第二十二章 二次函数综合测试题2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数综合测试题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t﹣1 D．y＝x2 2．将y＝x2+4x+1化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，h，k的值分别为（　　） A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣5 D．﹣2，﹣5 3．把二次函数y＝（x﹣3）2+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的二次函数为（　　） A．y＝（x﹣4）2+4 B．y＝（x﹣2）2+4 C．y＝（x﹣2）2+8 D．y＝（x﹣4）2+8 4．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根 5．已知点A（4，y1），B（1，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3从小到大排列（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2 6．函数y＝x2+2x﹣3（﹣2≤x≤2）的最大值和最小值分别是（　　） A．4和﹣3 B．﹣3和﹣4 C．5和﹣4 D．﹣1和﹣4 7．直线y＝ax+b和抛物线y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C．D． 8．一台机器原价为100万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y与x之间的函数关系为（　　） A．y＝100（1﹣x）2 B．y＝100（1﹣x2） C．y＝100﹣x2 D．y＝100x2 9．若关于x的二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则k的取值范围是（　　） A．k＝0 B．k＝﹣1 C．k＞﹣1 D．k≠0且k＝﹣1 10．函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③（c+1）2＞b2；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0，其中正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15共） 11．二次函数y＝3x2+3的最小值是 　 　． 12．抛物线的顶点坐标为P（2，3），且开口向下，若函数值y随自变量x的增大而减小，那么x的取值范围为　 　． 13．已知抛物线经过A（1，0），B（0，﹣3）两点，对称轴是直线x＝﹣1．抛物线对应的函数关系式为 　 　． 14．学校有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝10t﹣t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是　 　 s． 15．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升1米后，水面的宽度为 　 　米． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（9分）已知y＝（m+3）5是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，该函数图象的开口向上； （3）若该函数图象开口向下，当y随x增大而减小时，写出x的取值范围； （4）当m为何值时，该函数图象有最高点？求最高点的坐标． 17．（9分）已知二次函数y＝x2+4x+3． （1）用配方法将二次函数的表达式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象； （3）当x　 　时，y＜3． 18．（9分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0） （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 19．（9分）如图，二次函数的图象与x轴分别交于A、B两点，且A点坐标为（﹣4，0），顶点M关于x轴的对称点是M′． （1）求二次函数的关系式； （2）求四边形AMBM′的面积． 20．（9分）手工课上，小明准备做个形状是菱形的风筝，这个菱形两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积为S，随其中一条对角线的长x的变化而变化． ①求S与x之间的函数关系式（不要求写出取值范围） ②当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大的面积是多少？ 21．（9分）某宾馆有40个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天220元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元，设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）． （1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式； （3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 22．（10分）跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y＝ax2+bx+0.9． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高； （3）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围　 　． 23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B、C． （Ⅰ）求抛物线的解析式； （Ⅱ）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点P（不与点B、C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标． 参考答案 一．选择题（共10小题） 1．解：A、y＝3x﹣1是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、y＝ax2+bx+c当a＝0时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故此选项符合题意； D、y＝x2分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．解：y＝x2+4x+1， y＝x2+4x+4﹣4+1， y＝（x+2）2﹣3， ∴h＝﹣2，k＝﹣3， 故选：B． 3．解：二次函数y＝（x﹣3）2+6的图象向左平移1个单位， 再向下平移2个单位后得到的二次函数为y＝（x﹣3+1）2+6﹣2＝（x﹣2）2+4， 故选：B． 4．解：如图，∵直线y＝3与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝3有两个不同的实数根， 即关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0两个不同的实数根． 故选：C． 5．解：∵二次函数y＝（x﹣2）2﹣1， ∴图象开口向上，对称轴为直线x＝2， ∵点A（4，y1），B（1，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上， ∴点B离直线x＝2近，点C离直线x＝2最远， ∴y3＞y1＞y2， 故选：B． 6．解：∵y＝x2+2x﹣3（﹣2≤x≤2）， ∴y＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为x＝﹣1，x＝﹣1时y有最小值﹣4， ∵﹣2≤x≤2， ∴x＝2时，y＝5是最大值． ∴函数的最大值为5，最小值为﹣4． 故选：C． 7．解：A、由一次函数的图象，得a＞0，二次函数的图象应开口向上，故A错误； B、由一次函数的图象，得a＞0，b＞0，二次函数的图象的对称轴应在y轴的左侧，故B错误； C、由一次函数的图象，得a＞0，b，0，二次函数的图象的对称轴应在y轴的左侧，故C正确； D、由一次函数的图象，得a＞0，b＜0，二次函数的图象的对称轴应在y轴的，右侧，故D错误； 故选：C． 8．解：由题意得，y＝100×（1﹣x）×（1﹣x）＝100（1﹣x）2，即y＝100（1﹣x）2． 故选：A． 9．解：∵y＝kx2+2x﹣1为二次函数， ∴k≠0， ∵二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点， ∴△＝22﹣4k×（﹣1）＝0，解得k＝﹣1， ∴k的值为﹣1． 故选：B． 10．解：①∵函数y＝x2+bx+c与x轴没交点， ∴Δ＝b2﹣4c＜0；故错误； ②∵函数y＝x2+bx+c与y＝x的交点的横坐标为1， ∴交点为：（1，1），（3，3）， ∴b+c+1＝1；故错误； ③∵a＞0，0， ∴b＜0， ∵函数y＝x2+bx+c与y＝x的交点是（1，1）， ∴b+c+1＝1， ∴c＝﹣b＞0， ∴c+1＞﹣b， ∴（c+1）2＞b2，故正确； ④由图象可知：当1＜x＜3时，抛物线在直线的下方， ∴x2+bx+c＜x， ∴x2+（b﹣1）x+c＜0，故正确． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．二次函数y＝3x2+3的最小值是 　3　． 解：∵二次函数y＝3x2+3， ∴二次函数y＝3x2+3有最小值3． 故答案为：3． 12．抛物线的顶点坐标为P（2，3），且开口向下，若函数值y随自变量x的增大而减小，那么x的取值范围为　x＞2　． 解：∵抛物线的顶点坐标为P（2，3），且开口向下，若函数值y随自变量x的增大而减小， ∴x＞2． 故答案为：x＞2． 13．已知抛物线经过A（1，0），B（0，﹣3）两点，对称轴是直线x＝﹣1．抛物线对应的函数关系式为 　y＝x2+2x﹣3　． 解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 依题意得， 解得， ∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3． 故本题答案为：y＝x2+2x﹣3． 14．学校有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝10t﹣t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是　10　 s． 解：当h＝0时，可得10t﹣t2＝0， 解得：t＝0或t＝10， 所以水流从喷出至回落到地面所需要的时间是10s， 故答案为：10． 15．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升1米后，水面的宽度为 　　米． 解：建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线解析式为y＝ax2+c， 把（2，0）和（2，0）代入得， ， 解得：a，c＝2， ∴抛物线解析式为yx2+2， 把y＝1代入得：x＝±， 则水面的宽度是2米． 故答案为：2． 三．解答题（共8小题） 16．已知y＝（m+3）5是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，该函数图象的开口向上； （3）若该函数图象开口向下，当y随x增大而减小时，写出x的取值范围； （4）当m为何值时，该函数图象有最高点？求最高点的坐标． 解：（1）由题意得，m2+4m﹣3＝2，且m+3≠0， ∴m＝﹣5或m＝1． （2）∵二次函数的图象开口向上， ∴m+3＞0． ∴m＞﹣3． 由（1）m＝﹣5或m＝1， ∴m＝1． （3）∵二次函数的图象开口向下， ∴m+3＜0． ∴m＜﹣3． ∴m＝﹣5，此时对称轴x0． 又当y随x增大而减小时， ∴x＞0． （4）若该函数图象有最高点， ∴图象开口向下． ∴m＜﹣3． ∴m＝﹣5． ∴函数为y＝﹣2x2+5． ∴顶点坐标为（0，5）． 17．已知二次函数y＝x2+4x+3． （1）用配方法将二次函数的表达式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象； （3）当x　﹣4＜x＜0　时，y＜3． 解：（1）y＝x2+4x+3 ＝x2+4x+22﹣22+3 ＝（x+2）2﹣1； （2）列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 3 0 ﹣1 0 3 … 如图， （3）当﹣4＜x＜0时，y＜3． 故答案为：﹣4＜x＜0． 18．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0） （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3得：0＝﹣32+3m+3， 解得：m＝2， ∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点坐标为：（1，4）． （2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小， 设直线BC的解析式为：y＝kx+b， ∵点C（0，3），点B（3，0）， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， 当x＝1时，y＝﹣1+3＝2， ∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）． 19．如图，二次函数的图象与x轴分别交于A、B两点，且A点坐标为（﹣4，0），顶点M关于x轴的对称点是M′． （1）求二次函数的关系式； （2）求四边形AMBM′的面积． 解：（1）∵A（﹣4，0）在二次函数的图象上， ∴， 解得c＝﹣12， ∴二次函数的关系式为； （2）∵， ∴顶点M的坐标为， ∵A（﹣4，0），对称轴为直线x＝1， ∴点B的坐标为（6，0）， ∴AB＝6﹣（﹣4）＝6+4＝10， ∴， ∵顶点M关于x轴的对称点是M′， ∴． 20．手工课上，小明准备做个形状是菱形的风筝，这个菱形两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积为S，随其中一条对角线的长x的变化而变化． ①求S与x之间的函数关系式（不要求写出取值范围） ②当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大的面积是多少？ 解：①根据题意可得：一条对角线的长为xcm，则另一对角线长为：（60﹣x）， 则Sx（60﹣x）x2+30x； ②由①得：Sx2+30x（x﹣30）2+450， 故当x是30cm时，菱形风筝的面积S最大，最大的面积是450cm2． 21．某宾馆有40个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天220元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元，设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）． （1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式； （3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 解：（1）依题，得， ∵每个房间每天的房价不得高于340元， ∴220≤220+x≤340 ∴0≤x≤120， 故y与x的函数关系式为； （2）设宾馆一天的利润为w元， ∴， ∴w与x的函数关系式为：； （3）∵， ∵，对称轴为直线x＝100， ∴x＝100时，w取得最大值，此时w＝9000，此时y＝40﹣10＝30， 答：一天订住30个房时，宾馆的利润最大，最大利润是9000元． 22．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y＝ax2+bx+0.9． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高； （3）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围　1＜t＜5　． 解：（1）由题意得点E（1，1.4），B（6，0.9），代入y＝ax2+bx+0.9得， 解得， ∴所求的抛物线的解析式是 y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9； （2）把x＝3代入y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9得 y＝﹣0.1×32+0.6×3+0.9＝1.8 ∴小华的身高是1.8米； （3）当y＝1.4时，﹣0.1x2+0.6x+0.9＝1.4， 解得x1＝1，x2＝5， ∴1＜t＜5． 23．如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B、C． （Ⅰ）求抛物线的解析式； （Ⅱ）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点P（不与点B、C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标． 解：（1）当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，即点C（0，﹣5），同理点B（5，0）， 将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+6x﹣5； （2）令y＝﹣x2+6x﹣5＝0，解得：x＝1或5，即点A（1，0）， ∵OB＝OC＝5，∴∠OCB＝∠OBC＝45°， AMAB＝2， 以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， 则PQ＝AM＝2，PQ⊥BC， 如图，作PD⊥x轴交直线BC于D，则∠PDQ＝45°， ∴PDPQ＝4， 设点P（x，﹣x2+6x﹣5），则点D（x，x﹣5）， ①当点P在直线BC上方时， PD＝﹣x2+6x﹣5﹣x+5＝4， 解得：x＝1或4（舍去1）； ②点P在直线BC下方时， PD＝﹣x2+6x﹣5﹣x+5＝﹣4， 解得：x， 故点P的横坐标为4或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$