2.3 直线的交点坐标与距离公式（九大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

2．3 直线的交点坐标与距离公式 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：判断两直线的位置关系 4 题型二：过两条直线交点的直线系方程 4 题型三：交点问题 5 题型四：对称问题 6 考点1：点点对称 6 考点2：点关于直线对称 6 考点3：直线关于点对称 7 考点4：直线关于直线对称 7 题型五：两点间的距离 9 题型六：点到直线的距离 9 题型七：两平行直线间的距离 10 题型八：距离问题的综合灵活运用 10 题型九：线段和与差的最值问题 11 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点三：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点四：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点五：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 【典型例题】 题型一：判断两直线的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 【典例1-2】（2024·高二·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【方法技巧与总结】 分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意． 【变式1-1】（2024·高一·河北石家庄·期末）若关于x，y的方程组无解，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式1-2】（2024·高二·浙江台州·期中）是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ） A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解 C．存在，使是方程组的一组解 D．存在，使之有无穷多解 【变式1-3】（2024·高二·上海·课后作业）若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则 ． 【变式1-4】（2024·高二·上海徐汇·期中）关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是 . 题型二：过两条直线交点的直线系方程 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【典例2-2】（2024·高二·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【方法技巧与总结】 直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用． 【变式2-1】（2024·高二·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【变式2-2】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【变式2-3】（2024·高二·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 . 【变式2-4】（2024·高二·全国·课后作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 题型三：交点问题 【典例3-1】（2024·高一·甘肃武威·阶段练习）若一次函数与的图象的交点纵坐标为4，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【典例3-2】（2024·高一·全国·课后作业）若曲线及能围成三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 直接联立两直线方程，解方程即可． 【变式3-1】（2024·高二·全国·课堂例题）直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）若与的图形有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式3-3】（2024·高二·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2024·高二·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-5】（2024·高一·全国·单元测试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：对称问题 考点1：点点对称 【典例4-1】（2024·高二·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝ . 【典例4-2】（2024·高二·全国·专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为 ． 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是( ) A．2      B．4      C．5      D． 【变式4-2】（2024·高二·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 考点2：点关于直线对称 【典例5-1】（2024·高二·福建宁德·阶段练习）一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 【典例5-2】（2024·高二·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知点与点关于直线：对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为 . 考点3：直线关于点对称 【典例6-1】（2024·高二·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程是 ． 【典例6-2】（2024·高一·宁夏银川·期末）直线关于定点对称的直线方程是 ． 【变式6-1】（2024·高一·江西抚州·期末）与直线关于原点对称的直线的方程为 . 【变式6-2】（2024·高二·四川泸州·阶段练习）直线与关于点成中心对称，若的方程是，则的方程是 【变式6-3】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 【变式6-4】（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 . 考点4：直线关于直线对称 【典例7-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【典例7-2】（2024·高二·广东佛山·期中）直线关于直线的对称直线的方程为 . 【变式7-1】（2024·高二·河南·阶段练习）若直线与直线关于轴对称，则 . 【变式7-2】（2024·高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是 . 【变式7-3】（2024·高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是 ． 