2.3 直线的交点坐标与距离公式（九大题型）（精练）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

2．3 直线的交点坐标与距离公式 目录 【题型归纳】 2 题型一：判断两直线的位置关系 2 题型二：过两条直线交点的直线系方程 4 题型三：交点问题 5 题型四：对称问题 6 题型五：两点间的距离 10 题型六：点到直线的距离 11 题型七：两平行直线间的距离 12 题型八：距离问题的综合灵活运用 13 题型九：线段和与差的最值问题 15 【重难点集训】 18 【高考真题】 32 【题型归纳】 题型一：判断两直线的位置关系 1．（多选题）（2024·高二·浙江温州·期末）设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， 2．（多选题）（2024·高二·江苏·专题练习）已知集合，集合，且，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（2024·高二·湖北武汉·期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 4．（2024·高三·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 题型二：过两条直线交点的直线系方程 5．（2024·高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ． 6．（2024·高二·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 7．（2024·高三·全国·专题练习）经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ． 题型三：交点问题 8．（2024·高二·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·高二·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 11．（2024·高二·全国·课后作业）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：对称问题 12．（2024·高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 13．（2024·高二·四川遂宁·期中）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·高二·北京西城·期中）点关于原点的对称点为，则为（    ）． A． B． C． D． 15．（2024·高二·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 16．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线与关于点对称，则 . 17．（2024·高一·浙江杭州·期末）若直线和直线关于直线对称，那么直线恒过定点 ． 18．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为 19．（2024·高二·安徽合肥·期末）直线关于直线对称的直线方程为 . 20．（2024·高二·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·高三·河南三门峡·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 题型五：两点间的距离 22．（2024·高二·天津河西·阶段练习）已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 23．（2024·高二·江西抚州·阶段练习）点到直线的最大距离为（    ） A．2 B． C． D．1 24．（2024·高二·全国·阶段练习）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型六：点到直线的距离 25．（2024·高一·全国·课后作业）点到直线的距离等于（    ） A． B． C． D． 26．（2024·高二·湖南·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 27．（2024·吉林·三模）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 28．（2024·高二·山西朔州·阶段练习）已知直线过点且与点，等距离，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 题型七：两平行直线间的距离 29．（2024·高二·浙江·期中）直线与之间的距离相等，则直线的方程是 . 30．（2024·高一·重庆沙坪坝·期末）若两条平行直线：与：间的距离为2，则 . 31．（2024·高二·天津和平·阶段练习）若两条平行直线与之间的距离为，则 . 32．（2024·高二·北京朝阳·期中）到直线的距离等于的直线方程为 . 题型八：距离问题的综合灵活运用 33．（2024·高一·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 34．（2024·高二·广东揭阳·期中）函数的最小值是 . 35．（2024·高二·上海浦东新·期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 36．（2024·高二·浙江温州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ． 题型九：线段和与差的最值问题 37．（2024·高二·浙江金华·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 38．（2024·高二·全国·课后作业）已知点，点P在x轴上使最大，求点P的坐标． 39．（2024·高二·江苏·专题练习）已知点，直线． (1)在上求一点，使的值最小； (2)在上求一点，使的值最大． 40．（2024·高一·上海闵行·阶段练习）已知点和点，在直线上有一个点，满足最小，则的最小值是 【重难点集训】 1．（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·江苏南通·开学考试）点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 3．（2024·江西上饶·模拟预测）已知，，则的最小值等于（   ） A． B．6 C． D． 4．（2024·高二·陕西西安·开学考试）直线：与直线：的距离是（    ） A． B． C． D．1 5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 7．（2024·高二·江苏·单元测试）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为(　 ) A． B． C．3 D． 8．（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 9．（多选题）（2024·高二·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2024·高二·陕西·开学考试）已知平行四边形的三条边所在直线的方程分别是，的交点为的交点为，且平行四边形的面积为5，则（    ） A．的坐标为 B．的坐标为 C．平行四边形第四条边所在直线的方程可能为 D．平行四边形第四条边所在直线的方程可能为 12．（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是 . 13．（2024·高二·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 14．（2024·高二·广东广州·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 . 15．（2024·山东烟台·三模）在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“t距离”为，其中表示p，q中的较大者，则点与点之间的“t距离”为 ；若平面内点和点之间的“t距离”为，则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为 . 16．（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 17．（2024·高二·四川内江·期中）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 18．