第10讲 三角函数的图象和性质（课件PPT）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

栏 目 导 航 一　知识梳理 二　典例精练 精英1号　学考笔记　数学 04 如需返回目录，可按ESC键返回。 01 本光盘课件全部为PPT格式，教师使用时如需加工可把光盘中的PPT文件复制到本地磁盘上进行编辑。 03 进入目录,可按上下键、空格键或点击鼠标等进行浏览。 02 光盘成盘为自动播放模式，如不能播放则是电脑做了拦截，可将电脑调至自动播放模式，也可直接从“我的电脑”中，双击相应光盘图标或在此处右键点击“打开”，然后双击光盘中的“play.bat”文件即可以全屏的方式播放（点击后有缓冲过程，稍加等待后,便可出现相关内容）。 温 馨 提 示 Wenxintishi 3 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 2kπ 2kπ＋π 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 kπ 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 谢谢观看！ 精英1号　学考笔记　数学 　 第10讲　三角函数的图象和性质 知识点一：正弦函数和余弦函数的图象与性质 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：________________________________________. (2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：________________________________________. (0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0) (0,1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1) 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(见下表，表中k∈Z) 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 R R eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)) 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (kπ，0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0)) 对称轴 方程 x＝kπ＋eq \f(π,2) x＝kπ 无 递增区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2))) [2kπ－π，2kπ] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2))) 递减区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2))) [2kπ，2kπ＋π] 无 注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是eq \f(T,2)；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是eq \f(T,2)；正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离是eq \f(T,4). －eq \f(π,2)＋2kπ 知识点二：y＝Asin(wx＋φ)与y＝Acos(wx＋φ)(A>0，w>0)的图象与性质 1.最小正周期：T＝________. 2.定义域与值域：y＝Asin(wx＋φ)，y＝Acos(wx＋φ)的定义域为R，值域为________. 3.最值 (1)对于y＝Asin(wx＋φ)， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(当wx＋φ＝　　　　k∈Z时，,函数取得最大值A；,当wx＋φ＝　　　　　　　k∈Z时，,函数取得最小值－A.)) eq \f(2π,w) [－A，A] eq \f(π,2)＋2kπ (2)对于y＝Acos(wx＋φ)， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(当wx＋φ＝　　　　k∈Z时，,函数取得最大值A；,当wx＋φ＝　　　　　　k∈Z时，,函数取得最小值－A.)) 4.对称轴与对称中心 (1)对于y＝Asin(wx＋φ)， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(当wx0＋φ＝kπ＋\f(π,2)k∈Z，,即sinwx0＋φ＝±1时，,y＝Asinwx＋φ的对称轴为x＝x0；,当wx0＋φ＝kπk∈Z，,即sinwx0＋φ＝0时，,y＝Asinwx＋φ的对称中心为x0，0.)) (2)对于y＝Acos(wx＋φ)， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(当wx0＋φ＝　　　　k∈Z，,即coswx0＋φ＝±1时，,y＝Acoswx＋φ的对称轴为x＝x0；,当wx0＋φ＝　　　　　　　k∈Z，,即coswx0＋φ＝0时，,y＝Acoswx＋φ的对称中心为x0，0.)) 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点的位置. kπ＋eq \f(π,2) 5.单调性 (1)对于y＝Asin(wx＋φ)， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(wx＋φ∈　　　　　　　　　k∈Z⇒增区间；,wx＋φ∈[\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ],k∈Z⇒减区间.)) (2)对于y＝Acos(wx＋φ)， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(wx＋φ∈　　　　　　　　　k∈Z⇒增区间；,wx＋φ∈[2kπ，2kπ＋π]k∈Z⇒,减区间.)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ)) [－π＋2kπ，2kπ] 6.平移与伸缩 由函数y＝sinx的图象变换为函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋3的图象的步骤： 方法一：x→x＋eq \f(π,3)→2x＋eq \f(π,3).先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”(相—期—幅)三角函数图象，使之变形. y＝sinx的图象 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象eq \o(――――――――――――――――→,\s\up12(所有点的纵坐标变为原来的2倍),\s\do10(横坐标不变)) y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象eq \o(――――――――→,\s\up12(向上平移3个单位)) y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋3 方法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x→2x→2x＋\f(π,3))).先周期变换，后相位变换，再振幅变换. y＝sinx的图象 y＝sin2x的图象 y＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象 eq \o(――――――――――――――→,\s\up12(所有点的纵坐标变为原来的2倍),\s\do10(横坐标不变)) y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象eq \o(――――――――→,\s\up12(向上平移3个单位))y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋3 注：在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期，即“想欺负”)，但先伸缩后平移(先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x而言的，即图象变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角(wx＋φ)”变化多少. (多选)设函数f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的一个周期为－2π B.y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(8π,3)对称 C.f(x＋π)的一个零点为x＝eq \f(π,6) D.f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))单调递减 【答案】ABC 【解析】∵f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的周期为2kπ，k∈Z， ∴A正确；∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8π,3)))＝cos3π＝－1，∴B正确； 设g(x)＝f(x＋π)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4π,3)))，而geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝coseq \f(3π,2)＝0，C正确；f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))单调递增，D错误．故选ABC. (多选)关于函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，下列说法正确的是(　　) A.是奇函数 B.在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增 C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π 【答案】BC 【解析】函数y＝tan2x－eq \f(π,3)是非奇非偶函数，A错；在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，B对；最小正周期为eq \f(π,2)，D错；由2x－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z得x＝eq \f(kπ,4)＋eq \f(π,6)，当k＝0时，x＝eq \f(π,6)，所以它的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))中心对称，C对．故选BC. 由y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x－\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为(　　) A.y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))) B.y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6))) C.y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,12))) D.y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12x－\f(π,6))) 【答案】A 【解析】由y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x－\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，可得y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋2π－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x－\f(π,6)))的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))的图象，故所得图象对应的函数解析式为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))，故选A. 为得到函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin2x的图象(　　) A.向右平移eq \f(5π,12)个单位长度 B.向左平移eq \f(5π,12)个单位长度 C.向右平移eq \f(5π,6)个单位长度 D.向左平移eq \f(5π,6)个单位长度 【答案】B 【解析】∵y＝sin2x＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))，y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,12)))－\f(π,2)))，∴将函数y＝sin2x的图象向左平移eq \f(5π,12)个单位长度可得到函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象．故选B. 已知函数f(x)＝cosωx－eq \r(3)sinωx(ω>0)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,12)))上是单调函数，则ω的最大值是(　　) A.2 B.4 C.8 D.10 【答案】B 设函数f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(ω>0).若f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________. 【答案】eq \f(2,3) $$