精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学下册期末复习

北师大版八年级下册数学期末复习 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 3，4，5 C. 2，2，3 D. 5，12，13 2. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图案是我国传统文化中的“福禄寿喜”图，其中中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知，求的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC分别经过正五边形的两个顶点，则∠1＋∠2等于（ ） A. 126° B. 130° C. 136° D. 140° 7. 如图，在中，，，E为线段上一点，过点E作．若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 8. 若关于x的一元一次不等式组的解集是，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点的对应点为，点的对应点为点，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 10. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11. 已知，则的值为____________． 12. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接，若与的面积相等，，则的长为______． 13. 若关于x不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为_______． 14. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_____________． 15. 如图，在平分交于点D，则的长为 _____，若P为直线上一动点，以为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为 _______． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）解不等式组：，并将其解集表示在如图所示的数轴上． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 已知：如图，中，D是中点，垂足为E，垂足为F，且，求证：是等腰三角形． 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中， D是边上一点， E是边的中点． 将点D绕点E旋转得到点 F， 请作出点 F； （2）在图②中，P是边上一点，请作出点Q，使P、Q两点关于直线对称； （3）在图③中， M是边上一点， 请作出点N， 使． 19. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． （1）观察图形，根据图中的面积关系写出一个关于a、b的多项式的因式分解：______； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，则______； ①求图中空白部分的面积； ②求值． 20. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过C作交延长线于点E． （1）求证：四边形平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 21. 如图，，，，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 22. 为落实“乡村振兴”，某村在政府扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜．若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共需投入34万元． （1）求种植A，B两种蔬菜每亩各需投入多少万元； （2）经测算，种植A种蔬菜每亩可获利0.8万元，种植B种蔬菜每亩可获利1.2万元，村里把100万元补助资金全部用来种植这两种蔬菜，总获利w万元．设种植A种蔬菜m亩，要求A种蔬菜的种植亩数不得少于B种蔬菜种植亩数的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利． 23. 如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 24. 阅读下列材料，并解答问题： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x＋1，可设； 则． ∵对于任意x上述等式成立， 解得：， ∴． 这样，分式就拆分成一个整式x－2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为______； （2）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 25. 如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）求平行四边形ABCD的面积； （2）求当t＝2s时，求△AEF的面积； （3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版八年级下册数学期末复习 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1. 下列各组数中，以它们为边长线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 3，4，5 C. 2，2，3 D. 5，12，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握“三角形的三边为，，，若，则三角形是直角三角形．”是解题的关键． 【详解】解：A.，能构成直角三角形，故不符合题意； B.，能构成直角三角形，故不符合题意； C.，不能构成直角三角形，故符合题意； D.，能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 2. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、， ，故原选项正确，符合题意； B、， ∴，故原选项错误，不符合题意； C、， ∴，故原选项错误，不符合题意； D、， ，故原选项错误，不符合题意； 故选：A． 3. 下列图案是我国传统文化中的“福禄寿喜”图，其中中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】把所给的等式a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状． 【详解】解：∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2， ∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0， ∴（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0， ∴a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0， ∴（a-b）（a2+b2-c2）=0， ∴a-b=0或a2+b2-c2=0． ∴a=b或a2+b2=c2． 故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选C． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键． 5. 已知，求的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将所求式子化简为，再把变形为，然后整体代入计算即可 【详解】解： ； ∵， ∴ ∴原式， 故选：B 6. 如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC分别经过正五边形的两个顶点，则∠1＋∠2等于（ ） A. 126° B. 130° C. 136° D. 140° 【答案】A 【解析】 【分析】根据正五边形的特征求出正五边形的一个内角，进一步得到2个内角的和；再根据三角形内角和为180°以及角的和差即可解答． 【详解】解：∵正五边形， ∴每一个内角为：180°-=108°，即：两个内角和为216°， ∴∠1＋∠2=216°-90°=126°． 故选A． 【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，根据多边形内角和外角的性质求得正五边形的一个内角的度数成为解答本题的关键． 7. 如图，在中，，，E为线段上的一点，过点E作．