专题01 二次根式（考点清单，知识导图+5个考点清单+11种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

专题01 二次根式（考点清单，知识导图+5个考点清单+11种题型解读） 【清单01】二次根式的定义 二次根式 【清单02】最简二次根式 最简二次根式：化简后的二次根式同时满足，那么这个二次根式叫做最简二次根式. 【清单03】同类二次根式 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【清单04】二次根式的运算 【清单05】分母有理化 【考点题型一】二次根式的定义（共5小题） 【例1】（2022秋•长宁区校级期中）下列各式是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【变式1-1】（2022秋•嘉定区校级月考）下列各式一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【变式1-2】.（2023秋•杨浦区校级期中）若是二次根式，则的值为 　　． 【变式1-3】.（2022秋•浦东新区校级期中）若是二次根式，则的取值范围是 　　． 【变式1-4】.（2022秋•嘉定区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数为　　． 【考点题型二】．二次根式有意义的条件（共9小题） 【例2】．（2023秋•崇明区期末）若等式成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋•松江区校级月考）当的取值范围在数轴上如　　表示时，二次根式有意义． A． B． C． D． 【变式2-2】.（2023秋•浦东新区期中）若在实数范围内成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式2-3】.（2023秋•徐汇区月考）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 　　 ． 【变式2-4】.（2023秋•杨浦区校级期中）若代数式有意义，则的取值范围是 　 　 ． 【变式2-5】．（2023秋•浦东新区校级期末）如果等式成立，需要添加条件 　 　． 【变式2-6】.（2023秋•黄浦区期中）已知，则的值为 　 　． 【变式2-7】.（2023秋•普陀区校级期中）如果，则的值是 　　． 【变式2-8】.（2023秋•徐汇区月考）已知，则　 　（保留根号）． 【考点题型三】二次根式的性质与化简（共5小题） 【例3】．（2023秋•普陀区校级期中）　 　． 【变式3-1】（2023秋•浦东新区校级期末）化简：　 　． 【变式3-2】（2023秋•普陀区期末）化简：　 　． 【变式3-3】（2023秋•闵行区期中）已知、、为的三边长，则　 　． 【变式3-4】（2023秋•松江区校级月考）若恒有式子，则实数的取值范围是 　 　． 【考点题型四】．最简二次根式（共4小题） 【例4】（2023秋•普陀区校级月考）化为最简二次根式：　 　． 【变式4-1】023秋•徐汇区月考）下列根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 【变式4-2】．（2023秋•普陀区校级月考）在二次根式，，，中，最简二次根式有　　 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式4-3】．（2023秋•浦东新区期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【考点题型五】．二次根式的乘除法（共6小题） 【例5】．（2023秋•杨浦区期中）成立的条件是 　 　． 【变式5-1】．（2023秋•黄浦区期中）计算：　　． 【变式5-2】．（2023秋•青浦区校级期中）计算：． 【变式5-3】．（2023秋•金山区校级月考）化简：． 【变式5-4】．（2023秋•闵行区期中）计算：． 【变式5-5】．（2023秋•浦东新区校级期末）． 【考点题型六】．分母有理化（共5小题） 【例6】．（2023秋•普陀区期末）的有理化因式是　　 A． B． C． D． 【变式6-1】．（2023秋•徐汇区月考）分母有理化：　 　． 【变式6-2】．（（2023秋•闵行区校级期末）分母有理化：　　． 【变式6-3】．（（2023秋•闵行区期中）不等式的解集是　 　． 【变式6-4】．（（2023秋•浦东新区期中）计算． 【考点题型七】．同类二次根式（共5小题） 【例7】．（（2023秋•闵行区校级期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【变式7-1】．（（2023秋•徐汇区月考）下列二次根式，不能与合并的是　　 A． B． C． D． 【变式7-2】．（2023秋•松江区期中）若最简二次根式和是同类二次根式，则　　． 【变式7-3】．（2023秋•普陀区校级月考）已知与是同类二次根式，写出一个满足条件的的正整数的值为　　． 【变式7-4】．（2023秋•闵行区期中）若最简二次根式与是同类根式，则　　． 【考点题型八】．二次根式的加减法（共5小题） 【例8】．（2023秋•崇明区期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式8-1】．（2023秋•普陀区校级月考）计算：　　． 【变式8-2】．（2023秋•黄浦区期中）计算：． 【变式8-3】．（2023秋•金山区校级月考）计算：． 【变式8-4】．（2023秋•金山区期中）计算：． 【考点题型九】．二次根式的混合运算（共5小题） 【例9】．（2023秋•青浦区校级期中）计算：　 　． 【变式9-1】．（2023秋•闵行区期中）计算：　 　． 【变式9-2】．（2023秋•普陀区校级月考）计算：． 【变式9-3】．（2023秋•浦东新区校级期末）化简：． 【变式9-4】．（2023秋•徐汇区月考）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）解方程：； （5）计算：． 【考点题型十】．二次根式的化简求值（共5小题） 【例10】．（2023秋•徐汇区月考）已知，下列各式为负值的是　　 A． B． C． D． 【变式10-1】．（2023秋•金山区校级月考）当时，代数式的值是 　　． 【变式10-2】．（2023秋•青浦区校级期中）已知，求代数式的值． 【变式10-3】．（2023秋•金山区校级月考）先化简再求值：当时，求的值． 