精品解析：四川省成都市盐道街中学2023-2024学年八年级上期月考数学试题

（八上）9月考试卷 数学 全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．A卷分第I卷和第Ⅱ卷，第I卷为选择题，第Ⅱ卷为其它类型试题． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考室、考号等事项完整填写在答题卡的密封线内．考试结束，监考人员只收答题卡． 2．考生领取试卷、答题卡后，请检查试卷、答题卡数量、总页数及印刷质量，若存在问题，马上更换． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数：，，0.16，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，，，是无理数的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 在平面直角坐标系中，位于第二象限的点是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个数的两个平方根分别是A+3与2A-15,这个数的值为（ ） A. 4 B. ±7 C. -7 D. 49 6. 在与之间的整数是（ ） A. ，，0，1，2，3 B. ，，0，1，2 C. ，0，1，2 D. ，0，1，2，3 7. 使代数式有意义的自变量x的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 8. 点在轴的上方，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为（　　） A. B. 或 C. D. 或 9. 如图，数轴上与1、两个实数对应的点分别为A、B，点C与点B关于点A对称，则点C表示的数是（ ） A. 2 B. 1 C. 1 D. 22 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，以AC和BC为底边分别向外作等腰直角△AFC和等腰直角△BEC，若△AFC的面积为，△BCE的面积为，则的值为（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 第Ⅱ卷（非选择题，共70分） 二、填空题（每小题4分，共16分） 11. 的立方根是_____________；的算术平方根是_____________． 12. 比较大小：_____________．（填“”或“”）． 13. 已知，则的值是_____________． 14. 已知点、，且直线平行于轴，则的值为_____________． 三、解答题（共54分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 16. 已知和互为相反数，求的值． 17. 已知实数、、在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 18. 如图，在点正北方的处有一信号接收器，点在点的北偏东的方向，一电子狗从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为． （1）求出点到线段的最小距离； （2）请判断点处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间． 19. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边与轴正方向的夹角为，且点的横坐标为2． （1）求正方形的面积； （2）写出点、点、点的坐标，并说明理由． 20. 如图，在中，，，，等腰直角中，，且点D是边BC上一点． （1）求AC的长． （2）如图1，当点E恰在AC上时，求点E到BC的距离． （3）如图2，当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值． B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 21. 对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么______________． 22. 已知点P3a1,5，且点P到两坐标轴的距离相等，则a的值为_________. 23. 已知实数满足，则的值为______________． 24. 如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，则点第8次跳动至点的坐标是______________，点第2019次跳动至点的坐标是______________． 25. 如图，在四边形中，，将绕点逆时针旋转到，作的延长线于，为上一点，且，已知，，，则的长为______________． 二、解答题（共30分） 26. 已知，． （1）求； （2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值． 27. 如图，在直角坐标系中，边在轴上，于，，点的坐标为，点是射线上一动点． （1）求线段的长； （2）若是等腰三角形，求点的坐标； （3）若是上的动点，则是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 28. 已知、分别为正方形的边、上的点． （1）如图1，连接、、，已知，，为的中点，求证：为直角三角形； （2）连接分别交、于、，且． ①如图2，若，，求； ②如图3，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ （八上）9月考试卷 数学 全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．A卷分第I卷和第Ⅱ卷，第I卷为选择题，第Ⅱ卷为其它类型试题． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考室、考号等事项完整填写在答题卡的密封线内．考试结束，监考人员只收答题卡． 2．考生领取试卷、答题卡后，请检查试卷、答题卡数量、总页数及印刷质量，若存在问题，马上更换． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数：，，0.16，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，，，是无理数的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】，是有限小数，有理数， ，开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数， 0.16，是有限小数，有理数， ，是无限不循环小数，是无理数， （两个1之间的0的个数逐次增加1），是无限不循环小数，是无理数， ，是分数，是有理数， ，开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数， ，是有限小数，有理数， ，开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数， 综上所述：共有5个无理数， 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，位于第二象限的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的基本概念和坐标的确定，熟练掌握平面直角坐标系的基本概念即可．根据在平面直角坐标系中，第二象限的点的横坐标小于，纵坐标大于可得出结果． 【详解】解：根据第二象限的点的坐标的特征：横坐标符号为负，纵坐标符号为正， 各选项中只有符合， 故选：C． 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行判断即可．满足下列两个条件是最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．根据二次根式的除法法则对A进行判断；利用二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断． 【详解】解：A、，所以本选项不符合题意； B、，所以本选项符合题意； C、，所以本选项不符合题意； D、，所以本选项不符合题意； 故选：B． 5. 