内容正文:
栏 目 导 航
一 知识梳理
二 典例精练
精英1号 学考笔记 数学
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温 馨 提 示 Wenxintishi
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第16讲 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积
精英1号 学考笔记 数学
第16讲 基本立体图形、
简单几何体的表面积和体积
多边形
平行
垂直
正棱柱
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第16讲 基本立体图形、
简单几何体的表面积和体积
三角形
中心
平行四边形
棱锥
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第16讲 基本立体图形、
简单几何体的表面积和体积
正多边形
正十二面体
封闭
球体
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第16讲 基本立体图形、
简单几何体的表面积和体积
圆柱、圆锥、圆台
球心
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第16讲 基本立体图形、
简单几何体的表面积和体积
矩形
平分
平方
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第16讲 基本立体图形、
简单几何体的表面积和体积
直角
V=sh
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第16讲 基本立体图形、
简单几何体的表面积和体积
S=πrl
S=2πrl
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第16讲 基本立体图形、
简单几何体的表面积和体积
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第16讲 基本立体图形、
简单几何体的表面积和体积
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简单几何体的表面积和体积
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简单几何体的表面积和体积
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第16讲 基本立体图形、
简单几何体的表面积和体积
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简单几何体的表面积和体积
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简单几何体的表面积和体积
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简单几何体的表面积和体积
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第16讲 基本立体图形、
简单几何体的表面积和体积
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简单几何体的表面积和体积
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简单几何体的表面积和体积
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简单几何体的表面积和体积
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简单几何体的表面积和体积
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第16讲 基本立体图形、
简单几何体的表面积和体积
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第16讲 基本立体图形、
简单几何体的表面积和体积
1.多面体:若干个平面________围成的封闭的几何体叫多面体.整个多面体在任何一个面所在平面的同一侧的多面体叫凸多面体.
2.棱柱:如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每相邻两个面的交线互相________,这样的多面体叫棱柱.侧棱不垂直底面的棱柱叫斜棱柱,侧棱________底面的棱柱叫直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫________.
3.棱锥:如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的________,这样的多面体叫作棱锥.如果棱锥的底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的________,这样的棱锥叫正棱锥.
4.平行六面体:底面是____________的四棱柱叫平行六面体.
5.棱台:由平行底面的平面截_____________所得的几何体称为棱台.
6.正多面体:每个面都是有相同边数的______________,且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体叫正多面体.正多面体只有:正四面体,正六面体,正八面体,______________,正二十面体五种.
7.旋转体:曲线以一条直线为旋转轴,旋转一周形成的________的几何体叫旋转体.
8.球:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫球面.球面围成的几何体叫________.
9.圆柱、圆锥、圆台:由矩形绕一边、直角三角形绕直角边、直角梯形绕直角腰旋转一周所得到的封闭的几何体分别称为__________________.
10.大圆:球面被过________的平面截得的圆.小圆:球面被不过球心的平面截得的圆.
11.球心和截面圆心的连线垂直于截面;球心到截面的距离d,球的半径R及截面的半径r,满足关系:____________.
r=eq \r(R2-d2)
12.棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是________;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.
13.平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相________.
14.长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的________和.
15.正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个________三角形.
16.棱柱的体积:________,其中S是底面积,h是棱柱的高.圆柱的体积:___________,其中r是底面半径.
17.棱锥的体积:________,其中S是底面积,h是棱锥的高.圆锥的体积:____________,其中r是底面半径.
V=πr2h
V=eq \f(1,3)Sh
V=eq \f(1,3)πr2h
V=eq \f(4,3)πR3
S=4πR2
18.棱台的体积:____________________,其中S1,S2分别是上、下底面积,h是棱台的高.
圆台的体积:_____________________,其中r1,r2分别是上、下底面半径,h是圆台的高.
19.圆锥的侧面积:________,其中r是底面半径,l是母线的长.圆柱的侧面积:__________,其中r是底面半径,l是母线的长.圆台的侧面积:____________,其中r1,r2分别是上、下底面半径,l是母线的长.
20.球的体积:______________,其中R是球的半径.球的表面积:______________,其中R是球的半径.
V=eq \f(1,3)h(S1+eq \r(S1S2)+S2)
V=eq \f(1,3)πh(req \o\al(2,1)+r1r2+req \o\al(2,1))
S=π(r1+r2)l
(多选)两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,把它们拼接在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,对角线的长度可以是( )
A.eq \r(77)cm
B.7eq \r(2)cm
C.5eq \r(5)cm
D.10eq \r(2)cm
【答案】ABC
【解析】新的长方体共有图1、图2、图3三种情况(单位:cm),对角线的长度分别为:
l1=eq \r(82+32+52)=eq \r(98)=7eq \r(2)(cm),
l2=eq \r(42+62+52)=eq \r(77)(cm),
l3=eq \r(42+32+102)=5eq \r(5)(cm),
故选ABC.
若长方体的对角线长度为8,则长方体的表面积的最大值为( )
A.32
B.128
C.64
D.256
【答案】B
【解析】设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则有a2+b2+c2=64,
而长方体的表面积S=2ab+2bc+2ca≤2(a2+b2+c2)=128,仅当a=b=c=eq \f(8\r(3),3)时,取到最大值,故选B.
如图,一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形,另一个是边长为1的正三角形,这样的三棱锥的体积为___________________.(写出一个可能值)
【答案】eq \f(\r(2),24)(答案不唯一)
【解析】根据题意知,△ABD,△ACD是等腰直角三角形,△ABC为边长为1的正三角形,
∴三棱锥的体积为eq \f(1,6)DA·DB·DC=eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3=eq \f(\r(2),24).(答案不唯一)
在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直.设PA=x,PB=y,PC=1,如果x+y=4,则此三棱锥体积的最大值是________.
【答案】eq \f(2,3)
【解析】V=eq \f(1,3)×eq \f(1,2)xy=eq \f(1,6)xy≤eq \f(1,6)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x+y,2)))2=eq \f(2,3),
当x=y=2时取到最小值.
已知半径为R的球内切于1个圆锥,求圆锥全面积的最小值.
【答案】右图是圆锥的轴截面,设圆锥的底面半径为x,母线长为y,∠O1AO=θ.定义cotθ=eq \f(1,tanθ),
则x=Rcotθ,y=eq \f(x,cos2θ)=eq \f(Rcotθ,cos2θ),
∴S=πx2+πxy=πR2cot2θ+πRcotθ·eq \f(Rcotθ,cos2θ),∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4)))⇒tanθ∈(0,1),
tan2θ(1-tan2θ)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan2θ+\f(1-tan2θ,2)))2=eq \f(1,4),
∴S=2πR2·eq \f(1,tan2θ1-tan2θ)≥8πR2,
当且仅当tan2θ=1-tan2θ⇒tanθ=eq \f(\r(2),2),即tanθ=eq \f(\r(2),2)时取等号,故圆锥全面积的最小值为8πR2.
三棱锥S-ABC的底面是边长为4的正三角形ABC,又已知AS=BS=eq \r(19),CS=3,求这个三棱锥的外接球的表面积.
【答案】作CK⊥AB交AB于K,其延长线交外接球于L,∴SK⊥AB,球心O位于△LSC内,CK=2eq \r(3),LC=eq \f(8\r(3),3),SK=eq \r(15).∴cos∠SCL=eq \f(\r(3),6),LS=eq \r(\f(67,3)).∴由正弦定理得2R=eq \f(LS,sin∠SCL)=2eq \r(\f(67,11)),
∴S球=4πr2=eq \f(268,11)π.
$$