仿真模拟卷 4（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·仿真模拟卷

仿真模拟卷4 一、单选题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．已知集合A＝{－2,0,1}，B＝{－2,1,3}，则A∪B＝(　　) A．{－2,0,3} B．{－2,1} C．{－2,0,1,3} D．{1} 【答案】C 【解析】A∪B＝{－2,0,1,3}． 2．已知a＝，b＝，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵a＝，b＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝， ∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.故选A. 3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m∥β，则“m⊂α”是“α∥β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由m∥β，m⊂α，可得α∥β或相交；由α∥β，m∥β，可得m⊂α或m∥α，则“m⊂α”是“α∥β”的既不充分也不必要系统．故选D. 4．某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3,2,5,4,3,1．则这组数据的75%分位数为(　　) A．3 B．4 C．3．5 D．4．5 【答案】B 【解析】由题意，这组数从小到大排列顺序为1,2,3,3,4,5，由6×75%＝4.5，可得这组数据的75%分位数为从小到大排列的第5个数，为4.故选B. 5．函数f(x)＝x－2＋log2x的零点所在的区间为(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 【答案】B 【解析】函数f(x)＝x－2＋log2x，x>0是单调递增函数，当x→0＋时，f(x)→－∞，f(1)＝－1，f(2)＝1>0，f(3)＝1＋log23>0，f(4)＝4>0，故f(1)·f(2)<0，故函数的零点所在的区间为(1,2)．故选B. 6．已知cosθ＝，则sin＝(　　) A．－ B． C．－ D． 【答案】A 【解析】sin＝cos2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－.故选A. 7．复数满足(a＋3i)＋(2－i)＝5＋bi，则a＋b等于(　　) A．－4 B．7 C．－8 D．5 【答案】D 【解析】因为(a＋3i)＋(2－i)＝5＋bi， 即(a＋2)＋2i＝5＋bi，所以解得 所以a＋b＝5.故选D. 8．函数y＝的大致图象为(　　) 【答案】A 【解析】由题知，函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称， 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除C，D； ∵f(π)＝＝>0，排除B.故选A. 9．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和估计抽取的高中生近视人数分别为(　　) A．180,40 B．180,20 C．180,10 D．100,10 【答案】B 【解析】所有学生数为3000＋4000＋2000＝9000，故样本容量为9000×2%＝180， 根据图甲以及抽取百分比可知，样本中高中生人数为2000×2%＝40， 根据图乙可知，抽取的高中生近视人数为40×50%＝20，故选B. 10．将函数y＝f(x)图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos，则f(x)的解析式为(　　) A．y＝cos B．y＝cos C．y＝cos D．y＝cos 【答案】A 【解析】将y＝cos向右平移个单位长度得y＝cos＝cos， 将y＝cos上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得y＝cos， ∴y＝f(x)＝cos.故选A﹒ 11．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么|f(x＋2)|＜1的解集的补集是(　　) A．(－2,1) B．(2,5) C．(－∞，2]∪[5，＋∞) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 【答案】D 【解析】因为A(0，－1)，B(3,1)是f(x)图象上的两点，所以f(0)＝－1，f(3)＝1.由|f(x＋2)|＜1可得－1＜f(x＋2)＜1，即f(0)＜f(x＋2)＜f(3)．又已知函数f(x)是R上的增函数，从而得0＜x＋2＜3，解集为(－2,1)，补集为(－∞，－2]∪[1，＋∞)． 12．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1⊥底面ABCD，AA1＝2AB，M，N分别是棱BB1，DD1上的动点，且DN＝B1M，则下列结论中正确的是(　　) A．直线AC与直线MN所成角的大小与点M的位置有关 B．直线AD与直线MN所成角的最大值为 C．直线A1C与直线MN可能异面 D．