第7讲 指数函数、对数函数和幂函数（课件PPT）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

栏 目 导 航 一　知识梳理 二　典例精练 精英1号　学考笔记　数学 04 如需返回目录，可按ESC键返回。 01 本光盘课件全部为PPT格式，教师使用时如需加工可把光盘中的PPT文件复制到本地磁盘上进行编辑。 03 进入目录,可按上下键、空格键或点击鼠标等进行浏览。 02 光盘成盘为自动播放模式，如不能播放则是电脑做了拦截，可将电脑调至自动播放模式，也可直接从“我的电脑”中，双击相应光盘图标或在此处右键点击“打开”，然后双击光盘中的“play.bat”文件即可以全屏的方式播放（点击后有缓冲过程，稍加等待后,便可出现相关内容）。 温 馨 提 示 Wenxintishi 3 第7讲　指数函数、对数函数和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 n次方根 a |a| 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 底数 真数 0 1 N 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 (0，＋∞) (0,1) 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 (0，＋∞) (1,0) 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 增 减 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 谢谢观看！ 精英1号　学考笔记　数学 　 第7讲　指数函数、对数函数 和幂函数 1.指数及指数幂 (1)一般地，如果xn＝a，那么x叫作a的__________.其中n>1，n∈N*. (2)当n为奇数时，eq \r(n,an)＝________；当n为偶数时，eq \r(n,an)＝________. (3)①aeq \f(m,n)＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)； ②a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\f(m,n))＝________(a>0，m，n∈N*，n>1). eq \r(n,am) eq \f(1,\r(n,am)) x＝logaN (4)指数幂的运算性质 ①aras＝________(a>0，r，s∈R)； ②(ar)s＝________(a>0，r，s∈R)； ③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈R). 2.对数及对数运算 (1)一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫作以a为底N的对数，记作____________， ar＋s ars arbr 其中a叫作对数的________，N叫作________.则当a>0且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN. 负数和0没有对数.loga1＝________，logaa＝________. (2)对数的换底公式及运算法则 ①换底公式：logaN＝eq \f(logmN,logma)(a>0，且a≠1，m>0，且m≠1，N>0). 对数恒等式：alogaN＝________(a＞0，且a≠0，N＞0). 推论：logambn＝__________(m，n∈R，m≠0). eq \f(n,m)logab ②四则运算法则：若a>0，a≠1，M>0，N>0. (i)loga(MN)＝logaM＋logaN； (ii)logaeq \f(M,N)＝____________； (iii)logaMn＝nlogaM(n∈R). logaM－logaN 3.指数函数及其性质 (1)一般地，函数________(a>0，且a≠1)叫作指数函数，自变量为x，定义域为R. (2)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质. 0＜a＜1 a＞1 图 象 y＝ax 定 义 域 R 值 域 　　　　　　　　　________________________ 性质 (1)过定点________，即x＝0时，y＝1 (2)减函数 (2)增函数 4.对数函数及其性质 (1)一般地，函数____________(a>0，且a≠1)叫作对数函数，自变量为x，定义域为(0，＋∞). (2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的性质： 0＜a＜1 a＞1 图象 y＝logax 定义域 值域 R 性质 (1)过定点________，即x＝1时，y＝0 (2)减函数 (2)增函数 5.幂函数：形如y＝________(α∈R)的函数为幂函数. (1)幂函数的图象 ①若α＝1，则y＝x，图象是一条直线； ②当α＝0时，y＝x0(x≠0)的图象是除点________外的直线y＝1； ③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的； ④当α>1时，在第一象限内，图象是下凹的. xα xα (2)单调性 ①当α>0时，函数y＝xα在区间(0，＋∞)上是________函数； ②当α<0时，函数y＝xα在区间(0，＋∞)上是________函数. 