第12讲 平面向量的概念和线性运算（课件PPT）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

精英1号 生物 知识梳理手册 栏 目 导 航 一　知识梳理 二　典例精练 精英1号　学考笔记　数学 04 如需返回目录，可按ESC键返回。 01 本光盘课件全部为PPT格式，教师使用时如需加工可把光盘中的PPT文件复制到本地磁盘上进行编辑。 03 进入目录,可按上下键、空格键或点击鼠标等进行浏览。 02 光盘成盘为自动播放模式，如不能播放则是电脑做了拦截，可将电脑调至自动播放模式，也可直接从“我的电脑”中，双击相应光盘图标或在此处右键点击“打开”，然后双击光盘中的“play.bat”文件即可以全屏的方式播放（点击后有缓冲过程，稍加等待后,便可出现相关内容）。 温 馨 提 示 Wenxintishi 3 第12讲　平面向量的概念和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 大小 方向 长度 模 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 相同或相反 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 不共线 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 谢谢观看！ 精英1号　学考笔记　数学 　 第12讲　平面向量的概念 和线性运算 知识点一：平面向量的有关概念 (1)定义：既有________又有________的量叫作向量，向量的大小叫作向量的________(或________). (2)向量的模：向量eq \o(AB,\s\up12(→))的大小，也就是向量eq \o(AB,\s\up12(→))的长度，记作|eq \o(AB,\s\up12(→))|. (3)特殊向量 ①零向量：长度为0的向量，记作：0，其方向是任意的. ②单位向量：长度等于1个单位长度的向量. ③平行向量：方向____________的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行. ④相等向量：长度相等且方向相同的向量. ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量. 知识点二：向量的线性运算和向量共线定理 (1)向量的线性运算(见下表) 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的 运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 a＋b＝b＋a ②结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b 的和的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点三：平面向量的基本定理和性质 1.共线向量基本定理 如果a＝λb(λ∈R)，则a∥b；反之，如果a∥b且b≠0，则一定存在唯一的实数λ，使a＝λb.(口诀：数乘即得平行，平行必有数乘) 2.平面向量基本定理 如果e1和e2是同一个平面内的两个__________________向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存在唯一的一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2，我们把不共线向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 注意　由平面向量基本定理可知：只要向量e1与e2不共线，平面内的任一向量a都可以分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式，并且这样的分解是唯一的.λ1e1＋λ2e2叫作e1，e2的一个线性组合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础. 3.三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数λ，μ，使eq \o(OC,\s\up12(→))＝λeq \o(OA,\s\up12(→))＋μeq \o(OB,\s\up12(→))，其中λ＋μ＝1，O为平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握. A，B，C三点共线 ⇔存在唯一的实数λ，使得eq \o(AC,\s\up12(→))＝λeq \o(AB,\s\up12(→)) ⇔存在唯一的实数λ，使得 eq \o(OC,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋λeq \o(AB,\s\up12(→)) ⇔存在唯一的实数λ，使得 eq \o(OC,\s\up12(→))＝(1－λ)eq \o(OA,\s\up12(→))＋λeq \o(OB,\s\up12(→)) ⇔存在λ＋μ＝1，使得 eq \o(OC,\s\up12(→))＝λeq \o(OA,\s\up12(→))＋μeq \o(OB,\s\up12(→)). 如图所示，方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq \o(OP,\s\up12(→))＋eq \o(OQ,\s\up12(→))＝(　　) A.eq \o(OH,\s\up12(→))　　　　B.eq \o(OG,\s\up12(→))　　　　 C.eq \o(EO,\s\up12(→))　　　　D.eq \o(FO,\s\up12(→)) 【答案】D 【解析】在方格纸上作出eq \o(OP,\s\up12(→))＋eq \o(OQ,\s\up12(→))，如图所示，则容易看出eq \o(OP,\s\up12(→))＋eq \o(OQ,\s\up12(→))＝eq \o(FO,\s\up12(→)).故选D. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \o(EB,\s\up12(→))＝(　　) A.eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up12(→)) B.eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up12(→)) C.eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up12(→)) D.eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up12(→)) 【答案】A 【解析】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，∴eq \o(EB,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AE,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up12(→)) ＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→)))＝eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up12(→))，故选A. 如图，设O是△ABC内部一点，且eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))＝－2eq \o(OB,\s\up12(→))，则△ABC与△AOC的面积之比为________. 