三棱锥A1－C1MN的体积保持不变 【答案】D 【解析】由题可知四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱，如下图，由AC⊥DB，AC⊥DN，DB∩DN＝D，可得AC⊥平面DBMN，所以AC⊥MN，与点M的位置无关，故A错误；如下图，作NP∥DA交AA1于P，则∠PNM为所求角，又PN⊥PM，则cos∠PNM＝，MN最大时，cos∠PNM最小，∠PNM最大，可求得cos∠PNMmin＝≠，∠PNMmax≠，故B错误；由题易证四边形A1MCN为平行四边形，所以直线A1C与直线MN一定相交，故C错误；如下图，VA1－C1MN＝VM－C1A1N＝VA－C1A1N＝VN－C1A1A＝VD－C1A1A为定值，故D正确．故选D. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选得2分) 13．已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,1)，则下列说法正确的是(　　) A．∥a B．向量a在向量b上的投影向量为－b C．a与a－b的夹角的余弦值为 D．若c＝，则a⊥c 【答案】BD 【解析】对于A，a＋b＝(－1,2)，因为－1×1≠2×2，所以a＋b与a不平行，故A错误； 对于B，向量a在向量b上的投影向量为cos<a，b>＝·＝·b＝－b，故B正确； 对于C，a－b＝(5,0)，所以a与a－b的夹角的余弦值cos<a，a－b>＝＝＝，故C错误； 对于D，容易判断D正确．故选BD. 14．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是(　　) A．若sin A＞sin B，则A＞B B．若c＝，C＝，则△ABC外接圆的半径为 C．若a＝2，b＝3，c＝，则·＝ D．若asin A＋bsin B＞csin C，则△ABC为锐角三角形 【答案】AC 【解析】对于A，因为sin A＞sin B，由正弦定理得a＞b，∴A＞B，故A正确； 对于B，由正弦定理2R＝＝，得R＝，即△ABC外接圆的半径为，故B错误； 对于C，由余弦定理cos C＝＝＝，则·＝2×3×＝，故C正确； 对于D，因为asin A＋bsin B＞csin C，由正弦定理得a2＋b2＞c2，故cos C＝＞0， 所以角C为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形，故D错误．故选AC. 15．已知正实数x，y满足xy＝x＋4y，则(　　) A．x>4 B．－y的最小值为－1 C．x＋y的最小值为9 D．x2＋y2的最小值为 【答案】AC 【解析】因为xy＝x＋4y，则(x－4)y＝x，即y＝＝，又x，y为正实数，则0<1－<1，所以x>4，y>1，故A项正确；因为xy＝x＋4y，所以－y＝－y＝y2－2y＝(y－1)2－1，又y>1，所以(y－1)2－1>－1，故B项错误； 因为xy＝x＋4y，且x，y为正实数，即xy≠0，则1＝＝＋，所以x＋y＝(x＋y)×＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝6，y＝3时等号成立，故C项正确；因为x＋y≥9，所以(x＋y)2≥81，则x2＋y2≥(x＋y)2＝，当且仅当x＝y时，等号成立，但由xy＝x＋4y可得，当x＝y时，x＝y＝5，且52＋52＝50≠，故D项错误．故选AC. 16．已知f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，且x1<x2<x3，则下列说法正确的是(　　) A．x1∈ B．x1＋x2＋x3的取值范围为 C．x2＋x3＝6 D．x1＋x2＝0 【答案】ABC 【解析】作出f(x)的图象，如图所示． 设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝a，则－3<a<4. 由f(x)的图象及一元二次函数的对称轴性质可知，x2＋x3＝6，故C正确； 令3x＋4＝－3，解得x＝－，所以x1∈，故A正确；结合上述分析易知x1＋x2＋x3的取值范围为，故B正确；(x1，f(x1))与(x2，f(x2))不一定关于y轴对称，故x1＋x2＝0不一定成立，故D错误．故选ABC. 三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分) 17．已知事件A与事件B相互独立，如果P(A)＝0．5，P(B)＝0．2，那么P(A∩B)＝________，P(A∩)＝________． 【答案】0.1　0.4 【解析】∵事件A与事件B相互独立，P(A)＝0.5，P(B)＝0.2， ∴P(A∩B)＝P(A)P(B)＝0.5×0.2＝0.1， P(A∩)＝P(A)P()＝P(A)(1－P(B))＝0.5×(1－0.2)＝0.4.故答案为：0.1；0.4. 18．计算：2＋lg25－－－(－6．9)0＋2lg2＝________． 【答案】1 【解析】2＋lg25－－－(－6.9)0＋2lg2＝＋lg25－－1＋lg4＝－＋lg(4×25)－1＝1. 19．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为2π，则该勒洛三角形的面积是____________． 【答案】18π－18 【解析】由弧长公式可得·|AC|＝2π，可得|AC|＝6， 所以，由和线段AB所围成的弓形的面积为×6×2π－×62＝6π－9，而勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，因此，该勒洛三角形的面积为S＝3×＋9＝18π－18.