专题01 空间向量及其运算（考点清单，知识导图+9个考点清单+题型解读）高二数学上学期人教B版选择性必修第一册

专题01 空间向量及其运算（考点清单，知识导图+9个考点清单+题型解读） 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点02：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 知识点03：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2、数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 5、空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 6、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识点05：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点06：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 ①如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． ②如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点07：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 3、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 4、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点08：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 ①空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． ②空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 知识点09：空间向量运算的坐标表示 1、设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 3、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 4、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 5、两点间的距离公式 已知，则 6、中点坐标公式 设点为，的中点，则. 【题型一：空间向量的概念】 【例1】（单选题）（23-24高二上·贵州·开学考试）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】B 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，方向相反长度相等的向量是相反向量，故A错误， 对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确， 对于C，零向量的方向是任意的，故C错误， 对于D，两个不相等的向量模长可以相等，此时方向不相同，即为不相等的向量.故D错误， 故选：B 【变式1-1】（单选题）（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D. 【详解】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 【变式1-2】（多选题）（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）以下关于向量的说法正确的有（    ） A．若空间向量，，满足，则 B．若空间向量，，满足，则 C．若空间向量，满足，，则 D．若空间向量，满足，，则 【答案】BD 【分析】根据空间向量模的性质、相等向量、共线向量的定义逐一判断即可. 【详解】A：若，显然满足，但是不满足，因此本选项不正确； B：两个空间向量相等，它们的模显然相等，因此本选项正确； C：若，且三向量不共面时，不一定成立，因此本选项不正确； D：由相等向量的定义可知，如果，，一定有，因此本选项正确， 故选：BD 【变式1-3】（多选题）（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 【答案】ABD 【分析】利用向量与有向线段的区别可判定A、D，利用向量的概念可判定B，利用相反向量的定义可判定C. 【详解】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移， 而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的， 故相等向量的起点和终点不必相同， 对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误； 向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误； 由相反向量的定义可知C正确. 故选：ABD. 【题型二：空间向量的线性运算】 【例1】（单选题）（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形中，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减运算求解. 【详解】. 故选：B 【变式2-1】（单选题）（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：A. 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·福建·开学考试）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可. 【详解】根据题意，. 故选：A 【变式2-3】（23-24高二·全国·课堂例题）化简：． 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算及运算律即可求解。 【详解】原式． 【变式2-4】（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【详解】（1）， 向量如图所示，    （2）； 向量如图所示，    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示，    【题型三：空间向量基本定理】 【例1】（单选题）（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 【变式2-1】（单选题）（24-25高二下·全国·课后作业）在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理将用表示，从而可求出的值，进而可求得答案. 【详解】连接，因为，分别是的中点， 所以 ， 故． 故选：A 【变式2-2】（多选题）（24-25高二上·山东泰安·开学考试）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】根据空间向量基底的概念可得解. 【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确； 设，即方程无解， 所以，，不共面，B选项正确； 设，即，解得： ， 即，所以，，共面，C选项错误； 设，显然三个向量不共面，D选项正确； 故选：ABD. 【变式2-3】（多选题）（23-24高二下·全国·课后作业）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】借助空间向量的线性运算可得答案． 【详解】 ，故A错误、B正确； ，故C错误、D正确． 故选：BD． 【变式2-4】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 ． 【答案】/ 【分析】根据向量共面列出线性关系得出坐标计算即可. 【详解】若，，三个向量共面，则存在实数x，，使得， 即， 则，解得. 故答案为：. 【题型四：空间向量的数量积及其应用】 【例1】（23-24高二下·全国·课堂例题）（1）已知，，且，求的值； （2）已知都是空间向量，且，求． 【答案】（1）-1；（2）0 【分析】（1）根据题意可得，再利用平面向量数量积的运算性质即可求解. （2）将两边平方，即可得到答案. 【详解】（1）∵，，且，∴，，， ∴. （2）由两边同时平方，可得 即，所以 【变式2-1】（单选题）（24-25高二下·全国·课前预习）如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义即可求解. 【详解】，. 故选：B 【变式2-2】（单选题）（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在棱长均为1的平行六面体中，，，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】直接由公式即可建立方程求解. 【详解】 设，注意到， 所以，所以. 故选：D. 【变式2-3】（单选题）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 【答案】B 【分析】依题意可得，将两边平方，根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】依题意可得，，，， ，． ， ， ，即的长为. 故选：B． 【变式2-4】（24-25高二上·山东泰安·开学考试）若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 【答案】 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ， . 故答案为： 【题型五：空间直角坐标系】 【例1】（单选题）（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【答案】C 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图可得，则点关于直线对称的点为，故A正确； 由于，所以点关于点对称的点为，故B正确； 点的坐标为，故C不正确； 由于点，则点关于平面对称的点为，故D正确. 故选：C. 【变式2-1】（单选题）（23-24高二上·安徽芜湖·期末）在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求得结果. 【详解】，点A关于y轴对称的点为， ，点B关于平面对称的点为. 则. 故选：B. 【变式2-2】（单选题）（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）设，，，，其中，，是两两垂直的单位向量，若，则实数，，的值分别是（    ） A．1，，3 B．，1， C．，1，3 D．，2，3 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算以及向量相等，即可求得答案. 