仿真模拟卷 9（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·仿真模拟卷

仿真模拟卷9 一、单选题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝，则A∩B＝(　　) A．{0,1} B．{－1,0,1} C．{－2，－1,0,1} D．{－2，－1,0,1,2} 【答案】B 【解析】B＝{x|－2＜x＜2}，A∩B＝{－1,0,1}．故选B. 2．函数f(x)＝ln(x＋1)＋的定义域为(　　) A．(－1,4) B．(－1,0)∪(0,4] C．(－1,0)∪(0,4) D．(－1,4] 【答案】B 【解析】要使函数有意义，则有解得－1＜x≤4且x≠0.所以函数f(x)的定义域为(－1,0)∪(0,4]．故选B. 3．总数为10万张的彩票，中奖率是，则下列说法中正确的是(　　) A．买1张一定不中奖 B．买1000张一定中奖 C．买9100张一定中奖 D．买9100张不一定中奖 【答案】D 【解析】由题意知共有100000×＝100张彩票能中奖； 对于A，若买中100张彩票中的一张，则也能中奖，A错误； 对于B，若买的1000张彩票均为无法中奖的彩票，则不中奖，B错误； 对于C、D，若买的9100张彩票均为无法中奖的彩票，则不中奖，C错误，D正确． 故选D. 4．若α为钝角，sinα＝，则cosα＝(　　) A．－ B． C． D．－ 【答案】D 【解析】α为钝角，sinα＝， ∴cosα＝－＝－＝－.故选D. 5．已知向量a＝(k－3,2k＋2)，b＝(4,0)，若a⊥b，则k＝(　　) A．1 B．3 C．－3 D． 【答案】B 【解析】因为向量a＝(k－3,2k＋2)，b＝(4,0)，且a⊥b， 所以(k－3)×4＝0，解得k＝3.故选B. 6．已知某5个数据的平均数为5，方差为3，现加入3,7两个数，此时这7个数据的平均数为，方差为s2，则(　　) A．＝5，s2＝3 B．＝5，s2<3 C．＝5，s2>3 D．<5，s2>3 【答案】C 【解析】由题意可得 ＝＝5，s2＝[5×3＋(3－5)2＋(7－5)2]＝＞3.故选C. 7．不等式－2x2＋x＋15≤0的解集为(　　) A． B．或x≥3} C． D．{x|x≤－3或 【答案】B 【解析】依题意可得2x2－x－15≥0，故(2x＋5)(x－3)≥0，解得x≤－或x≥3， 所以不等式的解集为.故选B. 8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，a＝5，c＝4，则b＝(　　) A．2 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题意，在△ABC中，B＝60°，a＝5，c＝4， 根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝25＋16－2×5×4×＝21，所以b＝.故选C. 9．已知函数f(x)＝若∀x∈R，f(mx2)＋9f(4－3x)≤0恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．[21，＋∞) B．[13，＋∞) C． D．[15，＋∞) 【答案】C 【解析】因为f(x)＝所以函数图象如下所示． 由函数图象可知函数为定义域R上单调递减的奇函数，当x≥0时，f(x)＝－x2，则f(3x)＝－(3x)2＝－9x＝9f(x)，当x＜0时f(x)＝x2，则 f(3)＝(3x)2＝9x2＝9f(x)，所以f(3x)＝9f(x)，因为∀x∈R， f(mx2)＋9f(4－3x)≤0恒成立，即∀x∈R，f(mx2)≤－9f(3x－4)＝f(9x－12)恒成立，所以mx2≥9x2－12恒成立，即mx2－9x＋12≥0恒成立，当m＝0，显然不成立，当m≠0时，则解得m≥，即m∈.故选C. 10．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，有以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥B1C；③AC1⊥平面CB1D1．