仿真模拟卷 3（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·仿真模拟卷

仿真模拟卷3 一、单选题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．设集合A＝{x|x<1}，B＝{－1,0,3}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{－1,1} C．{－1,0} D．{－1,0,1,2} 【答案】C 【解析】由已知可得A∩B＝{－1,0}． 故选C. 2．2sin60°cos60°的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】2sin60°cos60°＝2××＝. 故选A. 3．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是(　　) A．3－3i B．3＋i C．－2＋2i D．2＋2i 【答案】A 【解析】复数3i－2的虚部为3，复数3i2＋2i＝－3＋2i的实部为－3，故所求复数为3－3i， 故选A. 4．若f(x)满足f(x＋1)＝2x＋3，则f(0)等于(　　) A．3 B．1 C．5 D．0 【答案】B 【解析】解：因为f(x＋1)＝2x＋3， 令x＋1＝0，解得x＝－1， 所以f(0)＝2×(－1)＋3＝1. 故选B. 5．计算：2lg－lg4－＝(　　) A．10 B．1 C．2 D．lg5 【答案】B 【解析】2lg－lg4－＝lg()2＋lg＝lg5＋lg2＝lg10＝1. 故选B. 6．已知圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，该圆锥的体积为(　　) A．π B．π C．π D．3π 【答案】C 【解析】因圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，则该圆锥的轴截面是等腰直角三角形，其底面圆半径为，高为，所以该圆锥的体积为V＝π×()2×＝π. 故选C. 7．已知平面向量a＝(x,2)，b＝(1,3－x)，若a⊥b，则实数x的值为(　　) A．1 B．2 C．6 D．1或2 【答案】C 【解析】由于a⊥b，所以a·b＝x＋2(3－x)＝0，解得x＝6. 故选C. 8．一个盒子中装有6支圆珠笔，其中有3支一等品，2支二等品和1支三等品．若从中任取2支，则至少有1支一等品的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记事件A＝“至少有1支一等品”，则＝“不含一等品”，“从6支笔中抽取2支”包含的基本事件数为15，其中，“不含一等品”包含的基本事件数为3，即P()＝，则P(A)＝1－＝，故选D. 9．下列命题中，是真命题的是(　　) A．如果ac>bc，那么a>b B．如果ac2>bc2，那么a>b C．如果>，那么a>b D．如果a>b，c>d，那么a－c>b－d 【答案】B 【解析】对于A，如果ac>bc，c<0，那么a<b，故A错误； 对于B，易得c≠0，所以c2>0，所以ac2>bc2化简得a>b，故B正确； 对于C，如果>，c<0，那么a<b，故C错误； 对于D，因为a＝1，b＝0，c＝1，d＝0满足a>b，c>d，那么a－c＝b－d＝0，故D错误．故选B. 10．2019年在阿塞拜疆举行的联合国教科文组织第43届世界遗产大会上，随着木槌落定，良渚古城遗址成功列入《世界遗产名录》，这座见证了中华五千多年文明史的古城迎来了在世界文明舞台上的“高光时刻”．这标志着良渚是实证中华五千多年文明史的圣地，得到了世界的广泛认同．2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检查测出碳14的残留量约为初始值的55．2%，已知死亡生物体内碳14的含量y与生物死亡年数x之间符合：y＝k·，其中k为死亡生物碳14的初始量．据此推断，此水坝大约是距2010年之前________年建造的(参考数据：lg552＝2．74，lg2＝0．30)(　　) A．4912 B．4930 C．4954 D．4966 【答案】D 【解析】依题意＝0.552，两边乘以1000得103·＝552， 两边取以10为底的对数得lg＝lg552， lg103＋lg＝lg552，lg103＋lg2－＝lg552， 3－lg2＝lg552，x＝＝ ＝4966.故选D. 11．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)．则P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】A 【解析】∵，分别表示向量、方向上的单位向量， ∴＋的方向与∠BAC的角平分线一致， 又∵＝＋λ，λ∈[0，＋∞)， ∴－＝＝λ，λ∈[0，＋∞)， ∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致， ∴一定通过△ABC的内心．故选A. 12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1上的点且A1M＝MD1，N是棱CD上的点，记MN与BC所成的角为α，MN与底面ABCD所成的角为β，二面角M－CD－A的平面角为γ，则(　　) A．α≥β≥γ B．α≥γ≥β C．γ≥α≥β D．