【详解】由题意可分别以，，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 则可得， 即得，解得， 故选：B 【变式2-3】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出，的坐标，再利用减法的坐标形式计算. 【详解】因为在正方体中，是的中点，， 根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以. 故答案为： 【变式2-4】（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知空间向量，若共面，则 ． 【答案】6 【分析】 根据向量共面列方程，化简求得的值. 【详解】 若共面，则存在实数，使得， 即． 所以，解得．所以． 故答案为： 【题型六：空间向量运算的坐标表示】 【例1】（23-24高二上·四川成都·期中）棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱CD上，且，H是的中点． (1)证明：； (2)求. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出向量的坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论. （2）求出的坐标，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】（1）如图，以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则,，，，，，， 因为，， 所以， 所以，即. （2）因为，所以 因为，且， 所以. 【变式2-1】（2024高二上·全国·专题练习）已知. (1)若，分别求λ与m的值； (2)若，且与垂直，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量平行的条件即可求解； （2）利用向量的模公式及向量垂直的条件即可求解. 【详解】（1）因为， 所以设， 所以，解得， 所以，. （2）因为，且与垂直， 所以,化简得,解得. 故. 【变式2-2】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得； （2）首先求出与的坐标，再求出，，，最后由夹角公式计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以； （2）因为，， 则，， 所以，， ， 设向量与夹角为，所以， 所以向量与夹角的余弦值为. 【变式2-3】（23-24高二上·福建·期中）已知向量，O为坐标原点，点． (1)求； (2)若点E在直线AB上，且，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由空间向量坐标运算计算可得； （2）根据题意先求出，在利用，计算可得. 【详解】（1）， 则， 故. （2）点E在直线AB上，， 则可设， ∵， ∴，即，解得， 故点E的坐标为． 【变式2-4】（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可； （2）利用三点共线的坐标表示设，利用空间向量的数量积的坐标表示结合二次函数性质求最值即可. 【详解】（1）由题意可知， 所以， 则； （2）由题意可设，则， 易知， 所以 ， 当时，取得最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量及其运算（考点清单，知识导图+9个考点清单+题型解读） 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点02：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 知识点03：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2、数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 5、空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 6、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识点05：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点06：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 ①如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． ②如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点07：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 3、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 4、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点08：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 ①空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． ②空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 知识点09：空间向量运算的坐标表示 1、设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 3、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 4、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 5、两点间的距离公式 已知，则 6、中点坐标公式 设点为，的中点，则. 【题型一：空间向量的概念】 【例1】（单选题）（23-24高二上·贵州·开学考试）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【变式1-1】（单选题）（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【变式1-2】（多选题）（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）以下关于向量的说法正确的有（    ） A．若空间向量，，满足，则 B．若空间向量，，满足，则 C．若空间向量，满足，，则 D．若空间向量，满足，，则 【变式1-3】（多选题）（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 【题型二：空间向量的线性运算】 【例1】（单选题）（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形中，化简（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（单选题）（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·福建·开学考试）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二·全国·课堂例题）化简：． 【变式2-4】（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【题型三：空间向量基本定理】 【例1】（单选题）（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（单选题）（24-25高二下·全国·课后作业）在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选题）（24-25高二上·山东泰安·开学考试）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-3】（23-24高二下·全国·课后作业）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 ． 【题型四：空间向量的数量积及其应用】 【例1】（23-24高二下·全国·课堂例题）（1）已知，，且，求的值； （2）已知都是空间向量，且，求． 【变式2-1】（单选题）（24-25高二下·全国·课前预习）如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 【变式2-2】（单选题）（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在棱长均为1的平行六面体中，，，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式2-3】（单选题）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 【变式2-4】（24-25高二上·山东泰安·开学考试）若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 【题型五：空间直角坐标系】 【例1】（单选题）（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【变式2-1】（单选题）（23-24高二上·安徽芜湖·期末）在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（单选题）（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）设，，，，其中，，是两两垂直的单位向量，若，则实数，，的值分别是（    ） A．1，，3 B．，1， C．，1，3 D．，2，3 【变式2-3】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【变式2-4】（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知空间向量，若共面，则 ． 【题型六：空间向量运算的坐标表示】 【例1】（23-24高二上·四川成都·期中）棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱CD上，且，H是的中点． (1)证明：； (2)求. 【变式2-1】（2024高二上·全国·专题练习）已知. (1)若，分别求λ与m的值； (2)若，且与垂直，求. 【变式2-2】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【变式2-3】（23-24高二上·福建·期中）已知向量，O为坐标原点，点． (1)求； (2)若点E在直线AB上，且，求点E的坐标． 【变式2-4】（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$