2024年上海交通大学附属中学中考数学二模试卷

2024年上海交大附中中考数学二模试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面的计算正确的是(    ) A. B. C. D. 2.若关于x的一元一次不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.下列四个图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4.下列函数中，其图象一定不经过第二象限的是(    ) A. B. C. D. 5.某单位准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程x千米计算，甲公司每月收取的租赁费为元，乙公司每月收取的租赁费为元，若、与x之间的函数关系如右图所示，其中对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断中不一定正确的是(    ) A. 当月用车路程为2000千米时，两家公司租赁费相同 B. 当月用车路程为2500千米时，租乙公司的车比较合算 C. 除去月固定租赁费，甲公司每公里收取的费用比乙公司多 D. 乙公司的月固定租赁费比甲公司多200元 6.如图，已知中，，、E分别是边BC、AB上的点，，且如果经过点A，且与外切，那么与直线AC的位置关系是(    ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.因式分解：______. 8.若，，那么代数式的值为______. 9.函数中，自变量x的取值范围是______. 10.若，则x ______. 11.某大型商场为了吸引顾客，规定凡在本商场一次性消费100元的顾客可以参加一次摇奖活动，摇奖规则如下：一个不透明的纸箱里装有1个红球、2个黄球、5个绿球、12个白球，所有球除颜色外完全相同，充分掘匀后，从中随机取出一球，若取出的球分别是红、黄、绿球，顾客将分别获得50元、25元、20元现金，若取出白球则没有奖．若某位顾客有机会参加摇奖活动，则他每参与一次的平均收益为______元． 12.已知直线与的交点为，则这个方程组的解为______. 13.圆内接正三角形的中心角的度数为______. 14.如图，中，过重心G的直线平行于BC，且交边AB于点D，交边AC于点E，如果设，，用，表示，那么______. 15.已知反比例函数的图象在二、四象限，则k可取______符合条件一个即可 16.如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在双曲线上，若点B的横坐标为2，则直线BE的函数解析式为______. 17.已知，是一元二次方程的两实数根，且满足，实数m的值为______. 18.如图，点M、N分别是矩形ABCD的对边AD、BC的中点，且厘米，厘米，点P是线段BN上的一个动点，且不与端点B、N重合，把四边形ABPM沿直线MP折叠，点A、B落在、处，当是等腰三角形时，线段BP的长为______厘米． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 19.计算： 四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题8分 解方程组： 21.本小题8分 某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆. 解决问题： 以城镇A为出发点，设计了两种连接方案： 装①如图1，为BC中点； ②如图2，为三边的垂直平分线的交点 请通过计算说明要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？ 尺规作图： 请在备用图中用尺规作图画出中你所选择的方案的图形保留作图痕迹，不写作法 22.本小题8分 今年2月13日，21世纪以来第20个指导“三农”工作的中央一号文件《中共中央国务院关于做好2023年全面推进乡村振兴重点工作的意见》发布，体现了国家对“三农”的重视.实际上在古代，智慧的劳动人民有很多发明创造.如图即为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，如图2，当AP与相切时，点B恰好落在上.请就图2的情形解答下列问题： 若，求的度数. 若线段AO与交于点C，，，求的半径. 若的半径为6，，求BP的长. 23.本小题8分 已知：如图，在中，，AG是BC边上的高为线段CG上的点，以AG、GH为邻边作矩形AGHD，联结BD交AG于点E，联结AC交DH于点 如果，求证：四边形AGHD为正方形； 联结EF，如果，求证：四边形AEFD为矩形. 24.本小题8分 如图，已知抛物线与两坐标轴分别交于点，，P为抛物线上第一象限内的一个动点，点P关于直线AB的对称点为 求a，c的值和抛物线对称轴； 当点M在坐标轴上时，求此时点P的坐标； 是否存在点M在抛物线上的情况？如果存在，求此时点M的坐标；如果不存在，说明理由. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：A、，原式计算错误，故选项不符合题意； B、，原式计算错误，故选项不符合题意； C、，原式计算错误，故选项不符合题意； D、，原式计算正确，故选项符合题意． 故选： 根据完全平方公式、合并同类项的法则、同底数幂乘法以及幂的乘方的法则计算即可判断． 本题考查了完全平方公式、合并同类项的法则、同底数幂乘法以及幂的乘方的法则，解题的关键是熟练掌握相关的公式和法则． 2.【答案】C  【解析】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为： ， 不等式组恰有两个整数解， ， 解得：， 故选： 按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：原图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.