专题06 锐角三角函数的辨析及其在几何的应用（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

专题06锐角三角函数的辨析及其在几何的应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、锐角三角比的概念辨析 3 类型二、锐角三角比的互相转换 3 类型三、网格中作垂线构造直角三角形 4 类型四、锐角三角比的实际应用 5 类型五、锐角三角比在几何中的应用 7 压轴能力测评 8 1.解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在中，所对的边分别为，则有： ①三边之间的关系： (勾股定理)；②锐角之间的关系：. ③边角之间的关系： ④，为斜边上的高. 注意：（1）直角三角形中有一个元素为定值(直角为)，是已知值. （2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). （3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 2.解直角三角形的类型和解法 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角对边 邻边 斜边 A C B b 已知斜边和一个锐角 已知两直角边 已知斜边和一条直角边 3.解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： （1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； （2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； （3）根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 1.坡度坡角 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 2.仰角俯角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 3.方位角问题 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，的方位角分别为是. （2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线的方向角分别表示北偏东，南偏东，南偏西，北偏西.特别如：东南方向指的是南偏东，东北方向指的是北偏东，西南方向指的是南偏西，西北方向指的是北偏西 注意：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解. 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 类型一、锐角三角比的概念辨析 例1．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式1-2．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 变式1-3．如图，CD是△ABC的高，若AB＝10，CD＝6，tan∠CAD＝，则BD＝ ． 类型二、锐角三角比的互相转换 例2．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，中，，，，，则（　　）    A． B． C． D． 变式2-2．如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 类型三、网格中作垂线构造直角三角形 例3．在 的正方形网格中，点 都是格点（网格线的交点），则的值是 （   ）    A． B． C． D． 变式3-1．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为，的三个顶点均在格点上，则的值为 （     ） A． B． C． D． 变式3-2．如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 变式3-3．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为 类型四、锐角三角比的实际应用 例4．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 变式4-1．如图，建筑物高度为，从建筑物的楼顶测得点的俯角为，测得点俯角为，则的长为 ．（已知，结果保留一位小数．） 变式4-2．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东，从景点A出发向正北方向步行米到达C处，测得景点B在C的北偏东方向． (1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） (2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数，参考数据：） 变式4-3．森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中，了解相关防火知识并在日常生活中做出相应的贡献．如图所示，在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点的北偏东方向的处发生火灾，防火员从卡点去火灾处救援有两种方案，方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800米到达离点最近的处再跑步到点救援；方案2：防火员从卡点直接跑步前往处救援．若防火员的跑步速度为，骑车的速度为．（参考数据：，，，，，） (1)的长为__________米（结果保留整数）； (2)防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由． 类型五、锐角三角比在几何中的应用 例5．如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．3 变式5-1．如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E．若 ，，则 ． 变式5-2．如图，中，D为上一点，，， ，则的长是（　　）    A． B． C． D． 变式5-3．如图，直角三角形纸片，，，，将其折叠，使点落在斜边上的点，折痕为；再沿折叠，使点落在的延长线上的点处． (1)求的度数； (2)求折痕的长． 1．如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，相邻两条平行直线间的距离都是2，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，交于点E，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点都在网格的交点处，则的值是（　　）．    A． B． C． D． 4．将有一边相等的两个直角三角板按如图的方式放置，已知，，，与交于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，某河堤的横断面是梯形，迎水坡长13米，且斜坡的坡度为，则河堤的高为 米． 6．已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ． 7．已知为直角三角形，，，将绕点C逆时针旋转得，连接，则 ． 8．图、图、图都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都在格点上．在图、图、图给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． (1)在图中的的边，上分别找到点D，E，连接，使． (2)在图中的的边上找到点F，连接，使． (3)在图中的的边上找到点G，连接，使． 9．图1是地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，支架的立柱与水平线垂直，支点A在线段上，斜杆与的夹角，拉杆于点D，拉杆与的夹角． (1)求拉杆的长； (2)若要求停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度不超过3.6米，问安装的雨棚高度是否符合要求？