仿真模拟卷 5（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·仿真模拟卷

仿真模拟卷5 一、单选题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．sin＝(　　) A．－ B．－ C． D． 【答案】C 2．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝，则A∩B＝(　　) A．{0,1} B．{－1,0,1} C．{－2，－1,0,1} D．{－2，－1,0,1,2} 【答案】B 3．已知i是虚数单位，复数z＝，为z的共轭复数，则＝(　　) A．＋i B．－i C．－－i D．－＋i 【答案】D 4．为了得到函数y＝3sin的图象，只需把函数y＝3sinx图象上所有点(　　) A．向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C．向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 D．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 【答案】A 5．在同一坐标系中，函数y＝x与y＝log2x的图象大致是(　　) 【答案】A 6．设α，β，γ为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则其中正确命题的序号为(　　) ①α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ②m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ③α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β； ④α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，则m⊥γ． A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 7．已知，e1，e2是平面中的两个不共线向量，若a＝e1－me2(m∈R)与b＝－平行，则m的值是(　　) A． B．0 C．－1 D．－2 【答案】A 8．一个正方体有一个面为红色，两个面为绿色，三个面为黄色，另一个正方体有两个面为红色，两个面为绿色，两个面为黄色，同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记第一个正方体红色的面为a，绿色的面为b1，b2，黄色的面为c1，c2，c3， 记第二个正方体红色的面为A1，A2，绿色的面为B1，B2，黄色的面为C1，C2， 同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面颜色相同的结果种数为62＝36， 其中，事件“两个正方体朝上的面颜色相同”所包含的基本事件有(a，A1)，(a，A2)，(b1，B1)，(b1，B2)，(b2，B1)，(b2，B2)，(c1，C1)，(c1，C2)，(c2，C1)，(c2，C2)，(c3，C1)，(c3，C2)， 因此，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为P＝1－＝.故选B. 9．图1是某品牌汽车2022年月销量统计图，图2是该品牌汽车月销量占所属汽车公司当月总销量的份额统计图，则下列说法错误的是(　　) A．该品牌汽车2022年全年销量中，1月份月销量最多 B．该品牌汽车2022年上半年的销售淡季是5月份，下半年的销售淡季是10月份 C．2022年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份多 D．该品牌车2022年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳 【答案】C 【解析】根据图1中的条形统计图可知，该品牌汽车2022年全年销量中，1月份月销量最多，A选项正确； 该品牌汽车2022年上半年销量最少的月份是5月份，下半年销量最少的月份是10月份，B选项正确； 由条形统计图中的波动性可知，该品牌汽车2022年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳，D选项正确； 由图1和图2可知，该品牌汽车7月份和8月份销量相等，但该品牌汽车7月份销量占该品牌汽车所属公司当月总销量的比例较8月份的大，所以，2022年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份少，C选项错误．故选C. 10．下列命题中正确的是(　　) A．若<<0，则|a|＋|b|>|a＋b| B．若a，b∈R，a>b＋1，则|a|>b＋1 C．若a>b，c>d，则a－c>b－d D．若a>b，c<d，则> 【答案】B 【解析】取a＝－1，b＝－2，则|a|＋|b|＝|a＋b|，故A错误； 若a≥0，因为a>b＋1，所以|a|＝a>b＋1，若a<0，因为a>b＋1，所以b＋1<0， 所以|a|>b＋1，综上，a>b＋1时，|a|>b＋1成立，故B正确； 取a＝1，b＝0，c＝－1，b＝－3，则a－c<b－d，故C错误； 取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝3，则<，故D错误．