【方法技巧与总结】 （1）点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 （2）点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． （3）直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． （4）直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 题型五：两点间的距离 【典例8-1】（2024·高二·全国·课后作业）三角形的三个顶点为，则的长为（ ） A．3 B．5 C．9 D．25 【典例8-2】（2024·高一·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【方法技巧与总结】 两点间的距离公式为． 【变式8-1】（2024·高二·福建厦门·期中）以点，，为顶点的三角形是（    ） A．等边 B．等腰直角 C．等腰 D．直角 【变式8-2】（2024·高一·湖南·开学考试）直线经过点，且被两坐标轴截得的线段长为，则的所有可能取值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 题型六：点到直线的距离 【典例9-1】（2024·高二·全国·随堂练习）点到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【典例9-2】（2024·高二·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【方法技巧与总结】 点到直线的距离为． 【变式9-1】（2024·高二·全国·随堂练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【变式9-2】（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【变式9-3】（2024·高二·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【变式9-4】（2024·高一·广东韶关·期末）已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 题型七：两平行直线间的距离 【典例10-1】（2024·高二·宁夏银川·阶段练习）两直线与平行，则它们之间的距离为 . 【典例10-2】（2024·高二·新疆·期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为 ． 【方法技巧与总结】 直线与直线的距离为． 【变式10-1】（2024·高二·上海·随堂练习）若与平行，则两直线之间的距离为 . 【变式10-2】（2024·高二·上海·随堂练习）已知直线：与直线：且，则实数 ，，之间的距离为 ． 【变式10-3】（2024·高二·全国·课后作业）与直线平行且到l的距离为2的直线的方程为 ． 【变式10-4】（2024·高一·甘肃武威·阶段练习）直线与直线的距离为，则实数a的值为 ． 【变式10-5】（2024·高二·福建福州·期中）已知直线和直线，直线与的距离分别为，若，则直线方程的方程为 . 题型八：距离问题的综合灵活运用 【典例11-1】（2024·高二·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例11-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，若有且只有一组数对满足不等式 ，则实数的取值集合为 . 【方法技巧与总结】 利用距离的几何意义进行等价转换． 【变式11-1】（2024·高二·辽宁·期中）已知，则的最小值是 . 【变式11-2】（2024·高二·内蒙古·阶段练习）已知为直线上的一点，则的最小值为 ． 【变式11-3】（2024·高二·河南·阶段练习）函数的最小值为 ． 【变式11-4】（2024·高二·全国·专题练习）已知点分别在直线：与直线：上，且，点，则的最小值为 ． 题型九：线段和与差的最值问题 【典例12-1】（2024·高一·四川达州·期末）在直角坐标系中，若、、，则的最小值是 ． 【典例12-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)． (1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小； (2)试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大． 【方法技巧与总结】 利用三角形的性质进行判断. 【变式12-1】（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知平面上两点和，在直线上求一点M． (1)使最大值； (2)使最小． 【变式12-2】（2024·高二·四川南充·阶段练习）（1）设，，，，求证：对于任意，，. （2）假设阆中七里、江南两镇在一平面直角坐标下的坐标为，，嘉陵江所在的直线的方程为，若在嘉陵江边上建一座供水站使之到，两镇的管道最短，问供水站应建在什么地方？此时为多少？ 【变式12-3】（2024·高三·上海宝山·开学考试）如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2．3 直线的交点坐标与距离公式 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：判断两直线的位置关系 4 题型二：过两条直线交点的直线系方程 6 题型三：交点问题 8 题型四：对称问题 11 考点1：点点对称 11 考点2：点关于直线对称 12 考点3：直线关于点对称 14 考点4：直线关于直线对称 16 题型五：两点间的距离 19 题型六：点到直线的距离 21 题型七：两平行直线间的距离 23 题型八：距离问题的综合灵活运用 25 题型九：线段和与差的最值问题 28 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点三：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点四：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点五：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 【典型例题】 题型一：判断两直线的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 【答案】C 【解析】在直线外，所以， 方程与两变量的系数完全相同，而，即常数项不同， 它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行， 又，所以直线必过点，所以直线过点且与直线平行. 故选：C 【典例1-2】（2024·高二·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【解析】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 【方法技巧与总结】 分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意． 【变式1-1】（2024·高一·河北石家庄·期末）若关于x，y的方程组无解，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题, 直线与平行,故. 