第11讲 三角恒等变换（课件PPT）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

栏 目 导 航 一　知识梳理 二　典例精练 精英1号　学考笔记　数学 04 如需返回目录，可按ESC键返回。 01 本光盘课件全部为PPT格式，教师使用时如需加工可把光盘中的PPT文件复制到本地磁盘上进行编辑。 03 进入目录,可按上下键、空格键或点击鼠标等进行浏览。 02 光盘成盘为自动播放模式，如不能播放则是电脑做了拦截，可将电脑调至自动播放模式，也可直接从“我的电脑”中，双击相应光盘图标或在此处右键点击“打开”，然后双击光盘中的“play.bat”文件即可以全屏的方式播放（点击后有缓冲过程，稍加等待后,便可出现相关内容）。 温 馨 提 示 Wenxintishi 3 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 谢谢观看！ 精英1号　学考笔记　数学 　 第11讲　三角恒等变换 2cos2α－1 1－2sin2α eq \f(2tanα,1－tan2α) 知识点一：两角和与差的正余弦与正切 1.sin(α±β)＝___________________； 2.cos(α±β)＝___________________； 3.tan(α±β)＝___________________. 知识点二：二倍角公式 1.sin2α＝2sinαcosα； 2.cos2α＝cos2α－sin2α＝__________＝____________； 3.tan2α＝____________. sinαcosβ±cosαsinβ cosαcosβ∓sinαsinβ eq \f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ) eq \r(a2＋b2) 知识点三：降次(幂)公式 sinαcosα＝eq \f(1,2)________；sin2α＝________；cos2α＝________. 知识点四：辅助角公式 asinα＋bcosα＝________sin(α＋φ)其中sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，tanφ＝eq \f(b,a). sin2α eq \f(1－cos2α,2) eq \f(1＋cos2α,2) 【方法技巧与总结】 1.两角和与差正切公式变形 tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα tanβ). 2.降幂公式与升幂公式 sin2α＝eq \f(1－cos2α,2)；cos2α＝eq \f(1＋cos2α,2)；sinαcosα＝eq \f(1,2)sin2α； 1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2. 3.其他常用变式 sin2α＝eq \f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq \f(2tanα,1＋tan2α)； cos2α＝eq \f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)； taneq \f(α,2)＝eq \f(sinα,1＋cosα)＝eq \f(1－cosα,sinα). 4.拆分角问题： (1)α＝2·eq \f(α,2)；α＝(α＋β)－β； (2)α＝β－(β－α)； (3)α＝eq \f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]； (4)β＝eq \f(1,2)[(α＋β)－(α－β)]； (5)eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \f(π,4)－α. 注意　把特殊的角也看成已知角，如α＝eq \f(π,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)). cos75°cos15°－sin255°·sin165°的值是(　　) A.－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.0 【答案】B tan255°＝(　　) A.－2－eq \r(3) B.－2＋eq \r(3) C.2－eq \r(3) D.2＋eq \r(3) 【答案】D 【解析】tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°) ＝eq \f(tan45°＋tan30°,1－tan45°tan30°)＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝2＋eq \r(3). 已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝(　　) A.eq \f(\r(5),3)　　　　B.eq \f(2,3)　　　　C.eq \f(1,3)　　　　D.eq \f(\r(5),9) 【答案】A 【解析】3cos2α－8cosα＝5，得6cos2α－8cosα－8＝0，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－eq \f(2,3)或cosα＝2(舍去)，又∵α∈(0，π)，∴sinα＝eq \r(1－cos2α)＝eq \f(\r(5),3)，故选A. 已知tanθ＝2，则cos2θ＝________，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))________. 【答案】－eq \f(3,5)　eq \f(1,3) 【思路导引】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2θ，根据两角差正切公式得taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))). 【解析】cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq \f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝－eq \f(3,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(tanθ－1,1＋tanθ)＝eq \f(1,3)，故答案为：－eq \f(3,5)；eq \f(1,3). 已知函数f(x)＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋eq \f(1,2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))). (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调增区间. 【答案】(1)f(x)＝eq \f(1,4)sinx＋eq \f(\r(3),3)cosx＋eq \f(\r(3),4)cosx＋eq \f(1,4)sinx，得f(x)＝eq \f(1,2)sinx＋eq \f(\r(3),2)cosx＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，所以最小正周期为2π. (2)可知－eq \f(π,2)＋2kπ≤x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ， 得－eq \f(5π,6)＋2kπ≤x≤eq \f(π,6)＋2kπ， 故单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)＋2kπ，\f(π,6)＋2kπ))，k∈Z. 已知函数f(x)＝eq \r(3)sinx·cosx＋cos2x＋eq \f(3,2). (1)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))时，求函数y＝f(x)的值域； (2)已知ω>0，函数g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ωx,2)＋\f(π,12)))，若函数g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(π,6)))上是增函数，求ω的最大值. 【答案】(1)f(x)＝eq \f(\r(3),2)sin2x＋eq \f(1＋cos2x,2)＋eq \f(3,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2， ∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，∴2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))， ∴－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤1， ∴函数y＝f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)). (2)g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ωx,2)＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))＋2， 当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(π,6)))，ωx＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2ωπ,3)＋\f(π,3)，\f(ωπ,6)＋\f(π,3)))， ∵g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(π,6)))上是增函数，且ω＞0， ∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2ωπ,3)＋\f(π,3)，\f(ωπ,6)＋\f(π,3)))⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(2ωπ,3)＋\f(π,3)≥－\f(π,2)＋2kπ，,\f(ωπ,6)＋\f(π,3)≤\f(π,2)＋2kπ，))化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ω≤\f(5,4)－3k，,ω≤1＋12k，)) ∵ω＞0，∴－eq \f(1,12)＜k＜eq \f(5,12)，k∈Z，∴k＝0，解得ω≤1， 因此，ω的最大值为1. $$