γ≥β≥α 【答案】B 【解析】作MH⊥AD于H，则MH∥AA1，A1M＝AH，从而HD＝MD1， 而AA1⊥平面ABCD，因此有MH⊥平面ABCD， 过N作NE∥BC交AB于E，过M作MF⊥NE于F，则α＝∠MNF，tan∠MNF＝， 由正方体性质易知∠MDA为二面角M－CD－A的平面角，即γ＝∠MDA，tan∠MDA＝＝＝， NF⊂平面ABCD，则MH⊥NF，同理，MH⊥HN， MF∩MH＝M，MF，MH⊂平面MFH，所以NF⊥平面MFH， 又HF⊂平面MFH，所以FN⊥HF，所以HDNF是矩形，FN＝DH， 由MH⊥平面ABCD知∠MNH＝β，tan∠MNH＝， 由MF≥MH、NH≥HD得≥≥， 即tanα≥tanγ≥tanβ，α，β，γ均为锐角，所以α≥γ≥β， N与D重合时，三角相等．故选B. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选得2分) 13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是(　　) A．若A>B，则sinA>sinB B．若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC是钝角三角形 C．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形 D．若a＝8，c＝10，A＝60°，则符合条件的△ABC有两个 【答案】AB 【解析】对A选项，根据结论大角对大边，则有a>b，又因为正弦定理＝，所以sinA>sinB，故A正确； 对B选项，由sin2A＋sin2B<sin2C可得a2＋b2<c2， ∴cosC<0，△ABC为钝角三角形，故B正确： 对C选项，由acosA＝bcosB可得sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B， ∴A＝B或2A＋2B＝π，∴△ABC是直角三角形或等腰三角形，故C错误； 对D选项，由正弦定理得sinC＝＝>1，故不存在满足条件的△ABC，故D错误．故选AB. 14．已知a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列结论正确的是(　　) A．ab≤4 B．＋≥1 C．2a＋2b≥16 D．a2＋b2≤8 【答案】AB 【解析】A，因为a>0，b>0，所以a＋b≥2⇒ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故本选项正确； B，因为a>0，b>0，所以有＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝1，当且仅当a＝b＝2时取等号，故本选项正确； C，因为2a＋2b≥2＝2＝2＝8，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以本选项不正确； D，因为a>0，b>0，所以有≤⇒2≤⇒a2＋b2≥8，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以本选项不正确，故选AB. 15．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，下列四个命题中真命题是(　　) A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β B．若α⊥γ，β⊥α，则γ∥β C．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β D．若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β 【答案】AD 【解析】A，因为α，β是不重合的平面，m⊥α，m⊥β，所以α∥β，A正确； B，若α⊥γ，β⊥α，α，β，γ是三个两两不重合的平面，可知β，γ可能相交，B错误； C，若m∥α，n∥β，m∥n，α，β可能相交，不一定平行，C错误； D，因为m，n两直线是异面直线，可知不平行，又因为m⊥α，n∥α，则m⊥n，又m⊥α，n⊥β，可知α，β垂直，由m⊥α，μ∥β，即可得a⊥β，D正确． 故选AD. 16．设函数y＝f(x)和y＝f(－x)，若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫作y＝f(x)的“稳定区间”，已知区间[1,2022]为函数y＝的“稳定区间”，则实数a的可能取值是(　　) A．－ B．－ C．0 D． 【答案】AB 【解析】因为y＝f(x)＝，则f(－x)＝＝|2x＋a|，由题意得f(x)＝与f(－x)＝|2x＋a|在区间[1,2022]上同增或同减．若同增，则在区间[1,2022]上恒成立，即所以－2≤a≤－.若同减，则在区间[1,2022]上恒成立，即无解． 综上，实数a的取值范围是，所以A，B选项符合题意．故选AB. 三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分) 17．已知角θ的终边经过点P(－2,1)，则＝________． 【答案】 【解析】因角θ的终边经过点P(－2,1)，则tanθ＝－， 所以＝＝＝＝.故答案为：. 18．我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，且PA＝3，BC＝2，AC＝，则该四面体的外接球的表面积为________． 【答案】16π 【解析】将三棱锥P－ABC还原到长方体中，如图所示： 则长方体的外接球的半径为 2R＝＝＝4，故R＝2， 所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为4πR2＝16π， 故答案为：16π. 19．已知函数f(x)＝则函数f(x)的值域为________．若函数g(x)＝f(x)－k有2个零点，则k的范围是________． 