故选：A 【变式1-2】（2024·高二·浙江台州·期中）是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ） A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解 C．存在，使是方程组的一组解 D．存在，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】由题意，则， ∵直线的斜率存在，∴，，∴方程组总有唯一解．A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则，则点在直线，即上，但已知这两个在直线上，这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误． 故选：B． 【变式1-3】（2024·高二·上海·课后作业）若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则 ． 【答案】 【解析】依题意二元一次方程组有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由，解得或. 当时，二元一次方程组为，两直线不重合，不符合题意. 当时，二元一次方程组为，两直线重合，符合题意. 综上所述，的值为. 故答案为： 【变式1-4】（2024·高二·上海徐汇·期中）关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是 . 【答案】-35 【解析】由x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则直线与直线重合求解.因为x､y的二元一次方程组有无穷多组解， 所以直线与直线重合， 所以，解得， 所以 ， 故答案为：-35 题型二：过两条直线交点的直线系方程 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【解析】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 【典例2-2】（2024·高二·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设直线方程为， 即 令，得， 令，得. 由， 得或. 所以直线方程为或. 故选：C. 【方法技巧与总结】 直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用． 【变式2-1】（2024·高二·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【解析】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 【变式2-2】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【解析】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 【变式2-3】（2024·高二·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 . 【答案】 【解析】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为. 故答案为： 【变式2-4】（2024·高二·全国·课后作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 【答案】或 【解析】方法一：由，得， 所以两条直线的交点坐标为（14，10）, 由题意可得直线的斜率为1或-1， 所以直线的方程为或， 即或. 方法二：设直线的方程为，整理得， 由题意，得，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 题型三：交点问题 【典例3-1】（2024·高一·甘肃武威·阶段练习）若一次函数与的图象的交点纵坐标为4，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】因为一次函数与的图像的交点纵坐标为4， 所以，当时，代入一次函数中，得. 所以，交点坐标. 将交点坐标代入中，得. 故选：A. 【典例3-2】（2024·高一·全国·课后作业）若曲线及能围成三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】曲线由两条射线构成，它们分别是射线及射线. 因为方程的解，故射线与直线有一个交点； 若曲线及能围成三角形，则方程必有一个解， 故，因此，选C. 【方法技巧与总结】 直接联立两直线方程，解方程即可． 【变式3-1】（2024·高二·全国·课堂例题）直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】D 【解析】由直线与直线相交，得， 即，解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）若与的图形有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】表示关于轴对称的两条射线， 表示斜率为1，在轴上的截距为的直线， 根据题意，画出大致图形，如下图， 若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知． 故选：A． 【变式3-3】（2024·高二·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 设与直线垂直的直线的方程为，则 ，得， 所以所求直线方程为. 故选：A 【变式3-4】（2024·高二·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D 【变式3-5】（2024·高一·全国·单元测试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即交点为， 因为交点在第一象限，所以. 故选：A 题型四：对称问题 考点1：点点对称 【典例4-1】（2024·高二·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝ . 【答案】 【解析】由题意知，即，解得，故. 故答案为： 【典例4-2】（2024·高二·全国·专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为 ． 【答案】 【解析】设C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B点是A，C的中点， 所以，解得． 所以C的坐标为． 故答案为： 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是( ) A．2      B．4      C．5      D． 【答案】D 【解析】由题可知： 所以点到原点的距离是 故选：D 【变式4-2】（2024·高二·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由与关于坐标原点对称，则， 所以. 故选：B 考点2：点关于直线对称 【典例5-1】（2024·高二·福建宁德·阶段练习）一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 【答案】 【解析】设关于的对称点， 则有，解得，即， 反射光线所在直线为：， 整理得：. 