【答案】2∶1 【解析】取AC的中点D，连接OD，则eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))＝2eq \o(OD,\s\up12(→))，所以eq \o(OB,\s\up12(→))＝－eq \o(OD,\s\up12(→))，所以O是AC边上的中线BD的中点，所以S△ABC＝2S△AOC，所以△ABC与△AOC的面积之比为2∶1. (多选)设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A.若eq \o(AM,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up12(→))，则M是边BC的中点 B.若eq \o(AM,\s\up12(→))＝2eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))，则点M在边BC的延长线上 C.若eq \o(AM,\s\up12(→))＝－eq \o(BM,\s\up12(→))－eq \o(CM,\s\up12(→))，则点M是△ABC的重心 D.若eq \o(AM,\s\up12(→))＝xeq \o(AB,\s\up12(→))＋yeq \o(AC,\s\up12(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(1,2) 【答案】ACD 【解析】若eq \o(AM,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up12(→))，则M是边BC的中点，故A正确； 若eq \o(AM,\s\up12(→))＝2eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))，即有eq \o(AM,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))，即eq \o(BM,\s\up12(→))＝eq \o(CB,\s\up12(→))，则点M在边CB的延长线上，故B错误； 若eq \o(AM,\s\up12(→))＝－eq \o(BM,\s\up12(→))－eq \o(CM,\s\up12(→))，即eq \o(AM,\s\up12(→))＋eq \o(BM,\s\up12(→))＋eq \o(CM,\s\up12(→))＝eq \o(0,\s\up12(→))，则点M是△ABC的重心，故C正确； 若eq \o(AM,\s\up12(→))＝xeq \o(AB,\s\up12(→))＋yeq \o(AC,\s\up12(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，可得2eq \o(AM,\s\up12(→))＝2xeq \o(AB,\s\up12(→))＋2yeq \o(AC,\s\up12(→))，设eq \o(AN,\s\up12(→))＝2eq \o(AM,\s\up12(→))， 由图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(1,2)，故D正确．故选ACD. 已知e1，e2是平面内的一组基底，eq \o(OA,\s\up12(→))＝3e1＋2e2，eq \o(OB,\s\up12(→))＝4e1＋ke2，eq \o(OC,\s\up12(→))＝5e1－4e2，若A，B，C三点共线，则实数k的值为(　　) A.－1　　　 B.0　　　 C.1　　　 D.2 【答案】A 【解析】∵eq \o(OA,\s\up12(→))＝3e1＋2e2，eq \o(OB,\s\up12(→))＝4e1＋ke2，eq \o(OC,\s\up12(→))＝5e1－4e2， ∴eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))＝(4e1＋ke2)－(3e1＋2e2)＝e1＋(k－2)e2， eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))＝(5e1－4e2)－(3e1＋2e2)＝2e1－6e2， 又∵A，B，C三点共线， ∴eq \o(AB,\s\up12(→))＝λeq \o(AC,\s\up12(→))，即e1＋(k－2)e2＝λ(2e1－6e2)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2λ＝1，,－6λ＝k－2，))解得k＝－1，λ＝eq \f(1,2)，故选A. 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝eq \f(1,2)DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.若eq \o(AM,\s\up12(→))＝meq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(AN,\s\up12(→))＝neq \o(AC,\s\up12(→))，则(　　) A.m＋n是定值，定值为2 B.2m＋n是定值，定值为3 C.eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)是定值，定值为2 D.eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)是定值，定值为3 【答案】D 【解析】方法一：如图，过点C作CE平行于MN，交AB于点E.由eq \o(AN,\s\up12(→))＝neq \o(AC,\s\up12(→))可得eq \f(AC,AN)＝eq \f(1,n)，∴eq \f(AE,EM)＝eq \f(AC,CN)＝eq \f(1,n－1)，由BD＝eq \f(1,2)DC可得eq \f(BM,ME)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(AM,AB)＝eq \f(n,n＋\f(n－1,2))＝eq \f(2n,3n－1)，∵eq \o(AM,\s\up12(→))＝meq \o(AB,\s\up12(→))， ∴m＝eq \f(2n,3n－1)， 整理可得eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝3. 方法二：∵M，D，N三点共线，∴eq \o(AD,\s\up12(→))＝λeq \o(AM,\s\up12(→))＋(1－λ)eq \o(AN,\s\up12(→)). 又eq \o(AM,\s\up12(→))＝meq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(AN,\s\up12(→))＝neq \o(AC,\s\up12(→))，∴eq \o(AD,\s\up12(→))＝λmeq \o(AB,\s\up12(→))＋(1－λ)·neq \o(AC,\s\up12(→)).又eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(DC,\s\up12(→))，∴eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up12(→))，∴eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up12(→)).比较系数知λm＝eq \f(2,3)，(1－λ)n＝eq \f(1,3)，∴eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝3，故选D. $$