第14讲 平面向量的数量积（课件PPT）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

栏 目 导 航 一　知识梳理 二　典例精练 精英1号　学考笔记　数学 04 如需返回目录，可按ESC键返回。 01 本光盘课件全部为PPT格式，教师使用时如需加工可把光盘中的PPT文件复制到本地磁盘上进行编辑。 03 进入目录,可按上下键、空格键或点击鼠标等进行浏览。 02 光盘成盘为自动播放模式，如不能播放则是电脑做了拦截，可将电脑调至自动播放模式，也可直接从“我的电脑”中，双击相应光盘图标或在此处右键点击“打开”，然后双击光盘中的“play.bat”文件即可以全屏的方式播放（点击后有缓冲过程，稍加等待后,便可出现相关内容）。 温 馨 提 示 Wenxintishi 3 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 [0，π] 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 谢谢观看！ 精英1号　学考笔记　数学 　 第14讲　平面向量的数量积 知识点一：平面向量数量积的有关概念 1.向量的夹角 (1)已知两个非零向量a和b，如图所示，作eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(OB,\s\up12(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角，记作<a，b>. (2)范围：夹角θ的范围是________. 当θ＝0时，两向量a，b同向； 当θ＝eq \f(π,2)时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b； 当θ＝π时，两向量a，b反向. 2.数量积的定义 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角，记作θ＝<a，b>. 规定：零向量与任一向量的数量积为零.记作0·a＝0. 3.向量的投影向量 (1)定义：在平面内任取一点O，作eq \o(OM,\s\up12(→))＝a，eq \o(ON,\s\up12(→))＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \o(OM1,\s\up12(→))就是向量a在向量b上的投影向量. (2)投影向量计算公式 当θ为锐角(如图1)时，eq \o(OM1,\s\up12(→))与e方向相同，λ＝|eq \o(OM1,\s\up12(→))|＝|a|cosθ，所以eq \o(OM1,\s\up12(→))＝|eq \o(OM1,\s\up12(→))|e＝|a|cosθe； 当θ为直角(如图2)时，λ＝0，所以eq \o(OM1,\s\up12(→))＝0＝|a|coseq \f(π,2)e； 当θ为钝角(如图3)时，eq \o(OM1,\s\up12(→))与e方向相反，所以λ＝－|eq \o(OM1,\s\up12(→))|＝－|a|cos∠MOM1＝－|a|cos(π－θ)＝|a|cosθ，即eq \o(OM1,\s\up12(→))＝|a|cosθe. 当θ＝0时，λ＝|a|，所以eq \o(OM1,\s\up12(→))＝|a|e＝|a|cos0e； 当θ＝π时，λ＝－|a|，所以eq \o(OM1,\s\up12(→))＝－|a|e＝|a|cosπe. 综上可知，对于任意的θ∈[0，π]，都有eq \o(OM1,\s\up12(→))＝________. 知识点二：平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a和b的夹角： 1.数量积a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2. 2.模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)). 3.夹角：cosθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝___________________. 4.非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5.三角不等式：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔x1x2＋y1y2≤eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq \r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)). |a|cosθe eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))) 知识点三：平面向量数量积的运算 1.a·b＝b·a. 2.λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识点四：极化恒等式 1.平行四边形形式：若在平行四边形ABCD中，则eq \o(AB,\s\up12(→))·eq \o(AD,\s\up12(→))＝ ________________. 2.三角形形式：在△ABC中，M为BC的中点，所以eq \o(AB,\s\up12(→))·eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(AM,\s\up12(→))2－eq \o(MB,\s\up12(→))2＝eq \o(AM,\s\up12(→))2－eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up12(→))2. eq \f(1,4)(eq \o(AC,\s\up12(→))2－eq \o(DB,\s\up12(→))2) 5.常用结论 1.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 2.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 3.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 【答案】C 【解析】∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4b， 又∵|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，|a－2b|＝3， ∴9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b， ∴a·b＝1，故选C. 已知向量a与b的夹角为60°，且|a|＝2，|a－2b|＝2eq \r(3)，则|b|＝(　　) A.eq \r(5) B.1 C.2 D.4 【答案】C 【解析】向量a，b夹角为60°，且|a|＝2，|a－2b|＝2eq \r(3)， ∴(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝22－4×2×2|b|×cos60°＋4|b|2＝12， 即|b|2－|b|－2＝0， 解得|b|＝2或|b|＝－1(舍)， ∴|b|＝2，故选C. 已知eq \o(AB,\s\up12(→))＝(2,3)，eq \o(AC,\s\up12(→))＝(3，t)，eq \o(BC,\s\up12(→))＝1，则eq \o(AB,\s\up12(→))·eq \o(BC,\s\up12(→))＝(　　) A.－3 B.－2 C.2 D.3 【答案】C 【解析】∵eq \o(AB,\s\up12(→))＝(2,3)，eq \o(AC,\s\up12(→))＝(3，t)，∴eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝(1，t－3)，∴|eq \o(BC,\s\up12(→))|＝eq \r(12＋t－32)＝1，解得t＝3，即eq \o(BC,\s\up12(→))＝(1,0)，则eq \o(AB,\s\up12(→))·eq \o(BC,\s\up12(→))＝(2,3)·(1,0)＝2×1＋3×0＝2.故选C. (多选)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,1)，则下列说法正确的是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))∥a B.向量a在向量b上的投影向量为－eq \f(1,2)b C.a与a－b的夹角的余弦值为eq \f(\r(5),5) D.若c＝eq \f(\r(5),5)，－eq \f(2\r(5),5)，则a⊥c 【答案】BD 【解析】a＋b＝(－1,2)，∵－1×1≠2×2，∴a＋b与a不平行，故A错误； 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉eq \f(b,|b|)＝eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(2×－3＋1,－32＋1)·b＝－eq \f(1,2)b，故B正确； a－b＝(5,0)，∴a与a－b的夹角的余弦值cos〈a，a－b〉＝eq \f(a·a－b,|a||a－b|)＝eq \f(2×5,\r(22＋1)×5)＝eq \f(2\r(5),5)， 故C错误； ∵2×eq \f(\r(5),5)＋1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝0，∴a·c＝0， ∴a⊥c，故D正确． 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2eq \r(3)，M是线段AC上一动点，若以M为圆心，1为半径的圆与线段AC交于P，Q两点，则eq \o(BP,\s\up12(→))·eq \o(BQ,\s\up12(→))的最小值为(　　) A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4 【答案】B 【解析】eq \o(BP,\s\up12(→))·eq \o(BQ,\s\up12(→))＝|eq \o(BM,\s\up12(→))|2－|eq \o(MP,\s\up12(→))|2＝|eq \o(BM,\s\up12(→))|2－1≥3－1＝2. 如图放置边长为1的正方形ABCD，顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴上(含原点)滑动，则eq \o(BC,\s\up12(→))·eq \o(OC,\s\up12(→))的最大值为________. 【答案】2 【解析】如图，BC，AD中点E，F，eq \o(OB,\s\up12(→))·eq \o(OC,\s\up12(→))＝eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up12(→))＋\o(OC,\s\up12(→))2－\o(OB,\s\up12(→))－\o(OC,\s\up12(→))2))＝eq \f(1,4)(2OE)2－eq \o(BC,\s\up12(→))2eq \o(OE,\s\up12(→))2－eq \f(1,4)， OE＜OF＋EF＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)⇒eq \o(OB,\s\up12(→))·eq \o(OC,\s\up12(→))≤eq \f(9,4)－eq \f(1,4)＝2. $$