故选B. 11．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于(　　) A． B． C．－1 D．－1 【答案】C 12．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”．已知在“鳖臑”A－BCD中，满足AB⊥平面BCD，且AB＝BD＝5，BC＝3，CD＝4，则此“鳖臑”外接球的表面积为(　　) A．25π B．50π C．100π D．200π 【答案】B 【解析】由BD＝5，BC＝3，CD＝4，∴BD2＝BC2＋CD2，即有BC⊥CD， 又AB⊥平面BCD，所以AB，BC，CD两两互相垂直，该“鳖臑”如图所示． 图形可以补形为长方体，该“鳖臑”．的外接球即该长方体的外接球，AD是长方体的体对角线，也是外接球的直径，设外接球半径为R，则(2R)2＝32＋42＋52＝50，所以“鳖臑”的外接球表面积为4πR2＝50π.故选B. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选得2分) 13．下列结论正确的是(　　) A．当x>0时，＋≥2 B．当x>0时，的最小值是2 C．当x<0时，2x－1＋的最小值是 D．若x>0，y>0，且x＋y＝2，则＋的最小值是 【答案】AD 14．下列函数中，既是偶函数，又在(π，2π)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝cosx B．f(x)＝x3 C．f(x)＝3x D．f(x)＝lg|x| 【答案】AC 【解析】函数f(x)＝cosx是偶函数，在(π，2π)上单调递增，A选项正确； 函数f(x)＝x3是奇函数，B选项错误； 函数f(x)＝3x非奇非偶，C选项错误； 函数f(x)＝lg|x|是偶函数，在(π，2π)上单调递增，D选项正确． 故选AD. 15．如图，在棱长为2的正四面体P－ABC中，D，E分别为AB，AC上的动点(不包含端点)，F为PC的中点，则下列结论正确的有(　　) A．DE＋EF的最小值为 B．若E为AC中点，则DF的最小值为 C．若四棱锥F－BDEC的体积为，则DE的取值范围是 D．若·＝，则CE＝1 【答案】BC 【解析】A，沿AC展开，没有最小值； B，在等腰三角形ABF中求得，正确； C，求出底面的面积为＝S△ABC，则中位线的端点是一个临界点，D在靠近A的四等分点也是一个临界点； D，设CE＝x，则·＝(－)·(－)＝x2－x＋1＝，∴x＝1或. 故选BC. 16．透明塑料制成的正方体密闭容器ABCD－A1B1C1D1的体积为64，注入体积为x(0<x<64)的液体，如图，将容器下底面的顶点A置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是(　　) A．液面始终与地面平行 B．x＝32时，液面始终呈平行四边形 C．当x∈(0,8)时，有液体的部分可呈正三棱锥 D．当液面与正方体的对角线AC1垂直时，液面面积的最大值为12 【答案】ACD 【解析】对于A，液面始终是水平面，与地面平行，A正确；对于B，当x＝32，体积是正方体的一半，液面正好经过A1B1，B1B，BC，CD，DD1，D1A的中点，此时液面是正六边形，不是平行四边形，B错误；对于C，正方体棱长为4，从注入开始，直至液面经过D，A1，B时，液体部分均可呈正三棱锥，当液面经过D，A1，B时，x＝>8，C正确；对于D，当液面与正方体的对角线AC1垂直时，液面面积最大值就是选项B中所列举的正六边形面积．面积为6××2＝12，所以D正确．故选ACD. 三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分) 17．已知函数f(x)＝则f(0)＝________，f(f(－5))＝________． 【答案】1　－1 18．设p：x2－2x≤0，q：(x－m)(x－m－3)<0，若p是綈q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______________． 【答案】m≥2或m≤－3 19．高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门进行学习．已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人，这三门课程均选的有8人，三门中任选两门课程的均至少有15人．三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有________人． 【答案】9 【解析】要求D区域至多，则要让其他区域最少，则各区域如图所示，相加共45人，则D区域至多9人．故答案为：9. 20．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若＝m＋(m为常数)，则CD的长度是________． 【答案】或0 【解析】∵A，D，P三点共线，∴可设＝λ(λ>0)， ∵＝m＋， ∴λ＝m＋，即＝＋，若m≠0且m≠，则B，D，C三点共线，∴＋＝1，即λ＝， ∵AP＝9，∴AD＝3，∵AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°， ∴BC＝5， 设CD＝x，∠CDA＝θ，则BD＝5－x，∠BDA＝π－θ. ∴根据余弦定理可得cosθ＝＝，cos(π－θ)＝＝， ∵cosθ＋cos(π－θ)＝0，∴＋＝0，解得x＝，∴CD的长度为. 