故答案为： 【典例5-2】（2024·高二·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 【变式5-1】点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点的坐标为， 则由题意可得 故答案为：B． 【变式5-2】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知点与点关于直线：对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则的中点是，则由题意可得，解得，即， 故选：D. 【变式5-3】（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为 . 【答案】 【解析】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则直线方程为， 设关于和直线的对称点分别为，则， 记，则，解得， 因为为的重心，，所以， 由光的反射原理可知，三点共线，所以， 即，解得（舍去）或. 故答案为： 考点3：直线关于点对称 【典例6-1】（2024·高二·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程是 ． 【答案】 【解析】设对称直线为， 则有， 解这个方程得（舍）或. 所以对称直线的方程中 故答案为： 【典例6-2】（2024·高一·宁夏银川·期末）直线关于定点对称的直线方程是 ． 【答案】 【解析】在直线上取点，点关于的对称点为 过与原直线平行的直线方程为，即为对称后的直线． 故答案为： 【变式6-1】（2024·高一·江西抚州·期末）与直线关于原点对称的直线的方程为 . 【答案】 【解析】若在直线关于原点对称的直线方程上，则在上， ∴，得. 故答案为： 【变式6-2】（2024·高二·四川泸州·阶段练习）直线与关于点成中心对称，若的方程是，则的方程是 【答案】 【解析】在直线上任取一点， 则关于点对称点一定在直线上， 故有，即． 故直线的方程为． 故答案为：． 【变式6-3】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【解析】在对称的直线方程上任取一点，根据点对称性可得在直线上，代入即可求解.设直线关于点对称的直线方程为， 在上任取一点， 则点关于点对称的点的坐标为， 由题意可知点在直线上， 故，整理可得. 故答案为： 【变式6-4】（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 . 【答案】6x－8y＋1＝0 【解析】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根据对称解得b＝，计算得到答案.由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b， 则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2 即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ， ∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b 取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ， ，解得b＝. ∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0. 故答案为：6x－8y＋1＝0 考点4：直线关于直线对称 【典例7-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【答案】. 【解析】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 【典例7-2】（2024·高二·广东佛山·期中）直线关于直线的对称直线的方程为 . 【答案】 【解析】设为所求直线上一点，它关于的对称点为， 则可得， 由题可得在直线上， 所以，整理可得所求的对称直线方程为. 故答案为：. 【变式7-1】（2024·高二·河南·阶段练习）若直线与直线关于轴对称，则 . 【答案】 【解析】直线的斜率，与轴交于点. 直线与直线关于轴对称 直线与直线的倾斜角互补，且与轴相较于同一点 ，解得，则. 故答案为：. 【变式7-2】（2024·高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是 . 【答案】 【解析】设所求直线上任意一点， 点P关于的对称点为, 如图所示： 则有，得 ∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0， 即x－2y＋3＝0. 故答案为： 【变式7-3】（2024·高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是 ． 【答案】 【解析】联立，解得， 即两直线的交点为． 在直线上取一点， 设点P关于直线的对称点为， 则，解得，即． 所以直线MQ的方程为， 即. 故答案为: ． 【方法技巧与总结】 （1）点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 （2）点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． （3）直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． （4）直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 题型五：两点间的距离 【典例8-1】（2024·高二·全国·课后作业）三角形的三个顶点为，则的长为（ ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【解析】根据题意，利用两点间的距离公式，可得的长为， 故选：B 【典例8-2】（2024·高一·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【解析】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 【方法技巧与总结】 两点间的距离公式为． 【变式8-1】（2024·高二·福建厦门·期中）以点，，为顶点的三角形是（    ） A．等边 B．等腰直角 C．等腰 D．直角 【答案】D 【解析】计算出三边边长，结合勾股定理可判断出该三角形的形状.由已知可得，， ，所以，. 因此，为直角三角形. 故选：D. 【变式8-2】（2024·高一·湖南·开学考试）直线经过点，且被两坐标轴截得的线段长为，则的所有可能取值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【解析】由题意，因为直线经过点, 所以，则直线. 令，则， 令，则. 则， 化简得， 即， 即, 解得或或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 题型六：点到直线的距离 【典例9-1】（2024·高二·全国·随堂练习）点到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】由题意可得：点到直线的距离. 故选：A. 【典例9-2】（2024·高二·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【解析】直线：，即， 由，得到，所以直线过定点， 当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为， 故选：B. 