【变式10-4】．（2023秋•松江区期中）先化简，再求值：已知，求的值． 【考点题型十一】．二次根式的应用（共5小题） 【例11】．（2023秋•静安区校级期末）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为、、，记，则其面积这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若，，则此三角形面积的值可以是　　 A． B．6 C． D．5 【变式11-1】．（2023秋•杨浦区期中）解不等式：的解集是 　 　． 【变式11-2】．（2023秋•浦东新区校级期末）解不等式：． 【变式11-3】．（2022秋•虹口区校级月考）解方程：． 【变式11-4】．（2022秋•浦东新区期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠地放在底面为长方形（长为，宽为的盒子底部（如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图中两块阴影部分的周长和是 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式（考点清单，知识导图+5个考点清单+11种题型解读） 【清单01】二次根式的定义 二次根式 【清单02】最简二次根式 最简二次根式：化简后的二次根式同时满足，那么这个二次根式叫做最简二次根式. 【清单03】同类二次根式 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【清单04】二次根式的运算 【清单05】分母有理化 【考点题型一】二次根式的定义（共5小题） 【例1】（2022秋•长宁区校级期中）下列各式是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，即可判断． 【解答】解：、，故无意义，故选项不符合题意； 、符合二次根式，符合题意； 、是三次根式，故选项不符合题意； 、，故无意义，故选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的定义：是二次根式，必须有． 【变式1-1】（2022秋•嘉定区校级月考）下列各式一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的概念和性质，逐一判断． 【解答】解：、二次根式无意义，故错误； 、是三次根式，故错误； 、被开方数是正数，故正确； 、当或、异号时，根式无意义，故错误． 故选：． 【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0． 【变式1-2】.（2023秋•杨浦区校级期中）若是二次根式，则的值为 　4　． 【分析】根据二次根式的定义得到且，然后解方程和不等式得到满足条件的的值． 【解答】解：是二次根式， ， 解得，， ， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 【变式1-3】.（2022秋•浦东新区校级期中）若是二次根式，则的取值范围是 　　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数． 【变式1-4】.（2022秋•嘉定区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数为　5　． 【分析】因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数为5． 【解答】解：，且是整数； 是整数，即是完全平方数； 的最小正整数值为5． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题关键． 【考点题型二】．二次根式有意义的条件（共9小题） 【例2】．（2023秋•崇明区期末）若等式成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得答案． 【解答】解：若成立， 则， 故选：． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【变式2-1】（2023秋•松江区校级月考）当的取值范围在数轴上如　　表示时，二次根式有意义． A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可． 【解答】解：由题意得，， 解得， 在数轴上表示如下： ． 故选：． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 【变式2-2】.（2023秋•浦东新区期中）若在实数范围内成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件进行判断即可． 【解答】解：在实数范围内成立， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，同时满足这两个条件，原等式在实数范围内才成立． 【变式2-3】.（2023秋•徐汇区月考）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 　　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【变式2-4】.（2023秋•杨浦区校级期中）若代数式有意义，则的取值范围是 　且　． 【分析】根据分式有意义时分母不等于0，二次根式有意义时被开方数大于或等于0列式求解即可． 【解答】解：， ， ， ， 的取值范围是且． 故答案为：且． 【点评】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义时分母不等于0，二次根式有意义时被开方数大于或等于0是解答本题的关键． 【变式2-5】．（2023秋•浦东新区校级期末）如果等式成立，需要添加条件 　　． 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得答案． 【解答】解：由题意可得， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，结合已知条件列得关于的一元一次不等式组是解题的关键． 【变式2-6】.（2023秋•黄浦区期中）已知，则的值为 　2023　． 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，再根据绝对值的定义得到，进而得到，两边平方可得答案． 【解答】解：有意义， ，即， ， ， ， ， 即． 故答案为：2023． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简方法以及绝对值的定义是正确解答的前提． 【变式2-7】.（2023秋•普陀区校级期中）如果，则的值是 　17　． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出，的值，进而得出答案． 【解答】解：， ， ， 故． 故答案为：17． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的值是解题关键． 【变式2-8】.（2023秋•徐汇区月考）已知，则　　（保留根号）． 【分析】根据二次根式有意义的条件知，，，可求得的值，然后将其代入可求得值，最后把、的值代入求值即可． 【解答】解：根据题意，知， 解得，， ①当时， ，即，不合题意，舍去； ②当时， ，解得， ； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 【考点题型三】二次根式的性质与化简（共5小题） 【例3】．（2023秋•普陀区校级期中）　　． 【分析】根据化简可得． 【解答】解：， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质：． 【变式3-1】（2023秋•浦东新区校级期末）化简：　　． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是正确化简的关键． 【变式3-2】（2023秋•普陀区期末）化简：　　． 【分析】先根据二次根式有意义的条件得到，然后根据二次根式的性质化简． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 【变式3-3】（2023秋•闵行区期中）已知、、为的三边长，则　　． 【分析】根据二次根式的性质得到原式，再利用三角形三边的关系易得，，则原式，然后去括号、合并即可． 【解答】解：原式， 、、为的三边长， ，即；，即， 原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：．也考查了绝对值以及三角形三边的关系． 【变式3-4】（2023秋•松江区校级月考）若恒有式子，则实数的取值范围是 　　． 【分析】把化为的形式，在根据绝对值的性质确定的取值范围． 【解答】解： ， ， ， 故答案为：． 【点评】主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题关键． 【考点题型四】．最简二次根式（共4小题） 【例4】（2023秋•普陀区校级月考）化为最简二次根式：　　． 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式4-1】023秋•徐汇区月考）下列根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【解答】解：、是最简二次根式，故符合题意； 、，不是最简二次根式，故不符合题意； 、，不是最简二次根式，故不符合题意； 、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式应满足的条件：①被开方数的因数是整数，因数是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，掌握最简二次根式满足的条件是解题的关键． 【变式4-2】．（2023秋•普陀区校级月考）在二次根式，，，中，最简二次根式有　　 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案． 【解答】解：由于，， 故，是最简二次根式， 故选：． 【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，本题属于基础题型． 【变式4-3】．（2023秋•浦东新区期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念逐一判断即可：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式． 【解答】解：、，不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了最简二次根式的概念，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 【考点题型五】．二次根式的乘除法（共6小题） 【例5】．（2023秋•杨浦区期中）成立的条件是 　　． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的除法运算法则计算，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式5-1】．（2023秋•黄浦区期中）计算：　　． 【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式5-2】．（2023秋•青浦区校级期中）计算：． 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质化简，进而得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键． 【变式5-3】．（2023秋•金山区校级月考）化简：． 【分析】根据二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简计算方法进行计算即可得出答案． 【解答】解：，，， ，， 原式 ． ． 【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简的方法进行求解是解决本题的关键． 【变式5-4】．（2023秋•闵行区期中）计算：． 【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查二次根式的乘除法，熟练运算法则是解题的关键． 【变式5-5】．（2023秋•浦东新区校级期末）． 【分析】根据二次根式的乘除法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法则，熟练掌握二次根式的乘除法则是关键． 【考点题型六】．分母有理化（共5小题） 【例6】．