第9讲 三角函数的概念和诱导公式（课件PPT）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

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(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是_____________________. (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在________上，就认为这个角不属于任何一个象限. {β|β＝k·360°＋α，k∈Z} (4)象限角的集合表示方法： eq \f(1,2)|α|·r2 2.弧度制 (1)定义：把长度等于________的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝________rad，1rad＝________°. (3)扇形的弧长公式：l＝________.扇形的面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝________. eq \f(π,180) eq \f(180,π) |α|·r 3.任意角的三角函数 (1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________(x≠0). (2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距离为r，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝eq \f(y,x)(x≠0). eq \f(y,x) eq \f(y,r) eq \f(x,r) 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象 限符号 第二象 限符号 第三象 限符号 第四象 限符号 y＝sinα R ＋ ＋ － － y＝cosα R ＋ － － ＋ y＝tanα {α|α≠kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z} ＋ － ＋ － 【记忆口诀】三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 知识点二：同角三角函数基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝________. (2)商数关系：eq \f(sinα,cosα)＝______________________. 知识点三：三角函数的诱导公式 诱导 公式一 sin(2kπ＋α)＝sinα cos(2kπ＋ α)＝cosα tan(2kπ＋α) ＝tanα 诱导 公式二 sin(π＋α)＝ －sinα cos(π＋α)＝ －cosα tan(π＋α)＝tanα tanαa≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z 诱导 公式三 sin(－α)＝－sinα cos(－α)＝cosα tan(－α)＝－tanα 诱导 公式四 sin(π－α)＝sinα cos(π－α)＝ －cosα tan(π－α)＝tanα 诱导 公式五 sin(eq \f(π,2)－α)＝cosα cos(eq \f(π,2)－α)＝sinα / 诱导 公式六 sin(eq \f(π,2)＋α)＝cosα cos(eq \f(π,2)＋α)＝ －sinα / 诱导 公式七 sineq \f(3π,2)－α＝ －cosα coseq \f(3π,2)－α＝ －sinα / 诱导 公式八 sineq \f(3π,2)＋α＝ －cosα coseq \f(3π,2)＋α＝sinα / 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：(1)先将诱导三角函数式中的角统一写作n·eq \f(π,2)±α.(2)无论角α有多大，一律视为锐角，判断n·eq \f(π,2)±α所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负.(3)当n为奇数时，“奇变”，正变余，余变正；当n为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可. 【方法技巧与总结】 1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化. 2.“sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα”方程思想知一求二. (sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinα·cosα＝1＋sin2α (sinα－cosα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－sin2α (sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2 (1)已知角θ的终边经过点P(x,3)(x<0)，且cosθ＝eq \f(\r(10),10)x，则x等于(　　) A.－1　　　B.－eq \f(1,3)　　　C.－3　　　D.－eq \f(2\r(2),3) 【答案】A 【解析】cosθ＝eq \f(x,\r(x2＋9))＝eq \f(\r(10),10)x，x＜0，∴x＝－1. (2)已知扇形的周长为8 cm，则该扇形的面积S最大时，圆心角的大小为(　　) A.4弧度　　　B.3弧度　　　C.2弧度　　　D.1弧度 【答案】C 【解析】设扇形半径为r，弧长为l.∵扇形的周长为8 cm，∴2r＋l＝8，即l＝8－2r(0＜r＜4)， ∴S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)(8－2r)·r＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，∴当半径r＝2 cm时，扇形的面积最大，为4 cm2， 此时，α＝eq \f(l,r)＝eq \f(4,2)＝2(rad)． (1)若sinαtanα＜0，且eq \f(cosα,tanα)<0，则角α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【答案】C 【解析】由题，因为sinαtanα＜0，则α的终边落在第二象限或第三象限；因为eq \f(cosα,tanα)＜0，则α的终边落在第三象限或第四象限．综上，α的终边落在第三象限． (2)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图2，在半圆O(半径为20 cm)中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当eq \f(S1,S2)＝eq \f(\r(5)－1,2)时，扇形的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径为________________cm. 【答案】10(eq \r(5)－1) 【解析】设∠AOB＝θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1， ∵eq \f(S1,S2)＝eq \f(\r(5)－1,2)，所以eq \f(\f(1,2)θr2－\f(1,2)θr\o\al(2,1),\f(1,2)θr2)＝eq \f(\r(5)－1,2)，即eq \f(r2－r\o\al(2,1),r2)＝eq \f(\r(5)－1,2)， 所以eq \f(r\o\al(2,1),r2)＝eq \f(3－\r(5),2)＝eq \f(6－2\r(5),4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))2，所以eq \f(r1,r)＝eq \f(\r(5)－1,2)，又r＝20 cm，所以r1＝10(eq \r(5)－1)cm， 故答案为：10(eq \r(5)－1)． (多选)给出下列命题中，正确的是(　　) A.存在实数α，使sinαcosα＝1 B.存在实数α，使sinα＋cosα＝eq \r(2) C.函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋x))是偶函数 D.若α，β是第一象限的角，且α>β，则sinα>sinβ 【答案】BC 【解析】对于A，由sinαcosα＝1，得sin2α＝2，矛盾，错误； 对于B，由sinα＋cosα＝eq \r(2)，得eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq \r(2)， 当α＝eq \f(π,4)时成立，正确； 对于C，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋x))＝－cosx，显然是偶函数，正确； 对于D，取α＝eq \f(13,6)π，β＝eq \f(π,3)，α，β是第一象限的角， 且α＞β，但sinα＜sinβ，错误．故选BC. (1)已知sinαcosα＝eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)<α<eq \f(3π,2)，则cosα－sinα的值为(　　) A.－eq \f(\r(3),2) 　　　　B.eq \f(\r(3),2)　　　　C.－eq \f(3,4)　　　　D.eq \f(3,4) 【答案】B 【解析】因为eq \f(5π,4)<α<eq \f(3π,2)，所以cosα<0，sinα<0且|cosα|<|sinα|，所以cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，所以cosα－sinα＝eq \f(\r(3),2).故选B. (2)已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________. 【答案】－1. 【解析】sinα＋2cosα＝0⇒tanα＝－2， 2sinαcosα－cos2α＝eq \f(2sinαcosα－cos2α,sin2α＋cos2α)＝ eq \f(2tanα－1,1＋tan2α)＝－1. (1)化简：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－2cosπ＋α,sinπ－α＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＋sin2π－α)＝(　　) A.－1　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 【答案】A 【解析】eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－2cosπ＋α,sinπ－α＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＋sin2π－α) ＝eq \f(－cosα＋2cosα,sinα－cosα－sinα)＝eq \f(cosα,－cosα)＝－1. (2)若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　) A.cos(A＋B)＝cosC B.sin(A＋B)＝－sinC C.coseq \f(A＋C,2)＝sineq \f(B,2) D.sineq \f(B＋C,2)＝－coseq \f(A,2) 【答案】C 【解析】∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，eq \f(A＋C,2)＝eq \f(π－B,2)，eq \f(B＋C,2)＝eq \f(π－A,2)，∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，coseq \f(A＋C,2)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(B,2)))＝sineq \f(B,2)，sineq \f(B＋C,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝coseq \f(A,2). 点A(sin2022°，cos2022°)位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】2022°＝6×360°－138°，点A(sin 2022°，cos 2022°)位于第三象限． $$