若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由勾股定理得到关于x的方程，由三角形面积公式得到．连接，令，由勾股定理求出，由勾股定理得到，求出，即可得到，由三角形面积公式得到，因此． 【详解】解：连接， 令， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积的面积的面积，， ∴， ∴． 故选：B． 8. 若关于x的一元一次不等式组的解集是，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”可得答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 故选：B． 9. 如图，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点的对应点为，点的对应点为点，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得根据平移和旋转的性质可得：，，，，由，，，即可判断B、C；由等腰三角形的性质及旋转的性质可得，即可判断D，由不能推出和平行，即可判断A， 本题主要考查了平移的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质，是解题的关键． 【详解】解：根据平移和旋转的性质可得：，，，， ，，， ，，故B、C正确，不符合题意， ， ， ， 平分，故D正确，不符合题意， 不能推出和平行， A不一定成立，符合题意， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得， 设直线AB的解析式为y=kx+b 则 解得： ∴直线AB的解析式为：y=x-4， ∴x=y+4， 设直线AC解析式为y=mx+n 则 解得： ∴直线AC的解析式为：， ∴， ∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：， ∴， ∵EP=3PF， ∴， ∴点P横坐标为：， ∵， ∴． ∴ 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11. 已知，则的值为____________． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，先将所求代数式提公因式进行因式分解，再将已知代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：2023． 12. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接，若与的面积相等，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、弦图的计算等知识点，明确弦图中的线段关系成为解题的关键． 设,进而得到，然后再根据“与的面积相等”得到方程求解即可． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知,设，, ∵， ∴， ∵与的面积相等， ∴， ∴，即：，解得：（舍弃负值） ∴． 故答案为：． 13. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为_______． 【答案】11 【解析】 【分析】先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 关于的不等式组无解， ． ． ， ． ． ． ． 关于的分式方程有正整数解， 且或或或． 或（当，此时是增根，故舍去）或或． 综上：或7． 满足条件的整数和为． 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组以及分式方程的解法是解决本题的关键． 14. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_____________． 【答案】10 【解析】 【详解】根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF， 则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC， 又∵AB+BC+AC=8， ∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查平移性质．利用数形结合的思想是解题关键． 15. 如图，在平分交于点D，则的长为 _____，若P为直线上一动点，以为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为 _______． 【答案】 ①. 4 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到动点Q的运动轨迹是解决本题的关键． 首先在中，由于，所以可以解，即可以过C作于O，利用三勾股定理，求出的长度，同理，在中，过D作于H，可以求出的长度，连接交于M，过Q作于G，可以证明，所以，由此得到Q在平行于的直线上运动，且距离两个单位长度，根据垂线段最短，可以得到当时，长度最小． 【详解】解：如图1，过C作于O，过D作于H， 在中， 在中， ∵平分 ， 在中， ∴可设 ， 如图2，过Q作于G，连接交于M， ∵四边形为平行四边形， 在与中， ， 故Q到直线的距离始终为2， ∴Q点在平行于的直线上运动，且两直线距离为2，根据垂线段最短，时，此时最小，如图3， 最小值为： 故答案为：6， 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）解不等式组：，并将其解集表示在如图所示的数轴上． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1），见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，分式化简求值，熟练掌握确定不等式组的解集和分式混合运算法则是解题的关键． （1）先把①②的解集求出，然后确定出两解集的公共解集即，最后把两个解集画在数轴上； （2）先根据分式混合法则计算，即化简，再把代入化简式计算即可． 【详解】解：（1）解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 将解集表示在数轴上如下： （2）原式 ， 当x2时，原式． 17. 已知：如图，中，D是中点，垂足为E，垂足为F，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．由点是中点，可得，再证明可得，然后根据等角对等边可得即可证明结论． 【详解】证明：∵D是中点， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中， D是边上一点， E是边的中点． 将点D绕点E旋转得到点 F， 请作出点 F； （2）在图②中，P是边上一点，请作出点Q，使P、Q两点关于直线对称； （3）在图③中， M是边上一点， 请作出点N， 使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，平行四边形及菱形的的性质等知识，熟练掌握平行四边形及菱形的的性质是解题的关键． （1）作平行四边形，连接并延长交于点F，则点F即为所作； （2）作菱形，连接交于点H，连接并延长交于点Q，则点Q即为所作的图形； （3）作平行四边形，使，交过C的竖直网格线于N，连接，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图，点F即为所求， 【小问2详解】 解：如图，Q即为所求， 【小问3详解】 解：如图，即为所求， 19. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． （1）观察图形，根据图中的面积关系写出一个关于a、b的多项式的因式分解：______； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，则______； ①求图中空白部分的面积； ②求的值． 【答案】（1） （2）5；①；②3 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的应用、完全平方公式，利用数形结合思想和等面积法得到等量关系是解答的关键． （1）根据图形和已知，利用等面积法的关系式即可求解； （2）先根据图形和已知，，①利用完全平方公式可求得，进而可求得空白部分的面积；②利用完全平方公式结合已知可求解． 【小问1详解】 解：根据图形，得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，得，， 即，， 故答案为：5； ①∵， ∴，则， ∴图中空白部分的面积为； ②， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过C作交延长线于点E． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）22 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质，得出，再结合勾股定理列式计算，即可得到结论． 本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 【小问1详解】 证明：在平行四边形中， ， ， ， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：在平行四边形中，， 在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长． 21. 如图，，，，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和公式，三角形外角性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． （1）由，得到，推出，进而得到，从而证得； （2）利用垂直及三角形外角求出的度数，根据等边对等角及平行求出，得到的度数，再根据三角形内角和公式求出的度数． 【小问1详解】 ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 为落实“乡村振兴”，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜．若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共需投入34万元． （1）求种植A，B两种蔬菜每亩各需投入多少万元； （2）经测算，种植A种蔬菜每亩可获利0.8万元，种植B种蔬菜每亩可获利1.2万元，村里把100万元补助资金全部用来种植这两种蔬菜，总获利w万元．设种植A种蔬菜m亩，要求A种蔬菜的种植亩数不得少于B种蔬菜种植亩数的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利． 【答案】（1）种植A种蔬菜每亩需投入0.6万元，种植B种蔬菜每亩需投入0.8万元 （2）总获利最大的种植方案是种植A种蔬菜100亩，种植B种蔬菜50亩，最大利润是40万元 【解析】 【分析】（1）根据“种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共需投入34万元”可列出相应方程组，求解即可， （2）根据题意列出w与m的函数关系式，根据“A种蔬菜的种植亩数不得少于B种蔬菜种植亩数的2倍”列出不等式，求出m的取值范围，根据一次函数的性质，即可求解， 本题考查了，二元一次方程组得应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是：根据题意列出方程组和不等式． 【小问1详解】 解：设种植A种蔬菜每亩需投入a万元，种植B种蔬菜每亩需投入b万元， 由题意可得：，解得：， 故答案为：种植A种蔬菜每亩需投入0.6万元，种植B种蔬菜每亩需投入0.8万元； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴w随m的增大而减小， ∵要求A种蔬菜的种植亩数不得少于B种蔬菜种植亩数的2倍， ∴，解得：， ∴当时，w取得最大值40，此时， 故答案为：总获利最大的种植方案是种植A种蔬菜100亩，种植B种蔬菜50亩，最大利润是40万元． 23. 如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、旋转的性质及等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得，，根据旋转的性质得，，利用即可得出结论． （2）由（1）得，进而可得，根据旋转的性质可得，，进而可得是等边三角形，则可得，进而可求解． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 24. 阅读下列材料，并解答问题： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x＋1，可设； 则． ∵对于任意x上述等式成立， 解得：， ∴． 这样，分式就拆分成一个整式x－2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为______； （2）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】（1） （2）4或2或16或 【解析】 【分析】（1）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，根据整除运算解答． 【小问1详解】 解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：， 拆分成， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得， 拆分成， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或 则满足条件的整数或2或16或， 故答案为：4或2或16或． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法，读懂材料掌握方法是解题的关键． 25. 如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）求平行四边形ABCD的面积； （2）求当t＝2s时，求△AEF的面积； （3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值． 【答案】（1）9cm²； （2）cm²； （3）t的值为4或 【解析】 【分析】（1）过点B作BG⊥CD于点G，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解； （2）过点F作FH⊥AE于点H，分别计算出t＝2s时，AE，AF和FH的长，则按三角形面积公式计算即可； （3）分点E在线段AB上，点F在线段AD上和点E在线段BC上，点F在线段CD上，两种情况计算即可． 【小问1详解】 平行四边形ABCD中， ∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm， ∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm， 如图，过点B作BG⊥CD于点G， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠C＝60°， ∴∠CBG＝30°， ∴CG＝BC＝cm， ∴BG＝＝（cm）， ∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝6×＝9（cm2）． 答：平行四边形ABCD的面积为9cm2； 【小问2详解】 当t＝2s时， AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm， ∵∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形， 如图，过点F作FH⊥AE于点H， ∴FH＝AF＝（cm）， ∴△AEF的面积为：×AE×FH＝×2×＝（cm2）， 答：当t＝2s时，△AEF的面积为cm2； 【小问3详解】 ∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9cm2． ∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的时， △AEF的面积为：9×＝3（cm2）， 当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，AE＝tcm，AF＝tcm，高为AF＝t（cm）， ∴ ×t×t＝3， ∴t＝﹣2（舍）或t＝2， ∴t＝2>3，不符合题意； 当点E在线段AB.上运动秒时，点F在CD上运动t秒，( 3<t≤6 )， ∴t=4，符合题意； 当点E′运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点F′也运动到线段CD上， 如图，过点E′作MN垂直CD于点H，垂直于AB延长线于点G， ∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm， ∴AB∥CD， ∴∠E′BG＝∠C＝60°， ∴E′G＝BE′＝（t﹣6）（cm），E′H＝1.5﹣（t﹣6）＝（9﹣t）（cm）， ∴S△AEF＝9﹣×6×（t﹣6）﹣×[6﹣（t﹣3）]×[（9﹣t）]﹣（t﹣3）×1.5＝3， 化简得：t2﹣9t+12＝0， ∴ 当时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意． 综上所述，t的值为4或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程，等边三角形的性质，熟练掌握三角形或平行四边形的面积公式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$