（2023秋•普陀区期末）的有理化因式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断． 【解答】解：， 所以的有理化因式是， 故选：． 【点评】本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键． 【变式6-1】．（2023秋•徐汇区月考）分母有理化：　　． 【分析】先把分子利用平方差公式分解因式，然后约分即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【变式6-2】．（（2023秋•闵行区校级期末）分母有理化：　　． 【分析】根据分母有理化的方法进行解题即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查分母有理化和二次根式的乘除法，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【变式6-3】．（（2023秋•闵行区期中）不等式的解集是　　． 【分析】利用不等式的基本性质，将不等式两边先移项再合并同类项，不等式两边同乘以可系数为1．即可求出不等式的解集． 【解答】解：移项、合并同类项得，， 不等式两边同乘以得，． 【点评】解不等式应依据不等式的基本性质，确定未知数系数的有理化因式． 【变式6-4】．（（2023秋•浦东新区期中）计算． 【分析】先分母有理化，再根据加减法法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的运算，分母有理化等知识，能正确分母有理化是解此题的关键． 【考点题型七】．同类二次根式（共5小题） 【例7】．（（2023秋•闵行区校级期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】根据同类二次根式的概念，化简后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式， 【解答】解：、和不是同类二次根式，错误； 、和不是同类二次根式，错误； 、和是同类二次根式，正确； 、和不是同类二次根式，错误； 故选：． 【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式． 【变式7-1】．（（2023秋•徐汇区月考）下列二次根式，不能与合并的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据化成最简式后，且被开方数相同，判定计算即可． 【解答】解：， 被开方数是3， ．，是同类二次根式，能合并，不符合题意； ．，不是同类二次根式，不能合并，符合题意； ．，是同类二次根式，能合并，不符合题意； ．，是同类二次根式，能合并，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式7-2】．（2023秋•松江区期中）若最简二次根式和是同类二次根式，则　2　． 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列得方程，解方程即可． 【解答】解：由题意可得， 解得：， 故答案为：2． 【点评】本题考查最简二次根式及同类二次根式，结合已知条件列得关于的方程是解题的关键． 【变式7-3】．（2023秋•普陀区校级月考）已知与是同类二次根式，写出一个满足条件的的正整数的值为　22　． 【分析】根据同类二次根式定义可得时，化简后被开方数为3，进而可得的值． 【解答】解：当时，， ， 和是同类二次根式， 故答案为：22． 【点评】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 【变式7-4】．（2023秋•闵行区期中）若最简二次根式与是同类根式，则　9　． 【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可． 【解答】解：最简二次根式与是同类根式， ， ， 解得：，． ． 故答案为：9． 【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 【考点题型八】．二次根式的加减法（共5小题） 【例8】．（2023秋•崇明区期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加减法对各选项进行逐一计算即可． 【解答】解：、，正确，符合题意； 、与不是同类二次根式，原计算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，原计算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，原计算错误，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题的关键． 【变式8-1】．（2023秋•普陀区校级月考）计算：　　． 【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 【变式8-2】．（2023秋•黄浦区期中）计算：． 【分析】将各个二次根式化为最简二次根式，再进行加减法的运算． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查二次根式的加减法，化简二次根式是本题的关键． 【变式8-3】．（2023秋•金山区校级月考）计算：． 【分析】先计算开方运算，再去括号，合并即可得到答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题考查的是二次根式的加减法，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【变式8-4】．（2023秋•金山区期中）计算：． 【分析】根据二次根式的乘除，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案． 【解答】解：原式． 【点评】本题考查了二次根式的加减，熟记二次根式的运算法则并根据法则计算是解题关键． 【考点题型九】．二次根式的混合运算（共5小题） 【例9】．（2023秋•青浦区校级期中）计算：　　． 【分析】根据混合运算法则，进行计算即可． 【解答】解：原式； 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式性质是关键． 【变式9-1】．（2023秋•闵行区期中）计算：　　． 