（参考数据：） 10．如图，平行四边形的对角线，交于点，于点，点在延长线上，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若tan∠ABC=2，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06锐角三角函数的辨析及其在几何的应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、锐角三角比的概念辨析 3 类型二、锐角三角比的互相转换 5 类型三、网格中作垂线构造直角三角形 7 类型四、锐角三角比的实际应用 10 类型五、锐角三角比在几何中的应用 14 压轴能力测评 18 1.解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在中，所对的边分别为，则有： ①三边之间的关系： (勾股定理)；②锐角之间的关系：. ③边角之间的关系： ④，为斜边上的高. 注意：（1）直角三角形中有一个元素为定值(直角为)，是已知值. （2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). （3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 2.解直角三角形的类型和解法 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角对边 邻边 斜边 A C B b 已知斜边和一个锐角 已知两直角边 已知斜边和一条直角边 3.解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： （1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； （2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； （3）根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 1.坡度坡角 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 2.仰角俯角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 3.方位角问题 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，的方位角分别为是. （2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线的方向角分别表示北偏东，南偏东，南偏西，北偏西.特别如：东南方向指的是南偏东，东北方向指的是北偏东，西南方向指的是南偏西，西北方向指的是北偏西 注意：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解. 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 类型一、锐角三角比的概念辨析 例1．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在中, 故选：． 变式1-1．在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：如图， ∵， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确、④错误； ∵， ∴，故③正确， ∴正确的有个． 故选：B．    变式1-2．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， 在中，，故A正确，不符合题意； ， 在中，，故B正确，不符合题意； ，， ， 在中，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 变式1-3．如图，CD是△ABC的高，若AB＝10，CD＝6，tan∠CAD＝，则BD＝ ． 【答案】2． 【详解】∵CD是△ABC的高， CD＝6，tan∠CAD＝， ∴=， ∴AD=8， ∵AB＝10， ∴BD=AB-AD=10-8=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义并灵活运用是解题的关键． 类型二、锐角三角比的互相转换 例2．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、，原说法正确，符合题意； D、，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 变式2-1．如图，中，，，，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，，， ∴， 则， 而， 故， ∵， ∴， 则． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出的长是解题关键． 变式2-2．如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了两角互余时角的三角函数关系及相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数关系是解题的关键 变式2-3．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点A作轴于D， ∵点在第一象限， ∴， ∵与x轴所夹锐角为，， ∴， ∴，即， 故选：C． 类型三、网格中作垂线构造直角三角形 例3．在 的正方形网格中，点 都是格点（网格线的交点），则的值是 （   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过A点作垂线与点D， 根据网格信息可得出， ， ∴， 故选：D．    变式3-1．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为，的三个顶点均在格点上，则的值为 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是的一个锐角， ， 而， ， , 故选：C． 变式3-2．如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接、， 由正方形的性质得： ， ，， ， ， ， ， ； 故选：A． 变式3-3．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴根据格点可得，， ∴，即是直角三角形，， ∴在中，， 故答案为： ． 类型四、锐角三角比的实际应用 例4．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度约为32米． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，米，， 设米， 在中，，米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， （米）， ， 解得：， 米， （米）， 该风力发电机塔杆的高度约为32米． 变式4-1．如图，建筑物高度为，从建筑物的楼顶测得点的俯角为，测得点俯角为，则的长为 ．（已知，结果保留一位小数．） 【答案】 【详解】如图，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 经检验：为原方程的解，且符合题意， ∴， 故答案为：． 变式4-2．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东，从景点A出发向正北方向步行米到达C处，测得景点B在C的北偏东方向． (1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） (2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点C作于点D， 由题意得，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故景点B和C处之间的距离为； （2）由题意得：，， ， 即大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约． 