【方法技巧与总结】 点到直线的距离为． 【变式9-1】（2024·高二·全国·随堂练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：C. 【变式9-2】（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】直线l：， 整理得， 由，可得， 故直线恒过点， 点到的距离， 故； 直线l：的斜率， 故，解得 故选：B. 【变式9-3】（2024·高二·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【解析】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 【变式9-4】（2024·高一·广东韶关·期末）已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】∵点和点，∴， ∵点和点到直线的距离相等，且l过点， ∴直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为（过线段中点）， ∴直线的方程为：，或， 整理得：或. 故选：A. 题型七：两平行直线间的距离 【典例10-1】（2024·高二·宁夏银川·阶段练习）两直线与平行，则它们之间的距离为 . 【答案】 【解析】依题意可得，，解得， 所以直线方程为，又，即， 则两平行直线的距离为. 故答案为：. 【典例10-2】（2024·高二·新疆·期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【解析】直线不过原点且与平行，可设直线， 与之间的距离，解得：或（舍）， 直线的一般式方程为：. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 直线与直线的距离为． 【变式10-1】（2024·高二·上海·随堂练习）若与平行，则两直线之间的距离为 . 【答案】 【解析】∵直线与平行，∴，解得， ∴直线，直线， ∴直线与之间的距离， 故答案为：. 【变式10-2】（2024·高二·上海·随堂练习）已知直线：与直线：且，则实数 ，，之间的距离为 ． 【答案】 6 【解析】因为，∴，解得：， ∴：，即，∴与之间的距离． 故答案为：6，. 【变式10-3】（2024·高二·全国·课后作业）与直线平行且到l的距离为2的直线的方程为 ． 【答案】或. 【解析】设与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0， 根据两平行直线间的距离公式得， 解得b＝32或b＝－20. ∴所求直线方程为或. 故答案为：或. 【变式10-4】（2024·高一·甘肃武威·阶段练习）直线与直线的距离为，则实数a的值为 ． 【答案】3，-4 【解析】直线方程化为和， ∴，解得或． 故答案为：3或． 【变式10-5】（2024·高二·福建福州·期中）已知直线和直线，直线与的距离分别为，若，则直线方程的方程为 . 【答案】或 【解析】设直线的方程为，由平行线间的距离公式可得， 或，直线的方程为或. 故答案为：或 题型八：距离问题的综合灵活运用 【典例11-1】（2024·高二·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 【典例11-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，若有且只有一组数对满足不等式 ，则实数的取值集合为 . 【答案】 【解析】平面直角坐标系中,，，,，，，， ∵有且只有一组数对满足不等式，∴，的取值集合为 故答案为: . 【方法技巧与总结】 利用距离的几何意义进行等价转换． 【变式11-1】（2024·高二·辽宁·期中）已知，则的最小值是 . 【答案】 【解析】设， 因为，则点在矩形内部，如图所示， 可得 ， 当且仅当为的交点时，等号成立， 故答案为：. 【变式11-2】（2024·高二·内蒙古·阶段练习）已知为直线上的一点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则解之得即． 易得，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为． 故答案为：. 【变式11-3】（2024·高二·河南·阶段练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和， 即，如下图所示： 由图可知，当点、、三点共线时，取最小值， 且. 故答案为：. 【变式11-4】（2024·高二·全国·专题练习）已知点分别在直线：与直线：上，且，点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由平行线距离公式得：， 设，则， 所以 ， 设点，如下图： 则有： 即当三点共线时等号成立)， 综上，． 故答案为： 题型九：线段和与差的最值问题 【典例12-1】（2024·高一·四川达州·期末）在直角坐标系中，若、、，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题意可知，点在轴上，点关于轴的对称点为，由对称性可得， 所以，， 当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【典例12-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)． (1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小； (2)试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大． 【解析】（1）如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)， 则，解得，所以C′(－1，1)． 所以直线AC′的方程为y＝1． 由，得直线AC′与直线l的交点为，此时|AP|＋|CP|取最小值． （2）如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)， 则，解得，所以B′(3，3)． 所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0． 由，得直线AB′与直线l的交点为Q(2，5)，此时|AQ|－|BQ|取最大值． 【方法技巧与总结】 利用三角形的性质进行判断. 【变式12-1】（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知平面上两点和，在直线上求一点M． (1)使最大值； (2)使最小． 【解析】（1）若为关于直线的对称点，则中点在直线上， 所以，得，则， 由，则， 要使最大，只需共线，. （2）如上图，要使最小，只需共线， 所以. 【变式12-2】（2024·高二·四川南充·阶段练习）（1）设，，，，求证：对于任意，，. （2）假设阆中七里、江南两镇在一平面直角坐标下的坐标为，，嘉陵江所在的直线的方程为，若在嘉陵江边上建一座供水站使之到，两镇的管道最短，问供水站应建在什么地方？此时为多少？ 【解析】（1）设，，，则， ，. 因为对于平面上的任意三点，，，总有， 所以. （2）如图所示，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，取直线上异于点的一点，则， 因此，供水站建在点处时，才能使得取得最小值，设，则的中点在直线上，且，则解得，即，所以直线的方程为，解方程组，得，所以点的坐标为，故供水站建在点处. 