已知一个数的两个平方根分别是A+3与2A-15,这个数的值为（ ） A. 4 B. ±7 C. -7 D. 49 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的性质建立等量关系，求出A的值，再求出这个数的值． 【详解】解：由题意得： A+3+（2A-15）=0， 解得：A=4． ∴（A+3）2=72=49． 故选择：D. 【点睛】本题考查了平方根，先根据平方根互为相反数，求出a的值再求出这个数是解题的关键． 6. 在与之间的整数是（ ） A. ，，0，1，2，3 B. ，，0，1，2 C. ，0，1，2 D. ，0，1，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的估算．由，，由此即可确定与的取值范围，再根据取值范围即可求出符合条件的整数． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴在与之间的整数是，0，1，2． 故选：C． 7. 使代数式有意义的自变量x的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以得出x的范围． 【详解】要使代数式有意义， 则， 解得：且， 故选D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 8. 点在轴的上方，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，以及点的坐标的确定，点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在轴上方，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度， ∴点的横坐标为3或，纵坐标为5， ∴点的坐标为：或． 故选：D． 9. 如图，数轴上与1、两个实数对应的点分别为A、B，点C与点B关于点A对称，则点C表示的数是（ ） A. 2 B. 1 C. 1 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】由于与1、两个实数对应的点分别为A、B，所以得到AB=-1，而点C与点B关于点A对称（即AB=AC），由此得到AC=-1，又A对应的数为1，由此即可求出点C表示的数． 【详解】∵数轴上与1、两个实数对应的点分别为A. B， ∴AB=−1， 而点C与点B关于点A对称(即AB=AC)， ∴AC=−1， 而A对应的数为1， ∴点C表示的数是1−(−1)=2−. 故选A. 【点睛】此题考查实数与数轴，解题关键在于得到AB=-1. 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，以AC和BC为底边分别向外作等腰直角△AFC和等腰直角△BEC，若△AFC的面积为，△BCE的面积为，则的值为（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理求出，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出BE＝CE=BC，AF＝FC=AC，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝8， ∴， ∵△BEC和△AFC是等腰直角三角形， ∴BE＝CE=BC，AF＝FC=AC， ∴ =×64 ＝16； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共70分） 二、填空题（每小题4分，共16分） 11. 的立方根是_____________；的算术平方根是_____________． 【答案】 ①. 4 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根．熟练掌握立方根，算术平方根是解题的关键．根据的立方根为，的算术平方根为，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，的立方根为，的算术平方根为， 故答案为：4；2． 12. 比较大小：_____________．（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，利用作差法得到，再判断的符号即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知，则的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，有理数的乘方，代数式求值等知识．确定的值是解题的关键． 由题意得，，，可求，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知点、，且直线平行于轴，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵、，且直线平行于轴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共54分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，绝对值的意义，零指数幂，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类项即可； （2）利用完全平方公式和化简二次根式求解即可； （3）先化简绝对值和二次根式，零指数幂，合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 16. 已知和互为相反数，求的值． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质和负指数次幂，根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得 ， ， ， 17. 已知实数、、在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴的概念，二次根式的化简，绝对值化简，根据数轴得到，得到，，根据二次根式的性质和绝对值化简即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，则，， ∴ ． 18. 如图，在点正北方的处有一信号接收器，点在点的北偏东的方向，一电子狗从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为． （1）求出点到线段的最小距离； （2）请判断点处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间． 【答案】（1）点到线段的最小距离为； （2）能，可接收信号的时间． 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）作于．求出即可解决问题； （2）当时，，同理，根据，求出运动时间即可解决问题； 【小问1详解】 解：作于． 在中，，， 则是等腰直角三角形， ， ， 答：点到线段的最小距离为； 【小问2详解】 解：， 点处能接收到信号． 当时，， 当时，， ， 可接收信号的时间． 答：可接收信号的时间． 19. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边与轴正方向的夹角为，且点的横坐标为2． （1）求正方形的面积； （2）写出点、点、点的坐标，并说明理由． 【答案】（1）； （2），，； 理由如下：过A作轴于E， 由（1）知，在中，由勾股定理得：， ， ； 过点作轴于点，作轴交的延长线于， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【解析】 【分析】本题考查含的直角三角形特征，全等三角形的性质和判定，平面直角坐标系，正方形的性质及其运用，熟练掌握正方形的性质及其运用是解题的关键； （1）过点作轴，垂足为点，在中，求出的长度，即可求解； （2）由勾股定理可得，进而求得的长度，过点作轴于点，作轴交的延长线于，证明，求得，求得的长度，进而求解； 【小问1详解】 过点作轴，垂足为点， 在中 ， ； 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，，，等腰直角中，，且点D是边BC上一点． （1）求AC的长． （2）如图1，当点E恰在AC上时，求点E到BC的距离． （3）如图2，当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值． 