的式子配成完全平方形式的方法． 请你仿照小明的方法解决下列问题： （1）请把下列各式都配成完全平方的形式： ①； ②． （2）且，，都为正整数，求的值． 【分析】（1）①根据小明的做法得到，，再由、为正整数得到，即可； ②设，则，由可得，，进而得到，，根据、为正整数可得，即可； （2）根据，得到，，再根据，，都为正整数，得出，或，，代入计算即可． 【解答】解：（1）①设，则， 所以，， 由可得，， 所以，， 即，， 、为正整数， ，， ； ②由于， 设，则， 所以，， 由可得，， 所以，， 即，， 、为正整数， ，， ； （2）， ，， 即，， ，，都为正整数， ，或，， 当，时，， 当，时，， 综上所述或． 【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征，二次根式的混合运算方法，理解题目所提供的解法是正确解答的关键． 题型四：整体代换在求值中的应用 20．已知：，求、的值． 【分析】把两边平方，根据完全平方公式展开，即可解答． 【解答】解： ， ， ， ． 【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． 21．（2022春•江汉区校级月考）（1）计算式子的结果是一个常数，请直接写出这个常数； （2）已知，求的值； （3）化简； （4）若的整数部分为，小数部分为，直接写出的值． 【分析】（1）展开去括号，再合并即可得答案； （2）利用可得答案； （3）分子、分母同乘，即可化简； （4）先分母有理化，再求出、的值，代入所求式子计算即可． 【解答】解：（1） ； （2）， ， ， 的值为或； （3）； （4）， ，， ． 答：的值为． 【点评】本题考查分式、根式应用，解题的关键是掌握完全平方公式，分母有理化等知识． 22．（2022春•巢湖市期中）求值： （1）先化简，再求值：，其中； （2）已知：，求的值； （3）已知实数、满足，求的值． 【分析】（1）先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可； （2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可； （3）先根据二次根式有意义的条件和分式的定义求出的值，再求出，最后代入求出即可． 【解答】解：（1）原式 ， 当时，原式， （2）， ； （3）要使有意义，必须， 解得：， 代入得：， 所以． 【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，绝对值，二次根式有意义的条件，完全平方公式等知识点，能正确运用知识点进行计算是解此题的关键． 23．（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【分析】（1）根据，，可以得到和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可； （2）将所求式子变形，再将代入变形后的式子计算即可． 【解答】解：（1），， ，， ； （2）， ． 【点评】本题考查二次根式的化简求值、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 24．（2023春•雷州市校级期中）已知：，求，的值． 【分析】先根据完全平方公式进行变形得出，，再代入求出答案即可． 【解答】解：， ； ． 【点评】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键． 题型五：整体变形在求值中的应用 25．已知，，求的值． 【分析】由，，得到，即，再都变成完全平方公式的形式，然后三式相加即可求出． 【解答】解：，， ， 即， ，，， 即，① ，② ．③ ①②③得，， 即， ． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键． 26．已知，，求的值． 【分析】由，，得出，把原式变形得到原式，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入进行计算． 【解答】解：，， ， ． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，因式分解的应用，利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单的数量关系，再利用整体思想解决问题． 27．已知，，，求的值． 【分析】由，，得出，运用完全平方式可得，再将前面的、、的值代入求出结果开方即可． 【解答】解：，， ， ， ． 【点评】此题考查二次根式的化简求值，因式分解的运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键． 28．已知，，求的值． 【分析】先把原式变形得到原式，再利用完全平方公式得到原式，由于，，则，然后利用整体思想进行计算． 【解答】解：原式 ， ，， ， 原式． 【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单的数量关系，再利用整体思想解决问题． $$