故答案为：18π－18. 20．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，PA＝4，Q为三棱锥P－ABC外接球球面上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为________． 【答案】＋2 【解析】令三棱锥P－ABC外接球球心为O，正△ABC所在平面截球面所得小圆圆心为O1，连接OO1，BO1，BO，如图， 则OO1⊥平面ABC，而正△ABC边长为2，即有BO1＝， 因PA⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC外接球球心为O，在过线段PA中点，且垂直于线段PA的平面内， 显然过线段PA中点且垂直于线段PA的平面与平面ABC平行，则OO1＝PA＝2， 于是得球O的半径R＝BO＝＝＝， 此最大距离为R＋OO1＝＋2， 所以点Q到平面ABC的距离的最大值为＋2. 故答案为：＋2. 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 21．(本小题满分11分)已知函数f(x)＝sin． (1)求函数f(πx)的最小正周期； (2)当x∈时，求y＝f＋f的取值范围． 【答案】(1)2　(2)， 【解析】(1)∵f(x)＝sinx＋，∴f(πx)＝sinπx＋，∴T＝＝2，故函数f(πx)的最小正周期为2； (2)y＝fx－＋fx＋＝sinx＋＋sinx＋＝sinx＋cosx＝sinx＋ ∵x∈0，，∴x＋∈，， ∴sin∈，即sin∈，， 故y＝fx－＋fx＋的取值范围是，. 22．(本小题满分11分)新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为[90,100)，[100,110)，…，[140,150]分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于90分)． (1)求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)； (2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于[120,140)的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求[130,140)这组中至少有1人被抽到的概率． 【答案】(1)x＝0.02，平均分为116.5分　(2) 【解析】(1)由频率分布直方图，得(0.005＋0.03＋0.03＋x＋0.01＋0.005)×10＝1，x＝0.02， 平均分为95×0.05＋105×0.3＋115×0.3＋125×0.2＋135×0.1＋145×0.05＝116.5(分)； (2)由频率分布直方图得出成绩位于[120,130)和[130,140)上的人数比为＝2， 抽取的6人中成绩位于[120,130)上的有4人，编号为1,2,3,4，位于[130,140)上的有2人，编号为a，b， 从这6人中任取2人的基本事件有12,13,14,1a,1b,23,24,2a,2b,34,3a,3b,4a,4b，ab，共15个，其中[130,140)这组中至少有1人被抽到的基本事件有1a,1b,2a,2b,3a,3b,4a,4b，ab，共9个，所以所求概率为P＝＝. 23．(本小题满分11分)已知函数f(x)＝|2x－a|＋3a，a∈R． (1)若函数f(x)为偶函数，求a的值； (2)设函数g(x)＝f(x)－(x∈[1,4])，已知当a∈[2,8]时，g(x)存在最大值，记为M(a)． ①求M(a)的表达式； ②求M(a)的最大值． 【答案】(1)a＝0　(2)①M(a)＝；②24 【解析】因为f(x)＝|2x－a|＋3a为偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 即|－2x－a|＋3a＝|2x－a|＋3a，即|－2x－a|＝|2x－a|，所以(－2x－a)2＝(2x－a)2， 即8ax＝0，所以a＝0. (2)①因为g(x)＝f(x)－(x∈[1,4])， 所以g(x)＝|2x－a|＋3a－，因为a∈[2,8]， 所以g(x)＝|2x－a|＋3a－ ＝ (i)当1≤x≤时，g(x)＝－2＋4a， 因为y＝x＋在(0,2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以当≤2即a∈[2,4]时，g(x)max＝g＝3a－， 当>2即a∈(4,8]时，g(x)max＝g(2)＝4a－8. (ii)当<x≤4时，g(x)＝2＋2a， 又y＝x－在(0，＋∞)上单调递增， 所以g(x)max＝g(4)＝2a＋6， 因为3a－－(2a＋6)＝a－－6<0， 所以当a∈[2,4]时，g(x)max＝2a＋6， 又4a－8－(2a＋6)＝2a－14， 所以当2≤a≤7时，g(x)max＝2a＋6，当7<a≤8时， g(x)max＝4a－8. 综上可得：M(a)＝ ②因为函数M(a)＝2a＋6，a∈[2,7]与M(a)＝4a－8，a∈(7,8]均在定义域上单调递增，又M(7)＝23，M(8)＝24，所以M(a)max＝24. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$