精品解析：华东师大版2023-2024学年八年级数学上册期末综合能力测评卷

期末综合能力测评卷 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　) A. B. 1, C. 6,7,8 D. 2,3,4 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列命题属于假命题的是（　　） A. 平方根等于它本身的数是0和1 B. 内错角相等，两直线平行 C. 三角形的内角和为 D. 的立方根是3 4. 如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ） A B. C. D. 5. 若，则值为（ ） A. B. 8 C. D. 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝25，则CD的长为（ ） A. 2.5 B. 4 C. 5 D. 10 7. 2022年2月28日，国家统计局发布《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》（简称《公报》）．如图所示是《公报》中显示的“2017－2021年社会消费品零售总额及其增长速度”的统计图，根据统计图得出如下结论，其中正确的是（ ） A 2017－2021年期间社会消费品零售总额逐年增长 B. 2017－2021年期间社会消费品零售总额先减后增 C. 2017－2021年期间2017年社会消费品零售总额比上年增长率最低 D. 2017－2021年期间2021年社会消费品零售总额比上年增长率最高 8. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 用4张长为、宽为的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足（ ） A. B. C. D. 10. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，（如8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，即8，16，24均为“和谐数”），若将这一列和谐数8，16，24……由小到大依次记为a1，a2，a3，……，an，则a1+a2+a3+…+an＝（　　） A 4n2+4 B. 4n+4 C. 4n2+4n D. 4n2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设_____． 12. 已知的算术平方根为的立方根为，那么的值为______． 13. 某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为5：4：3，如图所示的扇形图表示上述分布情况，则“来自甲地区的学生”对应扇形的圆心角的度数为__________． 14. 生活中我们经常用到密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式可以因式分解为，当时，，此时可以得到的数字密码为等．根据上述方法，当时，对于多项式分解因式后可以形成的数字密码是____（写出一个即可）． 15. 如图，是边长为4的等边三角形，，且，以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M．交于点N，连接，则的周长是 _____． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 化简求值：，其中 ． 18. 如图，是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC至点E，使． （1）利用尺规作的平分线，交于点M．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）求的度数． 19. 已知为三边长，且满足，试判断的形状． 小明的解题过程如下： 因为，① 所以，② 所以，③ 所以是直角三角形．④ 请根据上述解题过程回答下列问题： （1）小明的解题过程中，从第______(填序号)步开始出现错误； （2）请你将正确的解答过程写下来． 20. 某市建设森林城市需要大量的树苗，某生态示范园负责对甲、乙、丙、丁四个品种的树苗共500株进行树苗成活率试验，从中选择成活率高的品种进行推广．通过实验得知：丙种树苗的成活率为89.6%，把实验数据绘制成下面两幅统计图(部分信息未给出)． (1)实验所用的乙种树苗的数量是________株． (2)求出丙种树苗的成活数，并把图2补充完整． (3)你认为应选哪种树苗进行推广？ (4)请通过计算说明理由． 21. 如图，在中，cm，cm，P，Q是边上的两个动点．其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒1cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm两点同时开始运动，设运动时间为ts． （1）①斜边上的高为　　cm；  ②当时，的长为　　cm． （2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形? 22. 著名的“赵爽弦图”如图1所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则． （1）图2为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理． （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米． （3）在第（2）问中，若千米，千米，千米，求的长． 23. 数学课上，王老师出示了如下框中的题目． 小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况•探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED=EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论 ； （2）特例启发，解答题目 王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是： ．理由如下： 如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，(请你完成以下解答过程) （3）拓展结论，设计新题 在△ABC中，AB=BC=AC=1；点E在AB的延长线上，AE=2；点D在CB的延长线上，ED=EC，如图3，请直接写CD的长 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末综合能力测评卷 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　) A. B. 1, C. 6,7,8 D. 2,3,4 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可. 【详解】解：A．（）2+（）2≠（）2，故该选项错误，不符合题意； B．12+（）2=（）2,故该选项正确，符合题意； C．62+72≠82，故该选项错误，不符合题意； D．22+32≠42，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会判断是否为直角三角形是解答关键. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式有意义的条件，二次根式的减法，立方根等知识．根据算术平方根，二次根式有意义的条件，二次根式的减法，立方根对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A 中，错误，故不符合要求； B中无意义，错误，故不符合要求； C中，错误，故不符合要； D中，正确，故符合要求； 故选：D． 3. 下列命题属于假命题的是（　　） A. 平方根等于它本身的数是0和1 B. 内错角相等，两直线平行 C. 三角形的内角和为 D. 立方根是3 【答案】A 【解析】 【分析】分别对各选项进行判断，根据错误命题是假命题作答即可． 【详解】解：由题意知，平方根等于它本身的数是0，A错误，属于假命题，故符合要求； 内错角相等，两直线平行，B正确，属于真命题，故不符合要求； 三角形的内角和为，C正确，属于真命题，故不符合要求； 的立方根是3，D正确，属于真命题，故不符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了假命题，平方根，平行线的判定，三角形内角和定理，立方根等知识．