【分析】先利用的积的乘法和平方差公式进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【解答】解：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 【变式9-2】．（2023秋•普陀区校级月考）计算：． 【分析】先利用二次根式的性质化简，进行化简以及分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则进行计算． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 【变式9-3】．（2023秋•浦东新区校级期末）化简：． 【分析】先根据完全平方公式、二次根式的性质和零指数幂的意义计算，然后分母有理化后合并即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键． 【变式9-4】．（2023秋•徐汇区月考）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）解方程：； （5）计算：． 【分析】（1）利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式，即得； （2）利用二次根式的性质，二次根式的乘除法法则进行计算； （3）利用平方差公式，负整数指数幂的法则，分母有理化，合并同类二次根式，即得； （4）利用解一元一次方程的一般步骤去分母，去括号，移项合并同类项，系数化成1，即得； （5）利用二次根式的性质，分母有理化，0指数幂性质化简，合并同类二次根式，即得． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化成1得，； （5） ． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握二次根式的性质，二次根式混合运算的顺序和各种运算的法则，分母有理化，0指数幂性质，负整数幂性质，一元一次方程的解法是解决问题的关键． 【考点题型十】．二次根式的化简求值（共5小题） 【例10】．（2023秋•徐汇区月考）已知，下列各式为负值的是　　 A． B． C． D． 【分析】先对分母有理化，然后再分别代入各选项计算判断即可． 【解答】解：． 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法成为解题关键． 【变式10-1】．（2023秋•金山区校级月考）当时，代数式的值是 　1　． 【分析】将代入计算即可． 【解答】解：当时， 原式 ， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式． 【变式10-2】．（2023秋•青浦区校级期中）已知，求代数式的值． 【分析】先化简代数式，再将进行分母有理化后的值代入，计算即可． 【解答】解：原式， ， ， 原式． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 【变式10-3】．（2023秋•金山区校级月考）先化简再求值：当时，求的值． 【分析】先根据二次根式的性质化简原式，再将分母有理化，代入计算即可． 【解答】解：， ， 原式 ． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质及其混合运算顺序和运算法则、完全平方公式． 【变式10-4】．（2023秋•松江区期中）先化简，再求值：已知，求的值． 【分析】本题考查二次根式的运算及分式的约分，掌握分式的约分运算法则是解题的关键． 【解答】解：， ， ． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，正确进行化简是解题关键． 【考点题型十一】．二次根式的应用（共5小题） 【例11】．（2023秋•静安区校级期末）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为、、，记，则其面积这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若，，则此三角形面积的值可以是　　 A． B．6 C． D．5 【分析】由题可知，，把，代入的表达式中，再利用三角形三边关系确定的取值范围，则可以确定的取值范围，从选项中选出符合条件的答案即可． 【解答】解：，，， ， ， ， 又三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ， ， 当时，为最大值，， ， 题目中符合的取值范围的值只有， 故选：． 【点评】解题的关键是用仅有未知数的方程式表达，再结合二次根式的性质和三角形三边关系进行分析，即可得出的最大值和最小值． 【变式11-1】．（2023秋•杨浦区期中）解不等式：的解集是 　　． 【分析】由可得，求解即可． 【解答】解：由， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查解不等式以及分母有理化，属于基础题，掌握不等式的基本性质． 【变式11-2】．（2023秋•浦东新区校级期末）解不等式：． 【分析】先化简，再利用解不等式的方法与步骤解出答案即可． 【解答】解： ． 【点评】此题考查解不等式的步骤与方法以及二次根式的化简． 【变式11-3】．（2022秋•虹口区校级月考）解方程：． 【分析】按照解一元一次方程的方法与步骤进行解答便可． 【解答】解：， ， ， 即． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，二次根式的混合运算，熟记解方程的方法与步骤和有理化分母的方法是解题的关键所在． 【变式11-4】．（2022秋•浦东新区期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠地放在底面为长方形（长为，宽为的盒子底部（如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图中两块阴影部分的周长和是 　　． 【分析】设阴影部分的小长方形的长和宽分别为，，阴影部分的大长方形的长和宽分别为，，由题意可得：，，即可求解． 【解答】解：设阴影部分的小长方形的长和宽分别为，，阴影部分的大长方形的长和宽分别为，， 由题意可得：，， 两块阴影部分的周长和， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的加减，二次根式的应用，找到图形中的数量关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$