（2024·高二·天津南开·期中）已知直线与直线． (1)当m为何值时，与相交； (2)当m为何值时，与平行，并求与的距离； (3)当m为何值时，与垂直． 19．（2024·高二·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 20．（2024·高二·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【高考真题】 1．（2003 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖北卷））已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（    ） A． B． C． D．4 3．（1990年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））如果直线与直线关于直线对称，那么（    ） A． B． C． D． 4．（2003 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2020年山东省春季高考数学真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（安徽卷））已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（    ） A． B． C． D． 7．（2008 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷 Ⅱ））原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（2006 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））如图，平面中两条直线和相交于点O.对于平面上任意一点M，若p､q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是 . 9．（2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ））若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是 (写出所有正确答案的序号)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2．3 直线的交点坐标与距离公式 目录 【题型归纳】 2 题型一：判断两直线的位置关系 2 题型二：过两条直线交点的直线系方程 4 题型三：交点问题 5 题型四：对称问题 6 题型五：两点间的距离 10 题型六：点到直线的距离 11 题型七：两平行直线间的距离 12 题型八：距离问题的综合灵活运用 13 题型九：线段和与差的最值问题 15 【重难点集训】 18 【高考真题】 32 【题型归纳】 题型一：判断两直线的位置关系 1．（多选题）（2024·高二·浙江温州·期末）设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， 【答案】BD 【解析】对于A，时，若,,且时， 两直线：，：重合，A错误； 对于B，联立 ，可得, 当时，，此时方程组有唯一一组解， 故直线与相交，B正确； 对于C，时，若，则无解， 此时； 若，则有无数多组解， 此时重合，故C错误； 对于D，若，则由可得， 即两直线斜率之积等于，故； 若,则可得，此时满足， 直线：，：， 此时， 故当时，，D正确， 故选： 2．（多选题）（2024·高二·江苏·专题练习）已知集合，集合，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为集合，集合，且， 所以直线与直线平行或交于点， 当两线平行时，； 当两线交于点时，，解得． 综上得a等于或2． 故选：AD． 3．（2024·高二·湖北武汉·期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 【答案】，3，（写出一个即可） 【解析】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或， 此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为. 故答案为：，3，（写出一个即可） 4．（2024·高三·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 【答案】4 【解析】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 题型二：过两条直线交点的直线系方程 5．（2024·高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 6．（2024·高二·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【解析】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 7．（2024·高三·全国·专题练习）经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ． 【答案】x－y＝0. 【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0， 即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0， 因为它与直线x－y＋4＝0平行， 所以3＋λ＋3λ－2＝0， 即λ＝－， 故所求直线为x－y＝0. 故答案为：x－y＝0. 题型三：交点问题 8．（2024·高二·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解方程组，得， 所以所求交点坐标为. 故选：B 9．（2024·高二·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 10．（2024·高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 11．（2024·高二·全国·课后作业）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，此时，不满足题意； 当时，解方程组得， 由题知，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：A 题型四：对称问题 12．（2024·高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【答案】C 【解析】因为两点与关于点对称， 可得，即，解得， 所以. 故选：C. 13．（2024·高二·四川遂宁·期中）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，由题知，点和点的中点为，则 解得：， 所以点的坐标为 故选：B. 14．（2024·高二·北京西城·期中）点关于原点的对称点为，则为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， ． 15．（2024·高二·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为. 故选：D. 16．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线与关于点对称，则 . 【答案】 【解析】在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为. 点在直线上， ，解得， . 故答案为： 17．（2024·高一·浙江杭州·期末）若直线和直线关于直线对称，那么直线恒过定点 ． 【答案】 【解析】根据条件求出直线的方程，从而求得直线恒过定点的坐标直线与直线关于直线对称， 直线的方程为，显然经过定点 故答案为： 18．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为 【答案】 【解析】在直线上任取一点，则关于的对称点在直线上， 所以，解得，即， 将的坐标代入，得：， 所以直线的方程为. 故答案为：. 19．（2024·高二·安徽合肥·期末）直线关于直线对称的直线方程为 . 【答案】 【解析】利用所求直线上的点关于直线的对称点在直线上求解.在所求直线上任取一点，此点关于直线的对称点在直线上， ，即， 故答案为：. 20．（2024·高二·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 21．