第4讲 复数的概念和四则运算(课件PPT)-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

2024-09-20
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内容正文:

栏 目 导 航 一 知识梳理 二 典例精练 精英1号 学考笔记 数学 04 如需返回目录,可按ESC键返回。 01 本光盘课件全部为PPT格式,教师使用时如需加工可把光盘中的PPT文件复制到本地磁盘上进行编辑。 03 进入目录,可按上下键、空格键或点击鼠标等进行浏览。 02 光盘成盘为自动播放模式,如不能播放则是电脑做了拦截,可将电脑调至自动播放模式,也可直接从“我的电脑”中,双击相应光盘图标或在此处右键点击“打开”,然后双击光盘中的“play.bat”文件即可以全屏的方式播放(点击后有缓冲过程,稍加等待后,便可出现相关内容)。 温 馨 提 示 Wenxintishi 3 第4讲 复数的概念和四则运算 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 i -1 -i 1 复数集 实部 虚部 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 a=c b=d 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 谢谢观看! 精英1号 学考笔记 数学   第4讲 复数的概念和四则运算 1.虚数单位i:满足i2=-1,实数可以与它进行四则运算,原有的加法、乘法运算律仍成立. i具有周期性:i4n+1=________,i4n+2=_______,i4n+3=_______,i4n+4=_______. 2.复数的定义:形如a+bi(a∈R,b∈R)的数;全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫作________. 3.复数的表示方法:z=a+bi(a∈R,b∈R),a叫作复数的________,b叫作复数的________,i叫做虚数单位. 4.复数相等:当且仅当________且________时,a+bi与c+di相等.(a,b,c,d∈R) 5.复数的分类:复数a+bi eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(实数b=0,,虚数b≠0,当a=0时为纯虚数.)) 6.复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴. 7.复数的几何意义:复数z=a+bi(a,b∈R)eq \o(――→,\s\up12( 一一对应))―→复平面内的点Z(a,b)eq \o(――→,\s\up12( 一一对应))―→向量eq \o(OZ,\s\up12(→)). 8.复数的模(或绝对值):向量eq \o(OZ,\s\up12(→))的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)z=a+bi(a,b∈R)z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|.即|z|=|a+bi|=eq \r(a2+b2),其中a,b∈R. 9.共轭复数:复数z=a+bi(a∈R,b∈R)的共轭复数记为eq \o(z,\s\up6(-))=a-bi,则|z|=|eq \o(z,\s\up6(-))|=________. 10.复数的四则运算 复数的运算:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R). (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=________________;向量的加法. eq \r(a2+b2) (a+c)+(b+d)i (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=_________________;向量的减法. (3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=____________________;多项式的乘法. (4)除法:eq \f(z1,z2)=eq \f(a+bi,c+di)=eq \f(a+bic-di,c+dic-di)=________________(c+di≠0),分母实数化. (a-c)+(b-d)i (ac-bd)+(ad+bc)i eq \f(ac+bd,c2+d2)+eq \f(bc-ad,c2+d2)i 设m∈R,复数z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i). (1)当m为何值时,z为实数? (2)当m为何值时,z为纯虚数? 【答案】(1)z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i. 由题意得m2-3m+2=0,解得m=1或m=2. (2)依题意得2m2-3m-2=0且(m2-3m+2)≠0,解得m=-eq \f(1,2). 已知复数z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i(其中i为虚数单位). (1)当复数z是非纯虚数时,求实数m的值; (2)若复数z对应的点在直线y=x上,求实数m的值. 【答案】(1)当复数z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i,为非纯虚数时, 应有2m2-3m-2≠0且m2-3m+2≠0,求得m≠1且m≠2且m≠-eq \f(1,2). (2)若复数z对应的点在直线y=x上,则2m2-3m-2=m2-3m+2,求得m=±2. 已知关于x的方程x2-2ax+a2-4a+4=0(a∈R)的两根为α,β,且|α|+|β|=3,求实数a的值. 【答案】①当Δ≥0即a≥1时,由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α+β=2a>0,,αβ=\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a-2))2≥0))可知两根都是非负实根,∴|α|+|β|=α+β=3=2a⇒a=eq \f(3,2); ②当Δ<0即a<1时,此时方程两根为共轭虚根,设α=m+ni,则β=m-ni, ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α+β=2m=2a,,αβ=m2+n2=\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a-2))2,))∴|α|+|β|=2eq \r(m2+n2)=2|a-2|=3⇒a=eq \f(1,2). 综上,a=eq \f(3,2)或eq \f(1,2). 已知复数z1,z2满足条件|z1|<2,|z2|<2.是否存在非零实数m,使得z1+z2=eq \f(1,m)和eq \x\to(z1·z2)=eq \f(1,m)同时成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. 【答案】eq \x\to(z1·z2)=eq \f(1,m),则z1·z2=eq \f(1,m),z1+z2=eq \f(1,m),则z1,z2是方程x2-eq \f(1,m)x+eq \f(1,m)=0的两个根. 当Δ=eq \f(1,m2)-eq \f(4,m)≥0即m≤eq \f(1,4)且m≠0时,z1,z2∈R,记f(x)=x2-eq \f(1,m)x+eq \f(1,m),|z1|<2,|z2|<2,故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f-2>0,,f2>0,,-2<\f(1,2m)<2,,Δ≥0,))解得m<-eq \f(3,4); 当Δ=eq \f(1,m2)-eq \f(4,m)<0即m>eq \f(1,4)时,z1,z2为一对共轭虚根,则|z1|<2,则eq \f(1,m)<4,即m>eq \f(1,4)或m<0(舍). 综上,存在实数m<-eq \f(3,4)或m>eq \f(1,4),使得z1+z2=eq \f(1,m)和eq \x\to(z1·z2)=eq \f(1,m)同时成立. 已知复数z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i(i为虚数单位,a∈R)为纯虚数,z0和b是关于x的方程x2-(3+2i)x+6i=0的两个根. (1)求a,b的值; (2)若复数z满足1≤|z|≤|a+bi|,则说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形?请求出该图形的面积. 【答案】(1)∵z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i为纯虚数, ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(lga2-4a+4=0,,a2-3a+2≠0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2-4a+4=1,,a2-3a+2≠0,))解得a=3, 此时z0=2i,由韦达定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(z0+b=3+2i,,z0b=6i,))解得b=3. (2)复数z满足1≤|z|≤|a+bi|,即1≤|z|≤3eq \r(2), 不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1的外部(包括边界)所有点组成的集合, 不等式|z|≤3eq \r(2)的解集是圆|z|=3eq \r(2)的内部(包括边界)所有点组成的集合, ∴所求点Z的集合是以原点为圆心,以1和3eq \r(2)为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界). 则S圆环=πeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)))2-12))=17π. 已知复数z0满足z0+2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1+i,1-i)))2019. (1)求z0的共轭复数eq \x\to(z0); (2)复数z1满足|z0|≤|z1|≤|3-4i|,求z1在复平面内对应点的集合所表示的图形面积. 【答案】(1)由于复数z0满足z0=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1+i,1-i)))2019-2=i2019-2=i3-2=-i-2,所以eq \x\to(z0)=-2+i. (2)由(1)可得|z0|=eq \r(5),且|3-4i|=5,可得eq \r(5)≤|z1|≤5,所以z1在复平面内对应点的集合表示外半径为R=5,内半径为r=eq \r(5)的圆环,所以面积为S=πR2-πr2=π×52-π×(eq \r(5))2=20π. $$

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