熟练掌握假命题，平方根，平行线的判定，三角形内角和定理，立方根是解题的关键． 4. 如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即小亮画图的依据是， 故选：B． 5. 若，则的值为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式展开，再通过比较系数建立方程组，解方程组可得、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴可得：， 解得：， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用、有理数的乘方，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键． 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝25，则CD的长为（ ） A. 2.5 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】作交AB于点E，首先根据△ABD的面积和AB的长度求出高DE的长度，然后根据角平分线的性质可得，即可求出DC的长度． 【详解】如图所示，作交AB于点E， ∵， ∴，解得：， ∵AD平分∠BAC，，， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形面积公式，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式，角平分线的性质定理．角平分线的性质定理：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等． 7. 2022年2月28日，国家统计局发布《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》（简称《公报》）．如图所示是《公报》中显示的“2017－2021年社会消费品零售总额及其增长速度”的统计图，根据统计图得出如下结论，其中正确的是（ ） A. 2017－2021年期间社会消费品零售总额逐年增长 B. 2017－2021年期间社会消费品零售总额先减后增 C. 2017－2021年期间2017年社会消费品零售总额比上年增长率最低 D. 2017－2021年期间2021年社会消费品零售总额比上年增长率最高 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计图所提供的的信息逐项分析即可． 【详解】解：A． ∵，∴2020年的零售总额比2019年的零售总额少，故2017－2021年期间社会消费品零售总额逐年增长错误，不符合题意； B．由折线统计图可知，2017－2021年期间社会消费品零售总额先增再减又增，不符合题意； C．2017－2021年期间2017年社会消费品零售总额与上年增长率无法比较，不符合题意； D． ∵，∴2017－2021年期间2021年社会消费品零售总额比上年增长率最高正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查条形统计图、折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图反映数据的具体数量，折线统计图则反映数据的增减变化情况． 8. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、列一元一次方程，熟练掌握勾股定理是解题关键．利用勾股定理列出方程即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，尺，尺，尺，， 则在中，，即， 故选：D． 9. 用4张长为、宽为的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用a、b的代数式分别表示，，再根据，进而得到答案． 【详解】解：根据题意，空白部分的面积为： ， 又∵正方形面积为： ， ∴阴影部分面积为：， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、三角形的面积公式，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 10. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，（如8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，即8，16，24均为“和谐数”），若将这一列和谐数8，16，24……由小到大依次记为a1，a2，a3，……，an，则a1+a2+a3+…+an＝（　　） A. 4n2+4 B. 4n+4 C. 4n2+4n D. 4n2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设两个连续奇数为2n﹣1，2n+1（n为自然数），则“和谐数”＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，据此解答即可． 【详解】解：a1+a2+a3+…+an＝32﹣12+52﹣32+72﹣52+…+（2n﹣1）2﹣（2n﹣1）2+（2n+1）2 ＝4n2+4n． 故选：C． 【点睛】本题考查平方差公式：a2-b2=（a-b）（a-b），同时也考查对代数式的变形能力． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设_____． 【答案】a≤b 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可． 【详解】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．” 第一步应假设a≤b， 故答案为：a≤b． 【点睛】本题主要考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题的关键． 12. 已知的算术平方根为的立方根为，那么的值为______． 【答案】17 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义得出x、y的值，代入x+y即可 【详解】解：∵的算术平方根为3， ∴x=9 ∵y的立方根为2 ∴y=8 ∴x+y=17 故答案：17 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义，熟练掌握相关的概念是解题的关键 13. 某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为5：4：3，如图所示的扇形图表示上述分布情况，则“来自甲地区的学生”对应扇形的圆心角的度数为__________． 【答案】150º 【解析】 【分析】用甲地区所占百分比乘以360°即可求得答案． 【详解】解：“来自甲地区的学生”对应扇形的圆心角的度数为360°×=150°, 故答案为：150°． 【点睛】本题考查扇形统计图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 14. 生活中我们经常用到密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式可以因式分解为，当时，，此时可以得到的数字密码为等．根据上述方法，当时，对于多项式分解因式后可以形成的数字密码是____（写出一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的实际应用，根据即可求解. 【详解】解：∵， ∴当时， 形成的密码可以是等． 故答案为：（答案不唯一） 15. 如图，是边长为4的等边三角形，，且，以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M．交于点N，连接，则的周长是 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的判定及性质，先作辅助线，两次证得三角形全等可得结果，作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰三角形，且， ∴， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， 延长至F，使，连接，如图所示： ， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴（SAS） ∴， ∴的周长是： ． 