【答案】　[－1，＋∞)　[1,2e) 【解析】因为f(x)＝ 当0≤x<1时，由y＝x＋1>0，y＝ex>0单调递增， ∴f(x)＝(x＋1)ex在[0,1)上单调递增， ∴当0≤x<1时，f(x)＝(x＋1)ex∈[1,2e)， 当x≥1时，所以f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1∈[－1，＋∞)， 综上，函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，作出函数f(x)的图象与直线y＝k，如图所示： 函数g(x)＝f(x)－k有2个零点，即y＝f(x)与y＝k有2个交点，所以1≤k<2e，即k∈[1,2e)． 故答案为：[－1，＋∞)；[1,2e)． 20．在复平面中，已知点A(－1,0)，B(0,3)，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，且满足|z1|＝|z2|＝2，|Z1Z2|＝4，则·的最大值为________． 【答案】2－4 【解析】因为复数z1、z2对应的点为Z1，Z2 且|z1|＝|z2|＝2，则可确定点Z1，Z2在以O为圆心，2为半径的圆上， 又|Z1Z2|＝4，所以Z1Z2为圆的直径，即Z1，Z2关于原点对称，所以＝－. 因为＝＋，＝＋， 所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝(1,0)·(0，－3)－·＋·＋2×2×cos(－π)＝－4＋·， 又||＝＝，||＝2，<，>∈[0，π]， 则cos<，>∈[－1,1]， 所以·＝||·||·cos<，>＝2cos<，>， 即·的最大值为2，所以·的最大值为2－4. 故答案为：2－4. 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 21．(本小题满分11分)居家期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动．开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为200的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查．已知该校高二年级共有学生840人，高三年级共有960人，抽取的样本中高一年级有50人．下表是根据抽样调查情况得到的高一学生日睡眠时间(单位：h)的频率分布表． 分组 频数 频率 [6,6．5) m n [6．5,7) 6 0．12 [7,7．5) 8 0．16 [7．5,8) s 0．24 [8,8．5) 11 0．22 [8．5,9] 9 0．18 合计 50 1 (1)求该校高一学生的总数； (2)求频率分布表中实数m，n，s的值； (3)已知日睡眠时间在区间[6．5,7)内的6名高一学生中，有2名女生，4名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率． 【答案】(1)600人 (2)m＝4，n＝0.08，s＝12 (3) 【解析】 (1)设该校高一学生的总数为x， 由题意＝，解得x＝600， ∴该校高一学生总数为600人． (2)由题意，＝0.24，解得s＝12， m＝50－(6＋8＋s＋11＋9)＝4，n＝＝0.08. (3)记6名高一学生中女生为A，B，男生为1,2,3,4， 从中任选2人的基本事件有AB，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4,12,13,14,23,24,34，共有15个， 记事件M＝“选中的2人恰好为一男一女”， 事件M包含的基本事件有A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，共8个，故P(M)＝. 22．(本小题满分11分)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx． (1)求其最小正周期； (2)求函数y＝f(x)图象的对称中心； (3)讨论函数f(x)在上的单调性． 【答案】(1)T＝π (2)，k∈Z (3)在上单调递增，在上单调递减 【解析】 (1)f(x)＝sin2x＋sinxcosx ＝＋sin2x＝sin＋， 即f(x)＝sin＋， 所以函数的最小正周期T＝＝π； (2)令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z， 所以函数的对称中心为，k∈Z； (3)由x∈，所以2x－∈， 令－≤2x－≤，解得0≤x≤，所以函数在上单调递增， 令≤2x－≤，解得≤x≤，所以函数在上单调递减， 所以函数f(x)在上的单调性为在上单调递增，在上单调递减． 23．(本小题满分11分)设函数f(x)＝2x＋＋b，其中a>0，b∈R． (1)若f(x)在[1,2]上不单调，求a的取值范围； (2)记M(a，b)为|f(x)|在[1,2]上的最大值，求M(a，b)的最小值． 【答案】(1)a∈(2,8) (2)3－2 【解析】(1)由对勾函数函数单调性的定义可知，f(x)在0，上递减，在，＋∞上递增，因此f(x)在[1,2]上不单调的充要条件是1<<2，解得2<a<8，所以a∈(2,8)； (2)令g(x)＝2x＋，比较0<≤1，≥2,1<<2三种情况，可知当1<<2，f(1)＝f(2)，且b＝－时，M(a，b)取得最小值，且最小值为，由f(1)＝f(2)得a＝4，所以g(x)＝g(1)＝6，g(x)＝g＝g()＝4，所以b＝－(3＋2)， 所以M(a，b)的最小值为＝3－2. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$