其中正确结论的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】对于①，∵BB1∥DD1，BB1＝DD1，四边形BB1D1D为平行四边形，∴BD∥B1D1， 又BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1，①正确； 对于②、③，连接A1C1，C1D， ∵四边形CDD1C1为正方形，∴CD1⊥C1D， ∵AD⊥平面CDD1C1，CD⊂平面CDD1C1， ∴AD⊥CD1， 又C1D∩AD＝D，C1D，AD⊂平面ADC1， ∴CD1⊥平面ADC1， AC1⊂平面ADC1，∴CD1⊥AC1， 同理可得B1D1⊥平面AA1C1，又AC1⊂平面AA1C1， ∵B1D1⊥AC1， ∵CD1∩B1D1＝D1，CD1，B1D1⊂平面CB1D1， ∴AC1⊥平面CB1D1， 又B1C⊂平面CB1D1，∴AC1⊥B1C，②正确，③正确．故选D. 11．已知α，β∈R，“tanα＝tanβ”是“α＝β＋kπ，k∈Z”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当tanα＝tanβ时，由于函数y＝tanx的周期为π，所以可得α＝β＋kπ，k∈Z，即充分性满足；当α＝，β＝时，其正切值不存在，所以α＝β＋kπ，k∈Z推不出tanα＝tanβ，不满足必要性．所以“tanα＝tanβ”是“α＝β＋kπ，k∈Z”的充分不必要条件．故选A. 12．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(3x－2)为偶函数，f(2x－1)为奇函数，则下列说法一定正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 B．函数f(x)的周期为2 C．函数f(x)关于点(1,0)中心对称 D．f(2023)＝0 【答案】D 【解析】因为f(3x－2)为偶函数， 所以f(3x－2)＝f(－3x－2)， 所以f(x－2)＝f(－x－2)，f(x)＝f(－x－4)， 所以函数f(x)关于直线x＝－2对称，不能确定f(x)是否关于直线x＝1对称，A错误； 因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)， 所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝－f(－x－2)， 所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，故C错误， 由f(x)＝f(－x－4)与f(x)＝－f(－x－2)得f(－x－4)＝－f(－x－2)，即f(x－4)＝－f(x－2)， 故f(x－4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故B错误； f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝0，故D正确．故选D. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选扣2分) 13．某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．图中的m＝0．04 B．成绩不低于80分的职工约80人 C．200名职工的平均成绩是80分 D．若单位要表扬成绩由高到低前25%职工，则成绩87分的职工A肯定能受到表扬 【答案】AB 【解析】对于A，(0.01＋0.01＋m＋0.02＋0.02)×10＝1，得m＝0.04，故A正确； 对于B，成绩不低于80分的职工人数为(0.02＋0.02)×10×200＝80，故B正确； 对于C，平均成绩为55×0.1＋65×0.1＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.2＝78(分)，故C错误； 第75%分位数为80＋×10＝87.5＞87，故D错误．故选AB. 14．已知正方形ABCD的边长为1，以BD为折痕把△ABD折起，得到四面体A′BCD，则(　　) A．A′C⊥BD B．四面体A′BCD体积的最大值为 C．△A′CD可以为等边三角形 D．△A′CD可以为直角三角形 【答案】AC 【解析】取BD得中点为O，连接OA′＝OC，由题意，BD⊥OA′，BD⊥OC，且OA′∩OC＝O， 所以BD⊥平面OA′C，所以BD⊥AC′，故选项A正确； 当OA′⊥平面BCD时，四面体A′BCD的体积最大，且最大体积为V＝S△BCD，OA′＝××1×1×＝，故选项B错误； 当OA′⊥平面BCD时，OA′⊥OC，所以， A′C＝＝ ＝1，又DC＝DA′＝1，所以此时△A′CD为等边三角形，故选项C正确； 若△A′CD为直角三角形，又DC＝DA′＝1，则， ∠A′DC＝， 所以A′C＝，此时OA′＋OC＝＋＝＝A′C，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故选项D错误．故选AC. 15．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，将△ABC沿AC折叠，形成二面角B－AC－D，设二面角B－AC－D的平面角为θ，若cosθ＝，则(　　) A．BD＝2 B．异面直线AC与BD所成的角为 C．四面体ABCD的体积为 D．四面体ABCD外接球的体积为 【答案】AD 【解析】如图，＝＋＋，∴||2＝2＋2＋2＝2·＝3＋4＋3＋2××cos(π＋θ)＝8，∴BD＝2， A正确；异面直线AC，BD所成角为45°，B错误； 四面体ABCD的体积为，C错误； 再看图，外接球的半径为2，与位置无关，故体积为π×8＝π，D正确．故选AD. 16．已知函数f(x)＝＋，则(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)的图象关于点(1,1)对称 C．f(x)有唯一一个零点 D．不等式f(2x＋3)>f(x2)的解集为(－1,1)∪(3，＋∞) 【答案】BCD 【解析】对于A，由得x≠1，即f(x)定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)为非奇非偶函数，A错误． 对于B，f(1＋x)＝＋＝＋， f(1－x)＝－＝－， ＝－＝－， ∴f(1＋x)＋f(1－x)＝2，∴f(x)图象关于点(1,1)对称，B正确． 对于C，当x＞1时，f(x)＝＋， ∵t＝2x在(1，＋∞)上单调递增，y＝t－在(2，＋∞)上单调递增，∴y＝2x－在(1，＋∞)上单调递增， ∴y＝在(1，＋∞)上单调递减， ∵y＝1－在(1，＋∞)上单调递增，∴y＝在(1，＋∞)上单调递减． ∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减， 由B知f(x)图象关于(1,1)对称，∴f(x)在(－∞，1)上单调递减． 当x＞1时，＞0，＝1＋＞1，∴f(x)＞1，∴f(x)在(1，＋∞)上无零点； 当x＜1时，f(0)＝＋0＝－＜0，f(－1)＝＋＝＞0. ∴∃x0∈(－1,0)，使得f(x0)＝0，则f(x)在(－∞，1)上有唯一零点x＝x0. 综上所述，f(x)有唯一一个零点，C正确． 对于D，由C知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减， 又x＞1时，f(x)＞1，∴x＜1时，f(x)＜1， ①当即x＞1时，由f(2x＋3)＞f(x2) 得2x＋3＜x2，解得x＜－1(舍)或x＞3， ②当时，不等式组无解，不合题意， ③当即－1＜x＜1时， f(2x＋3)＞1，f(x2)＜1，满足题意， ④当即x＜－1时， f(2x＋3)＜1，f(x2)＞1，不合题意． 综上所述，f(2x＋3)＞f(x2)的解集为(－1,1)∪(3，＋∞)，D正确．故选BCD. 三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分) 17．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若f(b)<f(1)，则实数b的取值范围是________；若f(a)<f(a＋2)，则实数a的取值范围是________． 【答案】(－1,1)　(－1，＋∞) 【解析】由偶函数可知函数f(x)关于y轴对称． 因为函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， 由对称性可知函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，若f(b)＜f(1)，则－1＜b＜1. 由f(a)＜f(a＋2)，可得|a|＜|a＋2|，即a2＜(a＋2)2，解得a＞－1.故答案为：(－1,1)；(－1，＋∞)． 18．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为____________． 【答案】∪(0，＋∞) 【解析】因为a＝(1,2)，b＝(1,1)，所以a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)， 因为a与a＋λb的夹角为锐角，所以a·(a＋λb)＞0，且a与a＋λb不共线， 所以1＋λ＋2(2＋λ)＞0且2(1＋λ)≠2＋λ， 解得λ＞－且λ≠0，所以λ的取值范围为∪(0，＋∞)，故答案为：∪(0，＋∞)． 19．