第6讲 函数的性质（课件PPT）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

栏 目 导 航 一　知识梳理 二　典例精练 精英1号　学考笔记　数学 04 如需返回目录，可按ESC键返回。 01 本光盘课件全部为PPT格式，教师使用时如需加工可把光盘中的PPT文件复制到本地磁盘上进行编辑。 03 进入目录,可按上下键、空格键或点击鼠标等进行浏览。 02 光盘成盘为自动播放模式，如不能播放则是电脑做了拦截，可将电脑调至自动播放模式，也可直接从“我的电脑”中，双击相应光盘图标或在此处右键点击“打开”，然后双击光盘中的“play.bat”文件即可以全屏的方式播放（点击后有缓冲过程，稍加等待后,便可出现相关内容）。 温 馨 提 示 Wenxintishi 3 第6讲　函数的性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 < 增 增函数 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 > 减 减函数 单调性 单调区间 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 ≤ ＝ 大 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 ≥ ＝ 小 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 增 增 减 减 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 f(x) 奇 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 谢谢观看！ 精英1号　学考笔记　数学 　 第6讲　函数的性质 1.函数的单调性：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I. (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)________f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递________； 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它为________. (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)________f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递________； 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它为________. (3)如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或者单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)________，区间D叫作y＝f(x)的____________. (4)用定义法判断函数的单调性：取值⇒作差⇒变形⇒定号⇒结论. 2.函数的最值 【函数的最大值】一般地，函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈I，都有f(x)________M； (2)∃x0∈I使得f(x0)________M. 则称M是函数y＝f(x)的最_____________值. 【函数的最小值】一般地，函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈I，都有f(x)________m； (2)∃x0∈I使得f(x0)________m. 则称m是函数y＝f(x)的最______值. 3.对于复合函数y＝f[g(x)]，令u＝g(x). 若y＝f(u)为增，u＝g(x)为增，则y＝f[g(x)]为________函数； 若y＝f(u)为减，u＝g(x)为减，则y＝f[g(x)]为________函数； 若y＝f(u)为增，u＝g(x)为减，则y＝f[g(x)]为________函数； 若y＝f(u)为减，u＝g(x)为增，则y＝f[g(x)]为________函数. 4.奇偶性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I. (1)如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝________，那么函数f(x)就叫作偶函数； (2)如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫作________函数. 5.奇偶性的判断方法：先判断定义域是否关于原点对称，若是，则找f(－x)与f(x)的关系，用定义判断. 分类：偶函数、奇函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数. 判断f(x)＝－x3＋1在(－∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断；如果x∈(0，＋∞)，函数f(x)是增函数还是减函数？ 【答案】f(x)＝－x3＋1在(－∞，0)上是减函数，用定义证明如下： 设x1<x2<0，则f(x1)－f(x2)＝－xeq \o\al(3,1)＋1－(－xeq \o\al(3,2)＋1)＝xeq \o\al(3,2)－xeq \o\al(3,1)＝(x2－x1)(xeq \o\al(2,2)＋x1x2＋xeq \o\al(2,1))＝(x2－x1)x2＋eq \f(1,2)x12＋eq \f(3,4)xeq \o\al(2,1)>0，即f(x1)>f(x2) 则f(x)＝－x3＋1在(－∞，0)上是减函数．同理可得f(x)在(0，＋∞)上也是减函数． 判断函数f(x)＝eq \f(ax,x2－1)(a≠0)在区间(0,1)上的单调性，并证明. 【答案】当a>0时，f(x)在(0,1)单调递增；当a<0时，f(x)在(0,1)单调递减，证明如下： 设0<x1<x2<1，则 f(x1)－f(x2)＝eq \f(ax1,x\o\al(2,1)－1)－eq \f(ax2,x\o\al(2,2)－1)＝aeq \f(x1x\o\al(2,2)－1－x2x\o\al(2,1)－1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1) ＝aeq \f(x1x2x2－x1＋x2－x1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)＝aeq \f(x2－x1x1x2＋1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1). ∵0<x1<x2<1，∴(xeq \o\al(2,1)－1)(xeq \o\al(2,2)－1)>0，x2－x1>0，x2x1＋1>0，则f(x1)－f(x2)的符号由a决定： ①若a<0，则f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，则f(x)在(0,1)上单调递增； ②若a>0，则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，则f(x)在(0,1)上单调递减． 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝eq \f(\r(4－x2),x2)；(2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1－x，x＜0，,x1＋x，x＞0.)) 【答案】(1)因为f(x)＝eq \f(\r(4－x2),x2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,x2≠0，))所以－2≤x≤2且x≠0，所以函数y＝f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称，又f(－x)＝eq \f(\r(4－－x2),－x2)＝eq \f(\r(4－x2),x2)＝f(x)，所以函数y＝f(x)为偶函数． (2)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x＞0时，－x＜0， ∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0)． 当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x＜0)． 故函数f(x)为奇函数． 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)；(2)f(x)＝(x－1)·eq \r(\f(1＋x,1－x)). 【答案】(1)f(x)既是奇函数，也是偶函数． 因为f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－1≥0，,1－x2≥0，))解得x＝±1，则f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，故f(x)既是奇函数，也是偶函数． (2)先确定函数的定义域．由eq \f(1＋x,1－x)≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 已知奇函数f(x)是定义在(－2,2)上的减函数，若f(m－1)＋f(2m－1)＞0，求实数m的取值范围. 【答案】∵f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数， ∴对任意x∈(－2,2)有f(－x)＝－f(x)， 由条件f(m－1)＋f(2m－1)＞0得f(m－1)＞－f(2m－1)＝f(1－2m)． ∵f(x)是定义在(－2,2)上的减函数， ∴2＞1－2m＞m－1＞－2，解得－eq \f(1,2)＜m＜eq \f(2,3)， ∴实数m的取值范围是－eq \f(1,2)＜m＜eq \f(2,3). 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞，0)内单调递增，已知f(2a2＋a＋1)<f(3a2－2a＋1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a2－3a＋1的单调递减区间. 【答案】设0<x1<x2，则－x2<－x1<0， ∵f(x)在区间(－∞，0)内单调递增， ∴f(－x2)<f(－x1)，∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1)， ∴f(x2)<f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)内单调递减． 又2a2＋a＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,4)))2＋eq \f(7,8)＞0,3a2－2a＋1＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,3)))2＋eq \f(2,3)＞0. 由f(2a2＋a＋1)<f(3a2－2a＋1)得2a2＋a＋1>3a2－2a＋1.解之，得0<a<3. 又a2－3a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3,2)))2－eq \f(5,4).∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a2－3a＋1的单调减区间是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) 结合0<a<3，得函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a2－3a＋1的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)). $$