化简或求值： (1)eq \f(x－2＋y－2,x－\f(2,3)＋y－\f(2,3))－eq \f(x－2－y－2,x－\f(2,3)－y－\f(2,3)) (2)(0.064)－eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))0＋[(－2)3]－eq \f(4,3)＋16－0.75＋|－0.01|eq \f(1,2) (3)eq \f(lg2＋lg5－lg1,2lg\f(1,2)＋lg8)·(lg32－lg2) (4)2log32－log3eq \f(32,9)＋2log38－52log53－log964 【答案】(1)－2x－eq \f(2,3)y－eq \f(2,3)　(2)eq \f(143,80)　(3)4　(4)－7 化简或求值： (1)eq \f(a\f(4,3)－8a\f(1,3)b,4b\f(2,3)＋2\r(3,ab)＋a\f(2,3))÷1－2eq \r(3,\f(b,a))×eq \r(3,a) (2)(1＋2－eq \f(1,32))(1＋2－eq \f(1,16))(1＋2－eq \f(1,8))(1＋2－eq \f(1,4))(1＋2－eq \f(1,2)) (3)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25 (4)eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg32＋log416＋6lg\f(1,2)))＋eq \f(1,5)lgeq \f(1,5) 【答案】(1)a　(2)eq \f(1,2)( 1－2－eq \f(1,32))－1　(3)2　(4)eq \f(1,5) 已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x3m－3是奇函数. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(3t)＋f(2t－3t＋1)＜0，求实数t的取值范围. 【答案】(1)因为f(x)＝(m2－m－1)x3m－3是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，f(x)＝x－6，函数f(x)为偶函数，不合题意，当m＝2时，f(x)＝x3，函数f(x)为奇函数，符合题意，综上知f(x)＝x3. (2)由(1)得f(x)为R上的增函数，且是奇函数，由f(3t)＋f(2t－3t＋1)＜0，得f(3t)＜－f(2t－3t＋1)，即f(3t)＜f(3t＋1－2t)，所以3t＜3t＋1－2t，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))t＞eq \f(1,2)，所以t＞logeq \f(3,2)eq \f(1,2)，即实数t的取值范围为t＞logeq \f(3,2)eq \f(1,2). 已知函数f(x)＝4x－a·2x＋1＋1. (1)若函数f(x)在x∈[0,2]上有最大值－8，求实数a的值； (2)若函数f(x)在x∈[－1,2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】令t＝2x∈[1,4]，∴y＝f(t)＝t2－2at＋1. (1)若a≤eq \f(5,2)，则ymax＝16－8a＋1＝－8，∴a＝eq \f(25,8)>eq \f(5,2)，不成立，舍去； 若a>eq \f(5,2)，则ymax＝1－2a＋1＝－8，∴a＝5，满足题意．则a＝5. (2)由f(x)＝0得t2－2at＋1＝0，则a＝eq \f(1,2)t＋eq \f(1,t)在t∈eq \f(1,2)，4上有且仅有一个解， 由对勾函数的图象易得a＝1或eq \f(5,4)<a≤eq \f(17,8). 设函数f(x)＝loga(a2x)·loga(ax)(a＞0且a≠0)，eq \f(1,9)≤x≤9.令t＝logax. (1)若t∈[－2,2]，求a的取值范围； (2)当a＝eq \r(3)时，求函数f(x)的最大值与最小值及对应的x值. 【答案】(1)由题意得－2≤logax≤2，即logaa－2≤logax≤logaa2. ①若0<a<1，则a2≤x≤a－2，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－2≥9,a2≤\f(1,9)))，得0<a≤eq \f(1,3)； ②若a>1，则a－2≤x≤a2，同理解得a≥3. 综合可得0<a≤eq \f(1,3)或a≥3. (2)∵a＝eq \r(3)，∴y＝(logaa2＋logax)(logaa＋logax)＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2， 令g(t)＝t2＋3t＋2，∵eq \f(1,9)≤x≤9，∴t∈[－4,4]． 当t＝4，即x＝9时，f(x)max＝30； 当t＝－eq \f(3,2)，即x＝3－eq \f(3,4)时，f(x)min＝－eq \f(1,4). 已知f(x)＝log3x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,27)，9))，求函数y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)))·f(3x)的值域. 【答案】由eq \f(1,27)≤eq \f(x2,3)≤9及eq \f(1,27)≤3x≤9得x∈[eq \f(1,3)，3]，令log3x＝t∈[－1,1]，y＝(2t－1)(t＋1)＝2t2＋t－1.得所求的函数的值域为[－eq \f(9,8)，2]. $$