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，C1D1的中点，若P，M，N分别为线段BD1，EF，BC1上的动点，则PM＋PN的最小值为________． 【答案】1 【解析】如下图所示，当P点运动，M位于EF中点时，PM最小；若BN＝BQ，则△BPN≌△BPQ，即PN＝PQ，当M，P，Q三点共线时，PM＋PQ最小，即PM＋PN最小，此时PM＋PN＝1.故答案为：1. 20．锐角△ABC的内角所对边分别是a，b，c且a＝1，bcosA－cosB＝1，若A，B变化时，sinB－λsin2A存在最大值，则正数λ的取值范围________________． 【答案】 【解析】∵a＝1，bcosA－cosB＝1，由正弦定理得 sinBcosA－cosBsinA＝sinA，即sin(B－A)＝sinA， ∴B－A＝A或B－A＝π－A(舍)，∴B＝2A， ∵△ABC是锐角三角形，∴解得＜A＜， sinB－λsin2A＝sin2A－λ(1－2cos2A) ＝2sin2A＋cos2A－＝sin(2A＋φ)－其中tanφ＝， ∵＜2A＜， 使sinB－λsin2A存在最大值，只需存在φ，满足2A＋φ＝， ∴0＜φ＜，∴tan0＜＝tanφ＜tan， 解得0＜λ＜.故答案为：0，. 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 21．(本小题满分11分)新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如图所示．根据该图数据信息． (1)判断城镇人口数达到最高峰是第几次； (2)求城镇人口比重的极差． 【答案】(1)城镇人口数最高峰为2020年，即第7次； (2)城镇人口比重的极差为63.89%－13.26%＝50.63%. 22．(本小题满分11分)已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cosA＝． (1)求A； (2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形． 【答案】(1)因为cos2＋cosA＝，所以sin2A＋cosA＝， 即1－cos2A＋cosA＝，解得cosA＝，又0<A<π，所以A＝； (2)证明：因为A＝，所以cosA＝＝，即b2＋c2－a2＝bc①， 又b－c＝a②，将②代入①，得b2＋c2－3(b－c)2＝bc， 即2b2＋2c2－5bc＝0，而b>c，解得b＝2c，所以a＝c， 故b2＝a2＋c2，即△ABC是直角三角形． 23．(本小题满分11分)已知函数f(x)＝|x|(x－a)． (1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)－2的零点； (2)当a>0时，函数f(x)在[0,2]上为减函数，求实数a的取值范围； (3)当a<0时，是否存在实数a，使得f(x)在闭区间上的最大值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当a＝－1时，f(x)＝|x|(x＋1)． 当x＜0时，f(x)＝－x(x＋1)，令f(x)＝2，可得x2＋x＋2＝0，Δ＝1－x＜0， 方程x2＋x＋2＝0无实根，此时，函数y＝f(x)－2无零点； 当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，令f(x)＝2，可得x2＋x－2＝0，∵x≥0，解得x＝1. 综上所述，函数y＝f(x)－2的零点为1. (2)当a＞0且0≤x≤2时，f(x)＝x(x－a)＝2－， 由于函数f(x)在[0,2]为减函数，则≥2，解得a≥4. 因此，实数a的取值范围是[4，＋∞]． (3)存在实数a(a＜0)，使得函数f(x)在闭区间上的最大值为2. 根据题意，f(x)＝ 若函数f(x)在区间上的最大值为2，则 f(－1)＝－1－a≤2，即a≥－3. 当x≥0时，函数f(x)＝x(x－a)在区间上为增函数， 则函数f(x)＝x(x－a)在区间上的最大值为f＝＝－≤＜2. 故函数f(x)必在区间[－1,0]上取得最大值2. ①当≤－1时，即当a≤－2时，函数f(x)在区间[－1,0]上为减函数， 此时，f(x)max＝f(－1)＝－1－a＝2，解得a＝－3； ②当－1＜＜0时，即当－2＜a＜0时，f(x)max＝f，解得a＝±2，不合题意． 综上所述，a＝－3. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$