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作AF⊥BC，垂足为F，可得△ABF是等腰直角三角形，由已知可得AB=3，利用勾股定求AF=BF=3，，在Rt△FAC中，利用勾股定理即可求出AC长； （2）过E点作于H，由（1）得：，AF⊥CF，可求.设，则，，可求，设，则，在中，由勾股定理得：，可得，由，构造方程，解方程即可； （3）当D运动到C点时，E到BC的距离最大，作于H点，并延长EA交BC于G，可求，可求，在中，∠GEH =30°，，由勾股定理得：，可求， 【详解】解：（1）过A点作于F点， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）过E点作于H， 由（1）得：，AF⊥CF， ∴， 设，则， ， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即，得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即E到BC的距离为； （3）由题可知，当D运动到C点时，E到BC的距离最大， 此时， 作于H点，并延长EA交BC于G， 则， 由（2）得：， 则， 在中，， ∴∠GEH=90°-∠EGH=30°， ∴， 由勾股定理得：， 即， ∴， 解得：， 即点E到BC的最大距离为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，30°角所对直角边等于斜边的一半，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，30°角所对直角边等于斜边的一半，抓住，构造方程，解题关键是引辅助线准确构图来解决最大距离． B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 21. 对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数运算，结合已知条件列出正确的算式是解题关键． 根据题意列式后利用二次根式运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 22. 已知点P3a1,5，且点P到两坐标轴的距离相等，则a的值为_________. 【答案】a=2或a=-． 【解析】 【分析】由点P到两坐标轴的距离相等可得出|3a-1|=5，求出a的值即可． 【详解】∵点P到两坐标轴的距离相等， ∴|3a-1|=5， 化简得：3a-1=±5， 解得：a=2或a=-． 故答案为a=2或a=-． 【点睛】本题考查了点的坐标的知识，解答本题的关键在于得出|3a-1|=5，注意不要漏解． 23. 已知实数满足，则的值为______________． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数大于等于0列式求出的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解． 【详解】解：∵， ∴，即， 则， ∴，即， ∴， 故答案为：100． 24. 如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，则点第8次跳动至点的坐标是______________，点第2019次跳动至点的坐标是______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，(为自然数)”是解题的关键． 设第次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，”，依此规律即可得出点和的坐标． 【详解】解：设第次跳动至点， 观察发现：， ，， ∴（n为自然数）． ∵， ∴，即， 故答案为：，． 25. 如图，在四边形中，，将绕点逆时针旋转到，作的延长线于，为上一点，且，已知，，，则的长为______________． 【答案】5 【解析】 【分析】作于E点，连接，先得出四边形为矩形，由矩形的性质可得出，，，由旋转的性质可得，，由勾股定理得出，，解出，进而得出，作与点F，设交于H，证明，由全等三角形的性质可得出，，进而可得出，，最后根据线段的和差以及等量代换可得出． 【详解】解∶作于E点，连接， ∴ ∵， ∴四边形为矩形 ∴，，，． 在中，， 由旋转的性质可得，， 在中，， ∴， 即， 得∶， ∴ 作与点F，设交于H， ∴ ∴， 在与中 ∴ ∴，， 则，， 即 解得∶ ∴， ∴， 即 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定以及性质，旋转的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，作出辅助线是解题的关键． 二、解答题（共30分） 26. 已知，． （1）求； （2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的求值，无理数的估算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先求出，，进而得到，，再由进行求解即可； （2）先估算出，，则，，，由此代值计算即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ； 【小问2详解】 ，，， ，， 的小数部分，的整数部分， ． 27. 如图，在直角坐标系中，边在轴上，于，，点的坐标为，点是射线上一动点． （1）求线段的长； （2）若是等腰三角形，求点的坐标； （3）若是上的动点，则是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点M坐标为或或； （3）存在，最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可求得线段的长； （2）由等腰三角形性质，对三角形三边关系进行讨论，分别求出三种情况下点M的坐标即可； （3）作点A关于直线对称点，利用对称性可以求出最小值． 【小问1详解】 解：∵中，点的坐标为， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：当时， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，点M为中点， ∴点M的坐标为； 当时，作，垂足为E，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当时，作，垂足为F，如图所示， ∴， ∴，则， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； 综上所述：点M坐标为或或； 【小问3详解】 解：作点A关于直线对称点为G，如图所示， ∴，，， ∴， ∵， ∴当M、N、G三点共线，且时，最小，即此时最小，最小值为的长， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称最短路径问题，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的定义等等，解（2）的关键在于分类讨论求解，解（3）的关键在于作出辅助线确定当M、N、G三点共线，且时，最小，即此时最小． 28. 已知、分别为正方形的边、上的点． （1）如图1，连接、、，已知，，为的中点，求证：为直角三角形； （2）连接分别交、于、，且． ①如图2，若，，求； ②如图3，若，求证：． 【答案】（1） 四边形是正方形 ， ，为中点 ， 根据勾股定理可得：，， 为直角三角形； （2） ①13；②证明：如图3中，设正方形的边长为． ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， ，设，则， ， ， ，， ． 【解析】 【分析】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题； （1）根据四边形是正方形，可得，进而求得，的长度，再利用勾股定理的逆定理即可求解 （2）①如图2，绕点逆时针旋转90°得到，连接，就可以得出，就有，就可以得出就可以得出，由勾股定理就可以得出结论；②设正方形的边长为，求出，即可判断 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ①解：如图2，在正方形中，，， ． 把绕点逆时针旋转得到，连接． ， ，，，． ， 即． ， ， ， 即， ． 在和中 ， ， ， ． ， ， ； 设，则， ， ， ． ②略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $