专题07 锐角三角函数结合相似三角形（四大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

专题07 锐角三角函数结合相似三角形 目录 压轴题型讲练 1 类型一、求边的长度 1 类型二、求对应边的比例 6 类型三、有关面积的计算 10 类型四、作垂线构造直角三角形 15 压轴能力测评 21 类型一、求边的长度 例1．如图，中，D为上一点，，， ，则的长是（　　）    A． B． C． D． 变式1-1．如图，矩形的对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，的面积为，，则的长为 ． 变式1-2．如图，是内一点，，，，，则的长为 ． 变式1-3．多解法  如图，在矩形中，，，点，分别在，上，，，连接，则的长为 ． AI 类型二、求对应边的比例 例2．将有一边相等的两个直角三角板按如图的方式放置，已知，，，与交于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 变式2-1．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边与相交于点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 变式2-2．如图，在中，，，点C 关于直线的对称点为D，E为边上不与点A，C重合的动点，连接，过点D作的垂线交于点F，则的值为 ． 变式2-3．如图，是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，连接并延长至点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点． （1）若，则 ． （2） ． 类型三、有关面积的计算 例3．如图，在矩形中，点是边上一点，且，点是的中点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 变式3-1．魏晋时期，数学家刘徽利用如图①所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，如图②，其中四边形，四边形和四边形都是正方形，连结．若，则正方形与正方形的面积比为 ． 变式3-2．如图，在正方形中，为上一点，连接，，交于点，交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 变式3-3．如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 类型四、作垂线构造直角三角形 例4．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连接、相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于（　　） A． B． C． D． 变式4-1．如图，在矩形中，点是的中点，点是上的一点，，，则的长度为 ． 变式4-2．如图，为等腰直角三角形，点D为边上一动点，以为斜边在其左侧构造另一等腰直角三角形，线段交于点P，连接．当时，恰好有，则的长为 ． ． 变式4-3．如图，四边形的对角线与交于点，已知．    (1)若，求的值； (2)若，，，． ①设的面积为，的面积为，求的值； ②求的值． 1．如图，在矩形中，点为上一点，连结，作的平分线交于点，连结交BE于点．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将三角板和三角板按如图方式放置，其中，两条斜边相交于点O，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，D为的中点．若点E在边上，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C．1或 D．1或2 4．如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（   ）    A． B． C． D． 5．如图所示，在中，，，是的中位线，D是边上一点，，P是线段上的一个动点，连接，相交于点O．若是直角三角形，则的长是 ．    6．如图，在矩形中，点E在边上，把沿直线翻折，得到的延长线交于点F．F为的中点，连接，若点E，G，C在同一条直线上，，则的长为 ，的值为 ． 7．如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点E恰好落在边上，若，则的长是 ． 8．如图，中，，点D在上，交于点E，的延长线与的延长线相交于点F，且，则 ． 9．如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 10．如图，为线段的中点，与交于点，，且交于，交于．    (1)写出图中两对相似三角形； (2)连接，如果，，，求的长． 11．已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点． (1)如图1，若． ①求证：； ②连接，求证： (2)如图2，若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 锐角三角函数结合相似三角形 目录 压轴题型讲练 1 类型一、求边的长度 1 类型二、求对应边的比例 6 类型三、有关面积的计算 10 类型四、作垂线构造直角三角形 15 压轴能力测评 21 类型一、求边的长度 例1．如图，中，D为上一点，，， ，则的长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点D作于点E，过点B作于点F，    ∵中，， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴． 设，，则， 由作图可知，， ∴ ， 即： ①， 在中 ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 即： ， ∴ ， 在中，根据勾股定理得， ， 即：， ①②两式联立： ， 解得： （负值舍去），     ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 变式1-1．如图，矩形的对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，的面积为，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图：设交于点G， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴ 在中， 设，则 ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵的面积为， ∴，解得：（舍弃负值）， ∴． 故答案为：． 变式1-2．如图，是内一点，，，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 变式1-3．多解法  如图，在矩形中，，，点，分别在，上，，，连接，则的长为 ． AI 【答案】 【详解】解法一：如解图，分别延长至点，至点，使得，连接，则四边形是正方形．延长交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，则、、三点共线． ， ， ，即， ， ． 由旋转的性质可得，，，， ， ， ， 又， ， ， 设，则，， ， 在中，， ， 解得， ． ，， ， ． 故答案为：． 解法二：在矩形中，，，， ， ，， 又， ， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，勾股定理等知识点，正确添加辅助线、构建全等三角形以及相似三角形是解题的关键． 类型二、求对应边的比例 例2．将有一边相等的两个直角三角板按如图的方式放置，已知，，，与交于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 变式2-1．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边与相交于点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 变式2-2．如图，在中，，，点C 关于直线的对称点为D，E为边上不与点A，C重合的动点，连接，过点D作的垂线交于点F，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵，， 设， ∵点C 关于直线的对称点为D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 变式2-3．如图，是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，连接并延长至点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点． （1）若，则 ． （2） ． 【答案】 3 【详解】（1）如图，过点作轴． 在中，，， ． （2）如图，连接，作轴于点，交于点． 分别是的中点， ，且相似比均为． 设的面积为，则的面积为的面积为， 的面积为的面积为． 与的高相等， ． 故答案为：，3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，求反比例函数系数，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例等，过图象上的某一点向坐标轴作垂线是解决反比例函数问题的常用方法． 类型三、有关面积的计算 例3．如图，在矩形中，点是边上一点，且，点是的中点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 即， ， 是直角三角形， 在中，点是斜边的中点， ， ，， ， ， ， ； （2）如图，连接， 四边形是矩形， ，， 和是直角三角形， 在中，， ， ，， ， 由结论可知， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，， 在中，， 点是斜边的中点， ， 在中，， ， ， ， 的值为． 变式3-1．魏晋时期，数学家刘徽利用如图①所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，如图②，其中四边形，四边形和四边形都是正方形，连结．若，则正方形与正方形的面积比为 ． 【答案】16 【详解】解：如图，过作于， ， ∵四边形，四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴, ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，，则，，，， ， 解得或（不合题意，舍去）， ∴面积比为16． 变式3-2．如图，在正方形中，为上一点，连接，，交于点，交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)36 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ； （2）， ， 四边形是正方形，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ． 变式3-3．如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 类型四、作垂线构造直角三角形 例4．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连接、相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点B作于H， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：B． 变式4-1．如图，在矩形中，点是的中点，点是上的一点，，，则的长度为 ． 【答案】10 【详解】解：作，延长、交于点，如图： 则， ， 为等腰直角三角形，， 由题意得：，，， 设，则， ∵， ∴， ， ∵，为中点， ， 又，， ， ，， ， 又，， ， ，即， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，涉及了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关性质作出辅助线构造出全等三角形． 变式4-2．如图，为等腰直角三角形，点D为边上一动点，以为斜边在其左侧构造另一等腰直角三角形，线段交于点P，连接．当时，恰好有，则的长为 ． ． 【答案】 【详解】如图，过点E作的延长线于F， ∵和为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， 即，解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式4-3．如图，四边形的对角线与交于点，已知．    (1)若，求的值； (2)若，，，． ①设的面积为，的面积为，求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）如图.       ∵，， ∴， ∴； （2）①如图， 由(1)得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， 即：， 解得，即， 在中，， ∵， ∴； ②如图，过点作于点，    由①知：，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴． 1．如图，在矩形中，点为上一点，连结，作的平分线交于点，连结交BE于点．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，如图所示，延长，交的延长线于，延长，交的延长线于， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 由勾股定理得：， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等角对等边，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2．如图，将三角板和三角板按如图方式放置，其中，两条斜边相交于点O，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， 在中， ， ∴ ， ∴， 在中，， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， 故选：A． 3．如图，在中，，，，D为的中点．若点E在边上，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C．1或 D．1或2 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ①当点E为的中点时，如图，    ∴， ∴， ∴， ∴， ②当为的中点，如图所示： 则，，，，    当为的中点，， ∴， 此时， 综上所述：或2； 故选D． 4．如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点C作轴，垂足为D，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了坐标与图形、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5．如图所示，在中，，，是的中位线，D是边上一点，，P是线段上的一个动点，连接，相交于点O．若是直角三角形，则的长是 ．    【答案】或 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是的中位线， ，， ， 分两种情况： ①当时，如图1，过点F作于H，   是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 设， 由勾股定理得：， ， ， ； ②当时，如图2，过点F作于H， 则，     ， ， ， ， ，即， ， 综上，的长为或． 故答案为：或． 【点晴】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，三角形中位线定理等知识，运用分类讨论的思想是解题的关键． 6．如图，在矩形中，点E在边上，把沿直线翻折，得到的延长线交于点F．F为的中点，连接，若点E，G，C在同一条直线上，，则的长为 ，的值为 ． 【答案】 / / 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：， ，， ， 点E，G，C在同一条直线上， ， 为的中点， ， 设，则， ， ， ， ，即， 解得：或（舍去）， ， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、解一元二次方程、分母有理化等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质是解题的关键． 7．如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点E恰好落在边上，若，则的长是 ． 【答案】2 【详解】提示：如图，过点E作，交于点F． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， 是等腰直角三角形， ，， ． ，， ． ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的外角定理，平行线的性质等，正确添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 8．如图，中，，点D在上，交于点E，的延长线与的延长线相交于点F，且，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 过点E作于点H，如图所示： ∴， 设，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得：（负根舍去）， ∴； 故答案为． 9．如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转到的位置， ，，， ，， ， ， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， 过点作于点， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， 即， 10．如图，为线段的中点，与交于点，，且交于，交于．    (1)写出图中两对相似三角形； (2)连接，如果，，，求的长． 【答案】(1)∽，∽ (2) 【详解】（1）解：因为， 所以∽，∽， （2）当时，可得且， 为的中点， ， ，是的外角， ， ， ∽， ，， ，， ．    【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出、的长度． 11．已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点． (1)如图1，若． ①求证：； ②连接，求证： (2)如图2，若，求的值． 【答案】(1)①见详解②见详解 (2) 【详解】（1）解：在矩形中， ． ． ， ． ， ， ． ， ， 即． ②如图，延长，交于点． 在矩形中，． ． 在和中， ， ． ． 中， ． ， ． ． （2）解：在矩形中， ， ， ， ， ， ， ， ， 且， ， ， 且，， ， ． ， 设， 则． 解得或（舍． ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$