仿真模拟卷 8（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·仿真模拟卷

仿真模拟卷8 一、单选题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则(　　) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M 【答案】A 【解析】由题知M＝{2,4,5}，对比选项知．选A. 2．已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2 【答案】A 【解析】＝1＋2i， z＋a＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b＝(1＋a＋b)＋(2a－2)i， 由z＋a＋b＝0，得即选A. 3．在△ABC中，“sinA＝cosB”是“C＝”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】A＋B＝⇒sinA＝cosB.故选B. 4．周庄、同里、用直、西塘、号镇、南浔古镇，并称为江南六大古镇，它们以深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外．六大古镇中，在苏州的有3处，某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选1个苏州古镇的概率为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，共有C＝15种不同的选择方式，则至少选1个苏州古镇，有CC＋C＝12种不同的选择方式，所以至少选1个苏州古镇的概率为P＝＝.故选D. 5．将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，曲线C为y＝sin＝sinωx＋＋，又∵C关于y轴对称，则＋＝＋kπ，k∈Z， 解得ω＝＋2k，k∈Z，又ω>0，故当k＝0时，ω的最小值为.故选C. 6．已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　) A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a 【答案】A 【解析】由9m＝10可得m＝log910＝>1，而lg9lg11<2＝2<1＝(lg10)2，所以>，即m>lg11，所以a＝10m－11>10lg11－11＝0. 又lg8lg10<2＝2<(lg9)2，所以>，即log89>m， 所以b＝8m－9<8log89－9＝0.综上，a>0>b.故选A. 7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是(　　) A．MN∥平面BCC1B1 B．直线MN与平面ABCD所成的角为70° C．MN⊥A1B1 D．MN与DD1为异面直线 【答案】B 【解析】如图，连接B1C，AB1，由M，N分别为AC，A1B的中点，知MN∥B1C，而MD⊄平面BCC1B，B1C⊂平面BCC1B，∴MN∥平面BCC1B1，故A正确； 直线MN与平面ABCD所成角等于B1C与平面ABCD所成角等于45°，故B错误； 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，则A1B1⊥B1C，∵MN∥B1C，∴MN⊥A1B1，故C正确；如图，连接BD，A1D，可确定MN⊂面A1BD，DD1与平面A1BD交于点D，D∉MN，所以MN与DD1为异面直线．故选B. 8．设x>y>0，则x＋＋的最小值为(　　) A．3 B．2 C．4 D． 【答案】A 【解析】∵x>y>0，∴x－y>0， ∴x＋＋＝＋ ≥2＋2＝2＋＝3， 当且仅当(x＋y)＝，(x－y)＝，即x＝，y＝时取等号．故选A. 9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝(　　) A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2， 则＝＝＝2，所以r1＝2r2，又＋＝2π， 则＝1，所以r1＝l，r2＝l，所以甲圆锥高h1＝＝l， 乙圆锥的高h2＝＝l，所以＝＝＝.故选C. 10．若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossinβ，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 【答案】C 【解析】由已知得sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝2(cosα－sinα)sinβ， 即sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0， 即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0， 所以tan(α－β)＝－1.故选C. 11．己知函数f(x)＝，则对任意实数x，有(　　) A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0 C．f(－x)＋f(x)＝1 D．f(－x)－f(x)＝ 【答案】C 【解析】f(－x)＋f(x)＝＋＝＋＝1，故A错误．C正确； f(－x)－f(x)＝－＝－＝＝1－，不是常数，故B，D错误．故选C. 12．已知函数f(x)，g(x)定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7．