当m＝0时，＝，C，D重合，此时CD的长度为0， 当m＝时，＝，B，D重合，此时PA＝12，不合题意，舍去．故答案为：0或. 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 21．(本小题满分11分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a(sinA－sinC)＋csinC＝bsinB． (1)求角B； (2)若b＝5，求△ABC周长的最大值． 【答案】(1)　(2)15 【解析】(1)由正弦定理得a2－ac＋c2＝b2，由余弦定理得cosB＝＝，由于B∈(0，π)，所以B＝. (2)既a＋c≤10，当且仅当a＝c＝5时取等号． ∴a＋c＋b≤15 B＝，b＝5,25＝a2＋c2－×2ac＝(a＋c)2－3ac. 又ac≤2＝，∴25≥， 当A＋＝，即A＝时，10sin＋5＝15，所以周长的最大值为15. 22．习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态．”在一些疾病防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用．某心理调查机构为了解市民在疾病期的心理健康状况，随机抽取n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分(满分100分)从低到高将心理健康状况分为四个等级： 调查评分 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 并绘制如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在[70,80)的市民为400人． (1)求n的值及频率分布直方图中t的值； (2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导．据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在[40,50)的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在[50,60)的市民心理等级转为“良好”的概率为．若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问抽取的3人经过心理疏导后，至少有1人心理等级转为“良好”的概率为多少？ 【答案】(1)n＝2000，t＝0.002　(2) 【解析】(1)由已知条件可得n＝＝2000，每组的纵坐标的和乘以组距为1，所以0.84＋80t＝1，解得t＝0.002. (2)由(1)知t＝0.002，所以调查评分在[40,50)的人数占调查评分在[50,60)人数的. 若按分层抽样抽取3人，则调查评分在[40,50)有1人，[50,60)有2人． 因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的3人经过心理疏导后，心理等级均达不到良好的概率为××＝，所以经过心理疏导后，至少有1人心理等级转为良好的概率为P＝1－××＝. 23．(本小题满分11分)已知a>0，设函数f(x)＝2asin2x＋(a－1)(sinx＋cosx)＋2a－1，x∈，g(x)＝－2asin2x＋(1－a)sinx，x∈R， (1)当a＝2时，求函数f(x)的值域； (2)记|f(x)|的最大值为M，①求M；②求证：|g(x)|≤2M． 【答案】|g(x)|≤2M 【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝2sin2x＋(cosx＋sinx)＋3，x∈，令t＝sinx＋cosx＝sin，所以4sin2x＝4(t2－1)，因为x∈，所以sin∈[－1,1]，所以t∈[－1,1]，所以y＝4(t2－1)＋t＋3＝42－，因为t∈[－1,1]，所以y＝42－∈，所以f(x)∈. (2)①令t＝sinx＋cosx＝sinx∈，所以sin2x＝t2－1，因为x∈x∈，所以sinxx＋∈[－1,1]，所以t∈[－1,1]，y＝2a(t2－1)＋(a－1)t＋2a－1＝2a2－，h(t)＝2at－2－， h(t)是对称轴为，开口向上的抛物线，h(－1)＝a， h(1)＝3a－2，h＝ 当0＜a≤时，t＝≥1，|a|≤|3a－2|，所以M＝2－3a， 当＜a≤1时，t＝∈[0,1)，＞|h(－1)|，所以M＝， 当a＞1时，t＝∈(－1,0)，＜|h(1)|，所以M＝3a－2，综上所述：M＝ ②证明：|g(x)|＝|－2asin2x＋(1－a)sinx|≤|－2asinx|＋|(1－a)sinx|≤|1－a| ＝ 当0＜a≤时，(a＋1)－2(2－3a)＝7a－3≤－3＜0，所以|g(x)|≤2M； 当＜a≤1时，(a＋1)－2×＝＝－－≤－－≤0，所以|g(x)|≤2M； 当a＞1时，(3a－1)－2(3a－2)＝－3a＋3＜3－3＜0，所以|g(x)|≤2M. 综上所述：|g(x)|≤2M. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$