内容正文:
栏 目 导 航
一 知识梳理
二 典例精练
精英1号 学考笔记 数学
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温 馨 提 示 Wenxintishi
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第2讲 等式与不等式、基本不等式
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第2讲 等式与不等式、基本不等式
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第2讲 等式与不等式、基本不等式
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第2讲 等式与不等式、基本不等式
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第2讲 等式与不等式、基本不等式
1.作差比较法
a>b⇔a-b________0;
a=b⇔a-b________0;
a<b⇔a-b________0.
2.不等式的性质
性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b,即a>b⇔b________a.
性质2:如果a>b,b>c,那么a>c,即a>b,b>c⇒a________c.
性质3:如果a>b,那么a+c________b+c.
性质4:如果a>b,c>0,那么ac________bc;如果a>b,c<0,那么ac________bc.
性质5:如果a>b,c>d,那么a+c________b+d.
性质6:如果a>b>0,c>d>0,那么ac________bd.
性质7:如果a>b>0,那么an______________bn(n∈N,n≥2).
3.基本不等式
结论1:∀a,b∈R,则a2+b2________2ab(当且仅当a=b时取等号).
结论2:eq \r(ab)________eq \f(a+b,2)(a>0,b>0)(当且仅当a=b时取等号).
结论3:不等式链:eq \f(2ab,a+b)≤eq \r(ab)≤eq \f(a+b,2)≤eq \r(\f(a2+b2,2))(a,b,c均为正数).
已知a,b∈R,A=a2+b2,B=ab+a+b-1,则A与B的大小关系为________.
【答案】A≥B
【解析】A-B=a2+b2-(ab+a+b-1)=eq \f(1,2)(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2) =eq \f(1,2)[(a2+b2-2ab)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)]=eq \f(1,2)[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]≥0,则A≥B.
已知a,b∈R,且P=eq \f(a+b,2),Q=eq \r(\f(a2+b2,2)),则P,Q的大小关系是________.
【答案】P≤Q
【解析】由题意得P2=eq \f(a2+b2+2ab,4),Q2=eq \f(a2+b2,2),则P2-Q2=eq \f(a2+b2+2ab,4)-eq \f(a2+b2,2)=-eq \f(a-b2,4)≤0,
当且仅当a=b时取等号,P2≤Q2,又∵Q≥0,则P≤Q.
已知三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,则eq \f(b,a)的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3),\f(3,2)))
B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),+∞))
C.[2,3]
D.[1,2]
【答案】A
【解析】由条件得1≤eq \f(b,a)+eq \f(c,a)≤2①,eq \f(b,a)≤1+eq \f(c,a)≤eq \f(2b,a),即-eq \f(2b,a)≤-1-eq \f(c,a)≤-eq \f(b,a)②,
①+②得1-eq \f(2b,a)≤eq \f(b,a)-1≤2-eq \f(b,a),解得eq \f(2,3)≤eq \f(b,a)≤eq \f(3,2),故选A.
已知a,b,c∈R,a>b>c且2a+b+c=0,则eq \f(c,a)的取值范围是_____________.
【答案】(-3,-1)
【解析】由题意易得a>0,c<0,又b=-2a-c,则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>-2a-c,,-2a-c>c,))解得-3<eq \f(c,a)<-1.
已知x>0,y>0且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
【答案】由2x+8y-xy=0,x>0,y>0得eq \f(8,x)+eq \f(2,y)=1,
则x+y=(x+y)·1=(x+y)eq \f(8,x)+eq \f(2,y)=10+eq \f(2x,y)+eq \f(8y,x)≥10+2eq \r(\f(2x,y)·\f(8y,x))=18,
当且仅当x=12,y=6时取等号,∴x+y的最小值为18.
已知x>0,y>0,且eq \f(1,x)+eq \f(9,y)=1,求x+y的最小值.
【答案1】∵eq \f(1,x)+eq \f(9,y)=1,∴x+y=(x+y)·eq \f(1,x)+eq \f(9,y)=10+eq \f(y,x)+eq \f(9x,y).∵x>0,y>0,∴eq \f(y,x)+eq \f(9x,y)≥2eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))=6,∴x+y≥10+6=16.
当且仅当eq \f(y,x)=eq \f(9x,y),即y=3x时,取等号.又eq \f(1,x)+eq \f(9,y)=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.
【答案2】由eq \f(1,x)+eq \f(9,y)=1得x=eq \f(y,y-9),则x+y=eq \f(y,y-9)+y=10+eq \f(9,y-9)+y-9≥16,后略.
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