（2024·高三·河南三门峡·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解析：以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 所以直线的方程为. 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 易得，. 易知直线就是所在的直线. 所以直线的方程为. 设的重心为，则， 所以，即，所以（舍去）或， 所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为： . 故选：A. 题型五：两点间的距离 22．（2024·高二·天津河西·阶段练习）已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【解析】由两点间的距离公式得：，解得. 故选：D 23．（2024·高二·江西抚州·阶段练习）点到直线的最大距离为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【解析】由题意知， 直线即， 所以该直线恒过定点， 则点到直线的最大距离即为点到定点的距离， 即. 故选：C. 24．（2024·高二·全国·阶段练习）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】四边形为菱形，轴，轴，可设， ，， 解得：（舍）或，. 故选：A. 题型六：点到直线的距离 25．（2024·高一·全国·课后作业）点到直线的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线方程化为， 由点到直线的距离公式得． 故选：B. 26．（2024·高二·湖南·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】当位于直线同侧时，只有时，且两平行线之间的距离为时，满足条件，这样的直线有2条； 又， 所以位于直线两侧时，只有当直线恰为直线的中垂线时，满足条件，此时的直线有1条. 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C． 27．（2024·吉林·三模）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【解析】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 28．（2024·高二·山西朔州·阶段练习）已知直线过点且与点，等距离，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】解析：设所求直线的方程为，即， 由已知及点到直线的距离公式可得， 解得或， 即所求直线方程为或. 故选:D. 题型七：两平行直线间的距离 29．（2024·高二·浙江·期中）直线与之间的距离相等，则直线的方程是 . 【答案】 【解析】显然直线平行，所以要求的直线也与平行，设直线的方程为， 则由平行线间的距离公式得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 30．（2024·高一·重庆沙坪坝·期末）若两条平行直线：与：间的距离为2，则 . 【答案】或 【解析】由题意可得：，解得或. 故答案为：或. 31．（2024·高二·天津和平·阶段练习）若两条平行直线与之间的距离为，则 . 【答案】11或 【解析】直线，即， 直线与平行， ，解得， 直线与的距离为， ，解得或 故答案为：11或 32．（2024·高二·北京朝阳·期中）到直线的距离等于的直线方程为 . 【答案】或 【解析】设所求直线方程为， 由 ，得或, 所以所求的直线方程为或， 故答案为：或 题型八：距离问题的综合灵活运用 33．（2024·高一·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以它表示点到点和的距离之差，如图所示： 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 34．（2024·高二·广东揭阳·期中）函数的最小值是 . 【答案】 【解析】函数， 即为点至和的距离之和， 点关于轴对称的点为， 所以, 由图形易得最小值为. 故答案为: . 35．（2024·高二·上海浦东新·期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 【答案】5 【解析】即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离， 分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点， 连接，则， ∴ ， 当且仅当分别为与轴，轴的交点时，等号成立， 故答案为：5. 36．（2024·高二·浙江温州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ． 【答案】 【解析】， 可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差. ， 所以的最大值为. 故答案为： 题型九：线段和与差的最值问题 37．（2024·高二·浙江金华·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【解析】（1）联立，解得， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为； 故所求直线方程为，即 （2）设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 38．（2024·高二·全国·课后作业）已知点，点P在x轴上使最大，求点P的坐标． 【解析】点关于x轴的对称点为,如图所示，若点不在直线上则, 连接并延长交x轴于点P，即为最大值． 直线的方程是， 即. 令，得． 则点P的坐标是. 39．（2024·高二·江苏·专题练习）已知点，直线． (1)在上求一点，使的值最小； (2)在上求一点，使的值最大． 【解析】（1）由题意知，点、在直线的同一侧． 由平面几何的知识可知，先作出点关于直线的对称点， 然后连接，则直线与的交点为所求． 设，则且， 解得，，， 直线的方程为． 由，解得， 即为所求； （2）连接，则与直线的交点即为所求， 易得直线的方程为， 联立，解得， 即为所求． 40．（2024·高一·上海闵行·阶段练习）已知点和点，在直线上有一个点，满足最小，则的最小值是 【答案】5 【解析】由于在上，所以点关于直线的对称点为，所以的最小值为. 故填：. 【重难点集训】 1．（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 2．（2024·高二·江苏南通·开学考试）点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 3．（2024·江西上饶·模拟预测）已知，，则的最小值等于（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【解析】令，，由已知可得点，分别在直线，上， 设线段的中点为，则， 到原点的距离， 依题意点在直线上， 所以点到原点的最小距离即为原点到直线的距离，为， 因此的最小值为，因此的最小值等于. 故选：D. 4．（2024·高二·陕西西安·开学考试）直线：与直线：的距离是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】直线：化为， 又直线：，所以， 所以直线与直线的距离是. 故选：A. 5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B. 6．（2024·高二·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由直线可得， 所以直线与直线平行， 所以的最小值为直线与直线距离， 所以. 故选：C. 7．（2024·高二·江苏·单元测试）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为(　 ) A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】当时，，所以交点，所以； 当时，由解得，所以， 所以到的距离， 若，则，当且仅当时取等号， 若，则，当且仅当时取等号， 所以，所以， 所以，所以的最大值为， 综上可知，点P到直线的距离的最大值为， 故选：D. 8．（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】 如图，作出点关于直线的对称点，连接延长交直线于点,此时点使取得最大值. (原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知,此时, 在直线上另取点,连接,则,) 不妨设点，则有：解得：即, 故 故选：C. 9．