原图是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意； C.原图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选： 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 4.【答案】A  【解析】解：A、开口向下，对称轴是直线，且函数图象过点， 则函数图象过一、三、四象限，故本选项正确； B、的系数， 函数图象过二、四象限，故本选项错误； C、在中，，， 则函数过一、二、三象限，故本选项错误； D、中，， 函数图象过二、四象限，故本选项错误； 故选： 分别根据正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质进行解答． 本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的图象与性质、一次函数的性质，关键是根据系数的符号判断图象的位置． 5.【答案】D  【解析】解：A、交点为，那么当月用车路程为2000km，两家汽车租赁公司租赁费用相同，说法正确，不符合题意； B、由图象可得超过2000km时，相同路程，乙公司收费便宜，说法正确，不符合题意； C、由图象易得乙的租赁费较高，当行驶2000千米时，总收费相同，那么可得甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多，说法正确，不符合题意； D、甲乙固定费用是函数与y轴交点，图中无法确定具体数值，故不能确定乙比甲多多少，说法错误，故本选项符合题意， 故选： 观察函数图象可知，函数的横坐标表示路程，纵坐标表示收费，根据图象上特殊点的意义即可求出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，解决本题的关键是理解两个函数图象交点的意义． 6.【答案】B  【解析】解：设，，则， ， ，， ， ，， ， 如图，与DE交于点H，则， 在中，由可得， ， ， ，CD为半径， 与直线AC相切． 故选： 设，，则，由，且可得EA及DC的长，作与DE交于点H可得 本题考查与圆有关的位置关系，解题关键是掌握解直角三角形的方法，掌握圆与直线位置关系的判断． 7.【答案】  【解析】解：原式 ， 故答案为： 原式提取x，再利用平方差公式分解即可． 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8.【答案】  【解析】解：，， ，即， ， ， ，， ， 原式 ， 故答案为： 根据，，可得，，，再将其代入原式计算即可． 本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 9.【答案】且  【解析】解：由题意得，且， 解得且 故答案为：且 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； 当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； 当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 10.【答案】  【解析】解：， ， ，即 故答案为： 先判断出的符号，再把x的系数化为1即可． 本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 11.【答案】10  【解析】解：元， 答：他每参与一次的平均收益为10元． 故答案为： 求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以加权平均数的方法求得． 本题考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数． 12.【答案】  【解析】解：把代入得， 所以方程组的解为 故答案为： 先确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 13.【答案】  【解析】解：如图， 是的内接正三角形， ， ， 即圆内接正三角形的中心角的度数为 故答案为： 根据正三角形的性质以及圆周角定理即可得出答案． 本题考查正多边形和圆，掌握正三角形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 14.【答案】  【解析】解：连接AG，延长AG交BC于 是的重心，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 连接AG，延长AG交BC于首先证明，再利用三角形法则求出即可解决问题． 本题考查三角形的重心，平行线分线段乘比例，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15.【答案】的任一实数  【解析】解：反比例函数的图象在二、四象限， ， 解得，； 故答案为：的任一实数． 根据反比例函数图象的性质知，通过解该不等式求得k的取值范围即可． 本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限；，反比例函数图象在第二、四象限内． 16.【答案】  【解析】解：设正方形ADEF的边长为a，由点B的横坐标为2， 得到正方形OABC的边长为2，即B坐标为， 则点E的坐标为，又点B和E在同一个双曲线上， ，即，解得：或舍去， 点E坐标为， 设直线BE的函数解析式为，将点E和B的坐标代入得： ，解得， 直线BE的解析式为 故答案为： 由点B的横坐标为2，根据图形得到正方形OABC的边长和点B的坐标，设出正方形ADEF的边长为a，由点B和E在同一个双曲线上，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而得到点E的坐标，设出直线BE的解析式为，把点B和E的坐标代入即可求出k和b的值，确定出直线BE的解析式． 