此时为. 【变式12-3】（2024·高三·上海宝山·开学考试）如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为 ． 【答案】 【解析】关于直线的对称点为，则有.过作平行于的直线为，由得，即此时直线为.过作，则，则.由于是常数，要使的值取最小，则的值取最小，即三点共线时最小.设，由得，即，解得（舍去.），即.设，则，解得，即，设，.由得，得，解得或（舍去），故. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2．3 直线的交点坐标与距离公式 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 知识点一：三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). ②结论：|P1P2|＝ . ③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝ . 知识梳理 知识点一：三种距离公式 (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ . (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ . 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 【答案】C 【解析】在直线外，所以， 方程与两变量的系数完全相同，而，即常数项不同， 它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行， 又，所以直线必过点，所以直线过点且与直线平行． 故选：C 题型一：判断两直线的位置关系 典型例题 【典例1-2】（2024·高二·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【解析】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 【方法技巧与总结】 分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意． 题型一：判断两直线的位置关系 典型例题 【变式1-1】（2024·高一·河北石家庄·期末）若关于x，y的方程组无解，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题， 直线与平行， 故． 故选：A 题型一：判断两直线的位置关系 典型例题 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【解析】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即． 故选：D． 题型二：过两条直线交点的直线系方程 典型例题 【典例2-2】（2024·高二·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设直线方程为，即 令，得，令，得． 由，得或． 所以直线方程为或． 故选：C． 【方法技巧与总结】 直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用． 题型二：过两条直线交点的直线系方程 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【解析】由题设，令直线的方程为， 且直线过， 所以， 故直线的方程为． 故答案为： 题型二：过两条直线交点的直线系方程 典型例题 【典例3-1】（2024·高一·甘肃武威·阶段练习）若一次函数与的图象的交点纵坐标为4，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】因为一次函数与的图像的交点纵坐标为4， 所以，当时，代入一次函数中，得． 所以，交点坐标． 将交点坐标代入中，得． 故选：A． 题型三：交点问题 典型例题 【典例3-2】（2024·高一·全国·课后作业）若曲线及能围成三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】曲线由两条射线构成，它们分别是射线及射线． 因为方程的解，故射线与直线有一个交点； 若曲线及能围成三角形，则方程必有一个解， 故，因此，选C． 【方法技巧与总结】 直接联立两直线方程，解方程即可． 题型三：交点问题 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·全国·课堂例题）直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】D 【解析】由直线与直线相交，得， 即，解得且， 所以实数k的值为且． 故选：D 题型三：交点问题 典型例题 【典例4-1】（2024·高二·全国·单元测试）已知不同的两点 关于点对称，则ab＝ ． 【答案】 【解析】由题意知， 即，解得， 故． 故答案为： 题型四：对称问题 考点1：点点对称 典型例题 【典例4-2】（2024·高二·全国·专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为 ． 【答案】 【解析】设C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B点是A，C的中点， 所以， 解得． 所以C的坐标为． 故答案为： 题型四：对称问题 考点1：点点对称 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是（ ） A．2      B．4      C．5      D． 【答案】D 【解析】由题可知： 所以点到原点的距离是 故选：D 题型四：对称问题 考点1：点点对称 典型例题 【典例5-1】（2024·高二·福建宁德·阶段练习）一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 ． 【答案】 【解析】设关于的对称点， 则有，解得，即， 反射光线所在直线为：， 整理得：． 故答案为： 题型四：对称问题 考点2：点关于直线对称 典型例题 【典例5-2】（2024·高二·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴， ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C． 题型四：对称问题 考点2：点关于直线对称 典型例题 【变式5-1】点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点的坐标为， 则由题意可得 故答案为：B． 题型四：对称问题 考点2：点关于直线对称 典型例题 【典例6-1】（2024·高二·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程是 ． 【答案】 【解析】设对称直线为， 则有， 解这个方程得（舍）或． 所以对称直线的方程中 故答案为： 题型四：对称问题 考点3：直线关于点对称 典型例题 【典例6-2】（2024·高一·宁夏银川·期末）直线关于定点对称的直线方程是 ． 【答案】 【解析】在直线上取点， 点关于的对称点为 过与原直线平行的直线方程为，即为对称后的直线． 故答案为： 题型四：对称问题 考点3：直线关于点对称 典型例题 【变式6-1】（2024·高一·江西抚州·期末）与直线关于原点对称的直线的方程为 ． 【答案】 【解析】若在直线关于原点对称的直线方程上， 则在上， ∴，得． 