内容正文:
栏 目 导 航
一 知识梳理
二 典例精练
精英1号 学考笔记 数学
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温 馨 提 示 Wenxintishi
3
第3讲 一元二次函数与一元二次方程、
不等式
精英1号 学考笔记 数学
第3讲 一元二次函数与
一元二次方程、不等式
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第3讲 一元二次函数与
一元二次方程、不等式
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第3讲 一元二次函数与
一元二次方程、不等式
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第3讲 一元二次函数与
一元二次方程、不等式
1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两个相等的实数根x1=x2=-eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2+bx+c>0(a>0)
{x|x<x1,或x>x2}
R
ax2+bx+c<0(a>0)
{x|x1<x<x2}
∅
有两个不相等的
实数根x1,x2
(x1<x2)
x|x≠-eq \f(b,2a)
∅
2.含参的二次函数(方程)
①先讨论二次项系数;
②再讨论判别式;
③再讨论根是否在定义域范围内;
④最后讨论根的大小.
已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的函数值的取值范围是{y|y≥0},若关于x的不等式f(x)<c的解集为{x|m<x<m+6},求实数c的值.
【答案1】由于函数的值域为{y|y≥0},则对于x2+ax+b=0,有Δ=a2-4b=0,即b=eq \f(a2,4),
则f(x)=x2+ax+b=x2+ax+eq \f(a2,4)=x+eq \f(a,2)2,由f(x)=x+eq \f(a,2)2<c解得-eq \r(c)-eq \f(a,2)<x<eq \r(c)-eq \f(a,2),
又由题意得eq \r(c)-eq \f(a,2)--eq \r(c)-eq \f(a,2)=2eq \r(c)=6,则c=9即为所求.
【答案2】f(x)<c的解集是函数y=f(x)位于直线y=c下方部分图象的横坐标的取值范围,显然图象的平移不改变不等式的解集的长度,将问题转化为g(x)=x2<c的解集为(-3,3),则c=9.
若不等式ax2+5x+1≤0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2)≤x≤-\f(1,3))),则不等式eq \f(3x-a,x-3)≤0的解集为____________.
【答案】[2,3)
【解析】由题意得-eq \f(1,2),-eq \f(1,3)是方程ax2+5x+1=0的两根,则eq \f(1,a)=-eq \f(1,2)×-eq \f(1,3)=eq \f(1,6),解得a=6.
则不等式为eq \f(3x-6,x-3)≤0,解集为[2,3)
函数f(x)=x2+ax+b有两个不同零点x1,x2,3<x1<x2<4,则在f(3),f(4)两个函数值中( )
A.只有一个小于eq \f(1,4)
B.至少有一个小于eq \f(1,4)
C.都小于eq \f(1,4)
D.可能都大于eq \f(1,4)
【答案】B
【解析】设f(x)=(x-x1)(x-x2),则f(3)=(3-x1)(3-x2)>0,f(4)=(4-x1)(4-x2)>0,
则f(3)·f(4)=(3-x1)(3-x2)(4-x1)(4-x2)=(x1-3)(4-x1)(x2-3)(4-x2)
<eq \f(x1-3+4-x1,2)2eq \f(x2-3+4-x2,2)2=eq \f(1,16),则选B.
已知函数f(x)=x2+ax+b的两个零点x1,x2,满足0<x1<x2<2,则f(0)·f(2)的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(1,2)
D.(1,4)
【答案】A
【解析】设f(x)=(x-x1)(x-x2),由题意得f(0)·f(2)=x1x2(2-x1)(2-x2)<eq \f(x1+2-x1,2)2eq \f(x2+2-x2,2)2=1,则选A.
已知函数f(x)=9x2-6ax+a2-10a-6在[-3,b]上恒大于或等于0,其中实数a∈[3,+∞),求实数b的范围.
【答案】f(x)=9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(a,3)))2-10a-6,x∈[-3,b].
(1)若eq \f(a,3)≥b时,f(x)在[-3,b]上是减函数,∴ymin=f(b)=9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b-\f(a,3)))2-10a-6=a2-(6b+10)a+9b2-6,
令u=g(a)=a2-(6b+10)a+9b2-6,a∈[3,+∞),即g(a)≥0,
当3b+5≥3时,b≥-eq \f(2,3),umin=g(3b+5)=-30b-31,若-30b-31≥0解得b≤-eq \f(31,30),与b≥-eq \f(2,3)矛盾;
当3b+5<3即-3<b<-eq \f(2,3)时,umin=g(3)=9b2-18b-27,令9b2-18b-27≥0,解得b≤-1或b≥3,所以-3<b≤-1.
(2)若-3<eq \f(a,3)<b,ymin=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))=-10a-6,即-10a-6≥0,解得a≤-eq \f(3,5),与a∈[3,+∞)矛盾.
(3)若eq \f(a,3)≤-3,则a≤-9,与a∈[3,+∞)矛盾.
综上所述:-3<b≤-1.
$$