若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则∑f(k)＝(　　) A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 【答案】D 【解析】因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以g(2－x)＝g(x＋2)， 因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)， 因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5， 代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2， 所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10， f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10. 因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝－3. 因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7，又因为f(x)＋g(2－x)＝5， 联立得g(2－x)＋g(x＋4)＝12， 所以y＝g(x)的图象关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g(3)＝6， 因为f(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1.所以(k)＝f(1)＋f(2)＋[f(3)＋f(5)＋…＋f(21)]＋[f(4)＋f(6)＋…f(22)]＝－1－3－10－10＝－24.故选D. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选扣2分) 13．下列命题中错误的是(　　) A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．第四象限角一定是负角 D．钝角比第三象限角小 【答案】ACD 【解析】当三角形为直角三角形时，一内角为直角，直角不属于第一、二象限角，故A错误； 始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确； 取330°角为第四象限角，但不是负角，故C错误； 取120°为钝角，－110°为第三象限角，但120°>－110°，故D错误．故选ACD. 14．一个袋子中有大小相同的黄球3个、红球4个、蓝球3个，从中随机的抽取一个球，是黄球的事件记为A，是红球的事件记为B，是蓝球的事件记为C，则(　　) A．事件A与事件B是对立事件 B．事件A与事件B是互斥事件 C．P(A)＋P(B)＋P(C)＝1 D．事件A与事件C是相互独立事件 【答案】BC 【解析】根据事件的性质判断，事件A，B互斥不对立，事件A，B，C的和是必然事件，事件A，C不是独立事件．故选BC. 15．如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E－ACD，F－ABC，F－ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　　) A．V3＝2V2 B．V3＝V1 C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1 【答案】CD 【解析】设AB＝ED＝2FB＝2a，因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED，则， V1＝·ED·S△ACD＝·2a··(2a)2＝a3，V2＝·FB·S△ABC＝·a··(2a)2＝a3，连接BD交AC于点M，连接EM，FM，易得BD⊥AC， 又ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则ED⊥AC，又ED∩BD＝D，ED，BD⊂平面BDEF，则AC⊥平面BDEF，又BM＝DM＝BD＝a，过F作FG⊥DE于G，易得四边形BDGF为矩形，则 FG＝BD＝2a，EG＝a， 则EM＝＝，FM＝＝a，EF＝＝3a， EM2＋FM2＝EF2，则EM⊥FM，S△EFM＝EM·FM＝a2，AC＝2a， 则V3＝VA－EFM＋VC－EFM＝AC·S△EFM＝2a3，则2V3＝3V1，V3＝3V2，V3＝V1＋V2，故A，B错误，C，D正确．故选CD. 16．若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 【答案】BC 【解析】因为ab≤2≤(a，b∈R)，x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤32，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确； x2＋y2－xy＝1可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确； 因为x2＋y2－xy＝1变形可得2＋y2＝1，设x－＝cosθ，y＝sinθ所以x＝cosθ＋sinθ，y＝sinθ，因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＝sinθcosθ＝1＋sin2θ－cos2θ＋＝＋sin∈，所以当x＝，y＝－时满足等式，但是x2＋y2≥1不成立，所以D错误．故选BC. 三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分) 17．定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数且f(1)＝0，则不等式f(logx)＞0的解集为________． 【答案】{x|0＜x＜或x＞2} 【解析】由已知，根据偶函数的特征，即可得到f(－1)＝0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 从而将题目转化为logx＜－1或logx＞1，直接求解即可． 