故答案为： 题型四：对称问题 考点3：直线关于点对称 典型例题 【典例7-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【答案】． 【解析】由题意知，设直线， 在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为． 故答案为： 题型四：对称问题 考点4：直线关于直线对称 典型例题 【典例7-2】（2024·高二·广东佛山·期中）直线关于直线的对称直线的方程为 ． 【答案】 【解析】设为所求直线上一点，它关于的对称点为， 则可得， 由题可得在直线上， 所以， 整理可得所求的对称直线方程为． 故答案为：． 题型四：对称问题 考点4：直线关于直线对称 典型例题 【变式7-1】（2024·高二·河南·阶段练习）若直线与直线关于轴对称，则 ． 【答案】 【解析】直线的斜率，与轴交于点． 直线与直线关于轴对称 直线与直线的倾斜角互补，且与轴相较于同一点 ，解得，则． 故答案为：． 题型四：对称问题 考点4：直线关于直线对称 典型例题 【典例8-1】（2024·高二·全国·课后作业）三角形的三个顶点为，则的长为（ ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【解析】根据题意，利用两点间的距离公式， 可得的长为， 故选：B 题型五：两点间的距离 典型例题 【典例8-2】（2024·高一·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【解析】， ， ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A．  【方法技巧与总结】 两点间的距离公式为． 题型五：两点间的距离 典型例题 【变式8-1】（2024·高二·福建厦门·期中）以点，，为顶点的三角形是（    ） A．等边 B．等腰直角 C．等腰 D．直角 【答案】D 【解析】由已知可得， ， ， 所以，． 因此，为直角三角形． 故选：D． 题型五：两点间的距离 典型例题 【典例9-1】（2024·高二·全国·随堂练习）点到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】由题意可得：点到直线的距离 ． 故选：A． 题型六：点到直线的距离 典型例题 【典例9-2】（2024·高二·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【解析】直线：，即， 由，得到，所以直线过定点， 当直线垂直于直线时，距离最大， 此时最大值为， 故选：B． 【方法技巧与总结】 点到直线的距离为． 题型六：点到直线的距离 典型例题 【变式9-1】（2024·高二·全国·随堂练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为点到直线的距离相等， 所以， 即， 化简得， 解得或． 故选：C． 题型六：点到直线的距离 典型例题 【典例10-1】（2024·高二·宁夏银川·阶段练习）两直线与平行，则它们之间的距离为 ． 【答案】 【解析】依题意可得，，解得， 所以直线方程为，又， 即， 则两平行直线的距离为． 故答案为：． 题型七：两平行直线间的距离 典型例题 【典例10-2】（2024·高二·新疆·期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【解析】直线不过原点且与平行，可设直线， 与之间的距离，解得：或（舍）， 直线的一般式方程为：． 故答案为：． 【方法技巧与总结】 直线与直线的距离为． 题型七：两平行直线间的距离 典型例题 【变式10-1】（2024·高二·上海·随堂练习）若与平行，则两直线之间的距离为 ． 【答案】 【解析】∵直线与平行，∴，解得， ∴直线，直线， ∴直线与之间的距离， 故答案为：． 题型七：两平行直线间的距离 典型例题 【典例11-1】（2024·高二·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A． 题型八：距离问题的综合灵活运用 典型例题 【典例11-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，若有且只有一组数对满足不等式 ，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【解析】平面直角坐标系中，，，，，，，， ∵有且只有一组数对满足不等式，∴，的取值集合为 故答案为： ． 【方法技巧与总结】 利用距离的几何意义进行等价转换． 题型八：距离问题的综合灵活运用 典型例题 【变式11-1】（2024·高二·辽宁·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】设， 因为，则点在矩形内部，如图所示， 可得 ， 当且仅当为的交点时，等号成立， 故答案为：． 题型八：距离问题的综合灵活运用 典型例题 【典例12-1】（2024·高一·四川达州·期末）在直角坐标系中，若、、，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题意可知，点在轴上，点关于轴的对称点为， 由对称性可得， 所以，， 当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 题型九：线段和与差的最值问题 典型例题 【典例12-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知直线l：3x－y－1＝0及点 A（4，1），B（0，4），C（2，0）． （1）试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小； （2）试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大． 【解析】（1）如图①，设点C关于l的对称点为C′（a，b）， 则，解得，所以C′（－1，1）． 所以直线AC′的方程为y＝1． 由，得直线AC′与直线l的交点为，此时|AP|＋|CP|取最小值． （2）如图②，设点B关于l的对称点为B′（m，n）， 则，解得，所以B′（3，3）． 所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0． 由，得直线AB′与直线l的交点为Q（2，5），此时|AQ|－|BQ|取最大值．   题型九：线段和与差的最值问题 典型例题 【变式12-1】（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知平面上两点和，在直线上求一点M． （1）使最大值； （2）使最小． 【解析】（1）若为关于直线的对称点， 则中点在直线上， 所以，得，则， 由，则， 要使最大，只需共线，． （2）如上图，要使最小，只需共线， 所以． 题型九：线段和与差的最值问题 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2003 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖北卷））已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（    ） A． B． C． D．4 3．（2003 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2020年山东省春季高考数学真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． C D C D     $$