（多选题）（2024·高二·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 10．（多选题）（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】令、分别在直线：与：上， 设AB的中点M的坐标为，则有： ，两式相加得：， 所以，则原点到该直线的距离，大于该值的都有可能. 故选：CD 11．（多选题）（2024·高二·陕西·开学考试）已知平行四边形的三条边所在直线的方程分别是，的交点为的交点为，且平行四边形的面积为5，则（    ） A．的坐标为 B．的坐标为 C．平行四边形第四条边所在直线的方程可能为 D．平行四边形第四条边所在直线的方程可能为 【答案】BCD 【解析】由,解得，所以, 由,解得，所以,故A错误，B正确， 由于，故，且之间的距离为， 根据平行四边形的面积为5，所以,故， 设：，则， 在上，所以， 又， 解得或， 所以直线方程可能为，和，CD正确， 故选：BCD 12．（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是 . 【答案】 【解析】联立两条直线的方程， 解得交点的坐标为， ∴， 由，故得的取值范围是. 故答案为：. 13．（2024·高二·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由题可知，表示的是 直线0上一点到定点的距离之差． 如图，设点关于直线对称的点为， 则，解得， 当三点共线时，最大， 即最大，最大值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 14．（2024·高二·广东广州·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 . 【答案】/0.5 【解析】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 设， 因为，所以， 则，则， 设点关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 由对称性可得在直线上，即， 解得， 故直线的方程为， 联立直线与直线， ，解得， 所以，将代入中， . 故答案为： 15．（2024·山东烟台·三模）在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“t距离”为，其中表示p，q中的较大者，则点与点之间的“t距离”为 ；若平面内点和点之间的“t距离”为，则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为 . 【答案】 4 【解析】第一空：点与点之间的“t距离”为 ； 第二空：若平面内点和点之间的“t距离”为， 则， 不妨设，解得或，此时，即， 由对称性可知，当或时，，如图所示：   ，所以A点的轨迹就是正方形的四条线段， 则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为. 故答案为：；4. 16．（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图所示， 设点关于直线的对称点为，则， 解得，即， 所以，等号成立当且仅当点与点重合，其中点为与直线的交点. 故答案为：. 17．（2024·高二·四川内江·期中）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 【解析】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线的方程为，点C的坐标为. （2）由（1）得，点到直线的距离， 所以的面积. 18．（2024·高二·天津南开·期中）已知直线与直线． (1)当m为何值时，与相交； (2)当m为何值时，与平行，并求与的距离； (3)当m为何值时，与垂直． 【解析】（1）由直线与相交，则，解得且. （2）由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离为. （3）由直线与垂直，则，解得或. 19．（2024·高二·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 【解析】以为原点，边所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设，因为，所以． 连接，因为点与点对称，所以． 当时，直线的斜率不存在，此时直线的方程为，点到的距离为．当时，．因为的中点为， 从而直线的方程为， 即．① 又直线的方程为，② 由①②解得，即点的横坐标为， 所以点到距离为. 当时也满足上式． 所以点到距离为. 20．（2024·高二·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【解析】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 【高考真题】 1．（2003 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设为直线关于x轴对称的直线方程上任意一点，则 关于x轴对称的点在直线上， 即有，满足直线方程， 即，     化简得，. 故选：C. 2．（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖北卷））已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【解析】设，且， 则，得，解得：, 代入直线，，得. 故选：D 3．（1990年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））如果直线与直线关于直线对称，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上取一点， 则由题意可得其关于直线的对称点在上， 所以，得， 在上取一点， 则其关于直线的对称点在上， 所以，得， 综上， 故选：A 4．（2003 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得． 解得或．，． 故选：C. 5．（2020年山东省春季高考数学真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 6．（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（安徽卷））已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出直线，l的交点在直线上，在直线上任取一点，求出此点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程.若直线与关于l对称，则直线，l的交点在直线上， 即，解得： 在直线上任取一点关于直线l对称的点为，则点B在直线上， 由A,B两点可知，直线的斜率为，则直线的方程为： 即 故选：C 7．（2008 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷 Ⅱ））原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由点到直线距离可知所求距离. 故选：D 8．（2006 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））如图，平面中两条直线和相交于点O.对于平面上任意一点M，若p､q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是 . 【答案】4 【解析】 作直线，与直线平行，且与直线的距离为1，作直线，与直线平行，且与直线的距离为2， 由图可得，，，，有4个交点，即“距离坐标”是的点个数为4. 故答案为：4. 9．（2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ））若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是 (写出所有正确答案的序号)． 【答案】①⑤ 【解析】因为，所以直线，间的距离． 设直线m与直线，分别相交于点B，A， 则， 过点A作直线l垂直于直线，垂足为C， 则， 则在中，， 所以， 又直线的倾斜角为45°， 所以直线m的倾斜角为或． 故答案为：①⑤． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$