故答案为：8． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】根据实数的混合运算和整式的混合运算进行计算. 详解】解：（1）原式= = =-28； （2）原式=-4xy+2y-2x+4xy =. 故答案为：；. 【点睛】本题考查了实数的运算和整式的运算，根据运算法则计算，注意不要弄错运算顺序. 17. 化简求值：，其中 ． 【答案】x-y，原式＝ 【解析】 【分析】原式中括号里利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，再利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， ＝， ＝； ， 且， 解得：， 则原式＝． 【点睛】此题考查了整式的混合运算—化简求值、非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 如图，是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC至点E，使． （1）利用尺规作的平分线，交于点M．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据作已知角的平分线的方法进行求作即可； （2）根据等腰三角形三线合一及等边三角形的性质求解即可； 【小问1详解】 如解图． 【小问2详解】 ∵是等边三角形，是的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，基本作图和等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图和等腰三角形三线合一是解题的关键． 19. 已知为的三边长，且满足，试判断的形状． 小明的解题过程如下： 因为，① 所以，② 所以，③ 所以是直角三角形．④ 请根据上述解题过程回答下列问题： （1）小明的解题过程中，从第______(填序号)步开始出现错误； （2）请你将正确的解答过程写下来． 【答案】（1） ③；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由因式分解的方法，即可得到答案 （2）根据因式分解的方法，进行计算，即可得到答案. 【详解】解：（1）根据题意可知， ∵由， ∴通过移项得，故③错误； 故答案为：③. （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形. 【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 20. 某市建设森林城市需要大量的树苗，某生态示范园负责对甲、乙、丙、丁四个品种的树苗共500株进行树苗成活率试验，从中选择成活率高的品种进行推广．通过实验得知：丙种树苗的成活率为89.6%，把实验数据绘制成下面两幅统计图(部分信息未给出)． (1)实验所用的乙种树苗的数量是________株． (2)求出丙种树苗的成活数，并把图2补充完整． (3)你认为应选哪种树苗进行推广？ (4)请通过计算说明理由． 【答案】（1）100；（2）丙树苗成活112株，补图见解析；（3）应选择丁种品种进行推广；（4）丁的成活率最高，为93.6%． 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图可得乙种树苗所占的百分比，再用总数×乙种树苗所占的百分比，即可计算其株数； （2）根据扇形统计图求得丙种树苗的株数，再根据其成活率是89.6%，进行计算其成活数，再进一步补全条形统计图； （3）应选择丁种品种进行推广； （4）通过计算每一种的成活率，进行比较其大小即可． 【详解】解：(1)500×(1－25%－25%－30%)＝100(株)． 故答案为100． (2)500×25%×89.6%＝112(株)， 补全统计图如图： (3)应选择丁种品种进行推广． (4)甲种树苗成活率为×100%＝90%， 乙种果树苗成活率为×100%＝85%， 丁种果树苗成活率为×100%＝93.6%， 因为93.6%＞90%＞89.6%＞85%， 所以应选择丁种品种进行推广，它的成活率最高，为93.6%． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图，在中，cm，cm，P，Q是边上的两个动点．其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒1cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm两点同时开始运动，设运动时间为ts． （1）①斜边上的高为　　cm；  ②当时，的长为　　cm． （2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形? 【答案】（1）①；② （2）s 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的定义等知识点，注意计算的准确性即可． （1）①求出即可求解；②当时，cm，cm．求出，根据即可求解； （2）由题意可知cm，cm．求出，根据即可求解； 【小问1详解】 解：①在中，由勾股定理可得：（cm）， ∴斜边上的高为（cm）， ②当时，cm，cm． ∴（cm）， 在中，由勾股定理可得（cm）， 故答案为：①；② 【小问2详解】 解：由题意可知cm，cm． ∴ 当为等腰三角形时，有，即， 解得t=， 22. 著名的“赵爽弦图”如图1所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则． （1）图2为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理． （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米． （3）在第（2）问中，若千米，千米，千米，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）新路比原路短千米 （3）的长为千米 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出列出方程求解即可得到结果． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴，即； 【小问2详解】 解：设千米，则千米． 在中，，即， 解得：， 即千米，（千米）． ∴新路比原路短千米． 【小问3详解】 解：设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得：， ∴的长为千米． 23. 数学课上，王老师出示了如下框中的题目． 小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况•探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED=EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论 ； （2）特例启发，解答题目 王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是： ．理由如下： 如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，(请你完成以下解答过程) （3）拓展结论，设计新题 在△ABC中，AB=BC=AC=1；点E在AB的延长线上，AE=2；点D在CB的延长线上，ED=EC，如图3，请直接写CD的长 ． 【答案】（1）；（2），见详解；（3）3. 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可知BE=AE，利用角的度数证明，可得，等量代换即可； （2）过点E作EF∥BC交AC于点F，利用AAS证即可得结论； （3）作EF∥BC交AC的延长线于点F，利用等边三角形及平行线的性质易证，可得BD长，CD长可知. 【详解】解：（1）是等边三角形 点E为AB的中点 是的角平分线 （2） 如图，过点E作EF∥BC交AC于点F 是等边三角形， 又 又 在和中 （3）作EF∥BC交AC的延长线于点F 是等边三角形 ，且AE=AF=EF 【点睛】本题综合考查了等边及等腰三角形的性质及判定，同时涉及全等三角形的证明，添加辅助线，综合利用等腰及等边三角形的性质证全等是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$