由在R上的偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数且f(1)＝0，得f(－1)＝0， f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 可得logx＜－1或logx＞1，解得0＜x＜或x＞2 故答案为：{x|0＜x＜或x＞2}． 18．已知函数f(x)＝2sin的图象为C，则：①C关于直线x＝对称；②C关于点对称；③f(x)在上是增函数；④把y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C． 以上结论正确的有________．(填所有正确结论的序号) 【答案】①③④ 【解析】当x＝时，f(x)＝－2为最小值，故C关于直线x＝对称，①正确． 当x＝时，f(x)＝2为最大值，故C不关于点对称，②错误． 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈z，因为⊆，所以f(x)在上单调递增，故③正确(或由T＝π及解②所述知③正确)． 把y＝2cos 2x图象向右平移个单位长度，可得y＝2cos＝2cos＝sin＝2sin＝f(x)，故④正确． 故答案为：①③④. 19．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c且满足2a2＋bc＝6，则△ABC面积的最大值为________ 【答案】1 【解析】a2＝b2＋c2－2bccosA， 2a2＝2b2＋2c2－4bccosA＝6－bc， 4bc－4bccosA≤2b2＋2c2－4bccosA＝6－bc ⇒bc≤， S＝bcsinA≤≤＝1， 其中3sinA＋4cosA＝5sin(A＋φ)．故答案为：1. 20．已知平面向量a，b，c满足：|a|＝1，b·a＝－1，若对满足条件的任意向量b，|c－b|≥|a－c|恒成立，则〈c＋a，a〉的最大值为________． 【答案】 【解析】由题意设a＝(1,0)，b＝(－1，m)，c＝(x，y)，c－b＝(x＋1，y－m)，c－a＝(x－1，y)， 由|c－b|≥|c－a|，≥，化简得m2－2my＋4x≥0恒成立，所以Δ≤0，y2≤4x，x≥0，c＋a＝(x＋1，y)，cos〈c＋a，a〉＝≥＝≥，当且仅当y2＝4x且x＝1时取到等号．故答案为：. 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 21．(本小题满分11分)已知函数f(x)＝sinx－cosx(x∈R)． (1)求函数y＝f(x)·f(－x)的单调递增区间； (2)求函数y＝f2(x)＋f2x－－1的值域． 【答案】(1)(k∈Z)　(2)[－，] 【解析】(1)y＝(sinx－cosx)(－sinx－cosx)＝cos2x，当2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)时，函数单调递增，即kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，所求单调递增区间为(k∈Z)； (2)y＝(sinx－cosx)2＋－1＝1－sin2x＋sin－1＝1－sin2x－cos2x－1＝－sin(2x＋φ)，其中tanφ＝，即函数的值域为[－，]． 22．(本小题满分11分)如图，菱形ABCD的边长为a，∠D＝60°，H为DC的中点，现以线段AH为折痕将△DAH折起，使得点D到达点P的位置，且平面PHA⊥平面ABCH，E，F分别为AB，AP的中点． (1)求证：平面PBC∥平面EFH． (2)若三棱锥P－EFH的体积等于，求a的值． 【答案】(1)证明：因为在菱形ABCD中，E，H分别为AB，CD的中点，所以BE∥CH且BE＝CH， 所以四边形BCHE为平行四边形，则BC∥EH， 又EH⊄平面PBC，所以EH∥平面PBC. 因为E，F分别为AB，AP的中点，所以EF∥BP， 又EF⊄平面PBC，所以EF∥平面PBC. 又EF∩EH＝E，所以平面PBC∥平面EFH. (2)在菱形ABCD中，∠D＝60°，则△ACD为正三角形，所以AH⊥CD，DH＝PH＝CH＝a，AH＝a，折叠后，PH⊥AH，又平面PHA⊥平面ABCH，平面PHA∩平面ABCH＝AH，PH⊂平面PHA，从而PH⊥平面ABCH. 在△PAE中，点F为AP的中点，则S△PEF＝S△AEF，所以VH－PEF＝VH－AEF＝VH－PAE＝VP－AEH ＝×S△AEH·PH＝×××a×a×a＝a3＝，所以a3＝8，故a＝2. 23．(本小题满分11分)已知函数f(x)＝－x2＋10x－9，g(x)＝－x2＋68x－256． (1)若存在实数b使得y＝b与函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象恰有三个不同的交点，求实数b的值； (2)若F(x)＝＋，若不等式a≥F(x)恒成立，求实数a的最小值． 【答案】(1)　(2)3 【解析】(1)f(x)＝－x2＋10x－9，g(x)＝－x2＋68x－256有3个不同的交点，则有 f(x)＝g(x)＝b⇒－x2＋10x－9＝－x2＋68x－256 ⇒x＝⇒b＝－9－2＝＝. (2)∵F(x)＝＋＝＋且4≤x≤9， (x－1)＋(64－x)＝63⇔2＋2＝1， ∴令＝cosα，＝sinα，α∈， 而(x－4)＋(9－x)＝5⇔2＋2＝1， ∴令＝sinβ，＝cosβ，β∈， ∴F(x)＝3(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝3cos(α－β)≤3， 当α＝β时等号成立，此时＝cosα＝cosβ＝⇒x＝， 而∈[4,9]，当x＝时，F(x)取到最大值3，即a的最小值为3. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$