变式4-3．森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中，了解相关防火知识并在日常生活中做出相应的贡献．如图所示，在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点的北偏东方向的处发生火灾，防火员从卡点去火灾处救援有两种方案，方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800米到达离点最近的处再跑步到点救援；方案2：防火员从卡点直接跑步前往处救援．若防火员的跑步速度为，骑车的速度为．（参考数据：，，，，，） (1)的长为__________米（结果保留整数）； (2)防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由． 【答案】(1)976 (2)选择方案一更合理．见解析 【详解】（1）解：由题意，知米，， 在中， （米）， 故答案为：976； （2）解：选择方案一更合理． 理由：在中， （米）， 方案一需要时间为：， 方案二需要时间为：， ， 选择方案一更合理． 类型五、锐角三角比在几何中的应用 例5．如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 变式5-1．如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E．若 ，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，， ， ∴． ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴． 在中，． 设， 则在中，①， 在中，②， 联立①②，解得． ∴． 故答案为：． 变式5-2．如图，中，D为上一点，，， ，则的长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点D作于点E，过点B作于点F，    ∵中，， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴． 设，，则， 由作图可知，， ∴ ， 即： ①， 在中 ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 即： ， ∴ ， 在中，根据勾股定理得， ， 即：， ①②两式联立： ， 解得： （负值舍去），     ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 变式5-3．如图，直角三角形纸片，，，，将其折叠，使点落在斜边上的点，折痕为；再沿折叠，使点落在的延长线上的点处． (1)求的度数； (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵折叠 ，， 又， ； （2）解：，，， ． 由折叠可知，，，，． 设，则． 在直角中，， 又在直角中，． ． ， ． ， ， ， ． 1．如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12， ∴每个直角三角形的斜边长为， ∵直角三角形的较小的锐角为， ∴， 故选：C． 2．如图，直线，相邻两条平行直线间的距离都是2，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，交于点E，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：过点A作于点F，交于点G， ∵， ∴， ∵相邻两条平行直线间的距离都是2， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，正切函数，余弦函数，平行线间的距离． 熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 3．网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点都在网格的交点处，则的值是（　　）．    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，取的中点D，则，垂足为E， 由网格可得，，， 则边上的高， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 故选：C． 4．将有一边相等的两个直角三角板按如图的方式放置，已知，，，与交于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 5．如图，某河堤的横断面是梯形，迎水坡长13米，且斜坡的坡度为，则河堤的高为 米． 【答案】12 【详解】解：由已知斜坡的坡度，得： ， 设米，则米， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：或（舍去）， ， 即河堤高等于12米． 故答案为：12． 6．已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴，， ∵两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ∴两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为， 故答案为． 7．已知为直角三角形，，，将绕点C逆时针旋转得，连接，则 ． 【答案】 【详解】过E作， 设，则，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ． 故答案为：． 8．图、图、图都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都在格点上．在图、图、图给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． (1)在图中的的边，上分别找到点D，E，连接，使． (2)在图中的的边上找到点F，连接，使． (3)在图中的的边上找到点G，连接，使． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； (3)图见解析； 【详解】（1）如图，取，格点，连接交于点，连接交于点，连接，则即为所求点， ． 四边形为正方形，点为对角线交点，四边形为矩形，点为对角线交点， 点为中点，点为中点， ． （2）取格点，连接交于点，则点为所求点， ， 为等腰三角形， ， ， ，又， ，即， 为等腰直角三角形， ， ， ． （3）如图所示，连接交于点，则点为中点，连接相交于点，连接交于点，则为所求作点，． 四边形为矩形，为对角线交点， 点为中点， 四边形为正方形，为对角线交点，连接， ，， ，即为等腰三角形，根据三线合一， 为中垂线， 点为与交点， ． 9．图1是地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，支架的立柱与水平线垂直，支点A在线段上，斜杆与的夹角，拉杆于点D，拉杆与的夹角． (1)求拉杆的长； (2)若要求停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度不超过3.6米，问安装的雨棚高度是否符合要求？（参考数据：） 【答案】(1) (2)符合要求，过程见详解 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 该支架的边的长为； （2）解：符合要求，过程如下： 过点作，垂足为， ∵， ∴四边形是矩形 则，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 安装雨棚的高度是合格的． 10．如图，平行四边形的对角线，交于点，于点，点在延长线上，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若tan∠ABC=2，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）在中，，，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形及勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$