此题考查了正方形及反比例函数的性质，以及会利用待定系数法求直线的解析式．解题的思路是设出正方形ADEF的边长，表示出点E的坐标，且由正方形OABC的边长求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线BE的解析式． 17.【答案】1  【解析】解：，是一元二次方程的两实数根， ，， ， ， 即， 解得或， 一元二次方程有两实数根， ， 即， 解得， 故不合题意，舍去， ， 故答案为： 利用根与系数的关系可用m表示出和的值，代入已知等式，可求得m的值，再由根的判别式可求得m的取值范围，进行取舍即可． 本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，利用根与系数的关系用m表示出题目中所给等式是解题的关键． 18.【答案】或  【解析】解：、N分别是矩形ABCD的对边AD、BC的中点，把四边形ABPM沿直线MP折叠，点A、B落在、处， 由题意可知，厘米，厘米， ①当厘米时，， 厘米， 四边形MNCD内不可能存在点使，故舍弃； ②当厘米时，则为等边三角形， ， ， 连接BM，过P作于点Q， ， ，， ， 设厘米，则厘米， ，即， ， 厘米； ③当时，连接， ， 点在NC的垂直平分銭上， ， ， 为等边三角形， ， ，， 由折叠得，， ， 厘米， 厘米． 綜上所述，BP的长为厘米或厘米． 故答案为：或 由题意可知，厘米，厘米，分三种情况：①当厘米时；②当厘米时；③当时，分别求解即可． 本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练运用折叠的性质解决问题是本题的关键． 19.【答案】解：原式   【解析】原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用指数幂法则变形，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项分母有理化，计算即可得到结果． 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20.【答案】解：方程组整理得， ②代入①得：，即， 解得：或， 将代入②得：， 解得：或， 即或； 将代入②得：， 解得：， 即； 综上，方程组的解为：或或  【解析】整理方程组，再利用代入消元法求解方程即可． 本题考查了解二元二次方程组，先熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21.【答案】解：设等边三角形的边长为a， 如图1所示，为等边三角形，， 为BC的中点，即， 在中，根据勾股定理得：， 则铺设的通讯电缆长为； 如图2所示，为等边三角形，且O为三角形三条高的交点， ，则，， 故， 解得：， 则， 则铺设的通讯电缆长为， ， 则方案②铺设方案好； 如图，分别作CB、AB的中垂线，交点即为点   【解析】如图1所示，在中，根据勾股定理得：，则铺设的通讯电缆长为；如图2所示同理可得：铺设的通讯电缆长为，即可求解； 如图，分别作CB、AB的中垂线，交点即为点O即可． 此题考查了作图-应用与设计作图，等边三角形的性质以及勾股定理，是一道方案型试题，分别表示出两个图形通讯电缆的长度是解本题的关键． 22.【答案】解：连接PO， 与相切， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：，而， ； 设⨀O的半径为r，，， 则， 在中，， 即， 解得：，即的半径为 如图，连接DP，过D作于Q， 由得：，而的半径为6，， ， ，设，则， ， ， ，，， ， 为直径， ，   【解析】连接OP，根据切线的性质得到，证明，根据圆周角定理得到，等量代换求得答案； 设的半径为r，根据勾股定理列出关于r的一元二次方程，解方程得到答案． 如图，连接DP，过D作于Q，由得：，而的半径为6，，可得，则，设，则，可得，，，，再利用勾股定理可得答案． 本题考查的是圆周角定理的应用，切线的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23.【答案】证明：四边形AGHD是矩形， ，， 是BC边上的高， ， ， ， ， ， ，， ≌ ， 四边形AGHD是矩形 四边形AGHD是正方形； 证明：， ， ， ， ， ， ， ，， ≌， ， ， 四边形AEFD是平行四边形， ， 四边形AEFD是矩形．  【解析】通过矩形的性质得出，，证明≌，得出，再结合正方形的判定，即可作答． 经过角的等量代换得出，结合，得出，证明≌，得出四边形AEFD是平行四边形，结合，即可作答． 本题考查了正方形的判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24.【答案】解：抛物线过，两点， ， 解得 ，对称轴是直线 答：a的值是，c的值是3，对称轴是直线 ，， 是等腰直角三角形， ①若点M在x轴上，则， ，即轴， 显然不成立，所以点M不可能在x轴上． ②当点M在y轴上时，，则， 点P与点A的纵坐标相同，都为3， 解方程， 得，， 点P为 综上所述，当点M在坐标轴上时，点P的坐标为 答：当点M在坐标轴上时，点P的坐标为 存在点M在抛物线上的情况． 如图，作轴，交直线AB于点C，连接PC，PM， 轴， ， ， 即，是等腰直角三角形， 设直线AB的解析式为，把，代入， 得， 解得， 直线AB为 设点M的横坐标为m，， 则点C的坐标为， 点M和点C的纵坐标相同，点P和点C的横坐标相同， ，， 把代入抛物线解析式， 得， 化简得， 把代入抛物线解析式， 得， 化简得， ， 解得或不合题意，舍去 ， 点M的坐标为 答：点M的坐标为  【解析】利用待定系数法求解函数解析式，再进行配方即可求解． 分情况讨论，点M在x轴上和点M在y轴上时两种情况求解． 作辅助线，待定系数法求出AB的解析式，再设出点M、点C、点P，根据题意列出相关等式求解即可． 本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$