精品解析：北师大版2023-2024学年九年级数学下册期中测试卷

期中测试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. sin240°+cos240°的值为（　　） A. 0 B. C. 1 D. 2 3. 在中，，，若，则的长度为 A. B. C. D. 4. 已知二次函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为（ ）． A. B. C. D. 6. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2度数为（　　） A. 120° B. 135° C. 145° D. 150° 7. 如图，二次函数的图象过点和点，且顶点在第三象限，设，则 p的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）、（2，y2）．下列结论：①若y1＞0时，则a+b+c＞0； ②若a＝2b时，则y1＜y2；③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0．其中正确的结论个数为（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. 市场调查表明：某种水果一周内的销售率y（销售率售出数量进货数量）与价格倍数x（价格倍数售出价格进货价格）的关系满足函数关系 （）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m．在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝60°．则气球A离地面的高度（　　） A. （30﹣10）米 B. 20米 C. （30+10）米 D. 40米 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 11. 在△ABC中，∠C=90°，如果sinA= ， AB=6，那么BC=________ 12. 已知函数 是二次函数，那么______． 13. 在中，若，则______. 14. 二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝_____． 15. 在中， 则的长为_________． 16. 某旅社有客房144间，每间房日租金为200元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间房的日租金每增加10元时，则每天客房出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到________元时，客房的日租金总收入最高． 17. 如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处的仰角是α，若tanα=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是____米． 18. 如图，已知点，点，点在二次函数的图象上，作射线，再将射线绕点按逆时针方向旋转，交二次函数图象于点，则点的坐标为__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过点P（1，﹣3） （1）求a的值； （2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小． 21. 如图，△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=3，AD⊥BC垂足为D．求AC长． 22. 如图，在Rt△ABC中，，点在边上，⊥，点为垂足，，∠DAB=450，tanB=. (1)求的长； (2)求的余弦值． 23. 已知二次函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b （1）当b=﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求a值； ②求当a≤x≤b时，一次函数y=ax+b的最大值及最小值； （2）若a≥3，b﹣1=2a，函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b在﹣＜x＜c时的值恒大于或等于0，求实数c的取值范围． 24. 一种火爆的网红电子产品，每件产品成本元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价（元）与一次性批发量（件）（为正整数）之间满足如图所示的函数关系． 直接写出与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 若一次性批发量不超过件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润多少？ 25. 为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得教学楼窗户处的仰角为(、、、在同一直线上)．然后，小明沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行． (1)求点到直线距离(结果保留根号)； (2)若小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度(结果精确到0.1米，，)． 26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(k为常数）． （1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值； （2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围； （3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中测试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，函数是二次函数，不符合题意； B、不是二次函数，不符合题意； C、不是二次函数，不符合题意； D、是二次函数，符合题意； 故选：D． 2. sin240°+cos240°的值为（　　） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方关系：sin2A+cos2A=1即可求解． 【详解】sin240+cos240=1. 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是同角三角函数的关系，解题的关键是熟练的掌握同角三角函数的关系. 3. 在中，，，若，则的长度为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据，代入求值即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 故选：A． 4. 已知二次函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，关键是由二次函数的图象判断出和的符号．由二次函数（其中）可得，，再判断出一次函数的图象经过一、三、四象限即可． 【详解】由已知二次函数图象，可得抛物线与轴的交点为和 ∵ ， 一次函数中随的增大而增大，与轴的负半轴相关． 故选：C． 5. 由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取格点D，连接，利用勾股定理计算出、和，从而根据勾股定理逆定理可判断，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，取格点D，连接， 由勾股定理可知，，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，求角的正切值．利用数形结合的思想是解题关键． 6. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（　　） A. 120° B. 135° C. 145° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据特殊角的三角函数值即可求得∠1的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余，以及平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵sin∠1=， ∴∠1=45°， ∵直角△EFG中，∠3=90°-∠1=90°-45°=45°， ∴∠4=180°-∠3=135°， 又∵AB∥CD， ∴∠2=∠4=135°． 故选：B 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基础题，直角三角形特殊函数值要熟练牢记，30,45,60,等值的正弦，余弦，正切，余切要熟练把握 7. 如图，二次函数的图象过点和点，且顶点在第三象限，设，则 p的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，先根据二次函数的图象与坐标轴分别交于点和点，求出，，进而得到，再求出即可得到结论． 【详解】解：抛物线过点 和点， ，， ∴， 顶点在第三象限， ， 又， ， ，即， ∵， ， 即：． 故选：B． 8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）、（2，y2）．下列结论：①若y1＞0时，则a+b+c＞0； ②若a＝2b时，则y1＜y2；③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0．其中正确的结论个数为（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】①将点（1，y1）代入函数解析式，结合y1＞0，即可得到结论． ②若a＝2b时，可求对称轴x＝，分两种情况进行讨论，即可得结论． ③由a＋b＜0，分两种情况讨论对称轴与函数图象开口的关系，结合函数图象确定y1，y2的正负性． 【详解】①将点（1，y1）代入二次函数y＝ax2+bx+c， 得到y1＝a+b+c， ∵y1＞0， ∴a+b+c＞0． 故①正确． ②若a＝2b时，函数对称轴x＝， 当a＞0时，y1＜y2， 当a＜0时，y1＞y2． 故②错误． ③∵a+b＜0， ∴a＜﹣b 当a＜0时，，此时只能y1＞0，y2＜0； 当a＞0时，，此时只能y1＜0，y2＞0； 所以y1＜0，y2＞0，且a+b＜0时，a＞0． 故③正确． 故选C． 【点睛】本题考查：二次函数图象的特点；二次函数对称轴与函数值的关系．本题解题关键是数形结合思想的灵活运用． 9. 市场调查表明：某种水果一周内的销售率y（销售率售出数量进货数量）与价格倍数x（价格倍数售出价格进货价格）的关系满足函数关系 （）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为，根据“利润率出货价格进货价格售出数量进货价格进货数量进货价格进货数量”列出关于的函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．解题的关键是熟练掌握利润率的计算公式，并根据利润率公式设出所需量及二次函数的性质． 【详解】解：设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为， 则， ∵商品售价不得超过进货价格的2倍， ∴， ∵当时，利润率随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 故选：C． 10. 如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m．在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝60°．则气球A离地面的高度（　　） A. （30﹣10）米 B. 20米 C. （30+10）米 D. 40米 【答案】C 【解析】 【分析】作AE⊥BD于E，设AE＝x米，根据正切定义，用含x的代数式表示CE和BE，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】 作AE⊥BD于E，设AE＝x米， 在Rt△ACE中，C ∵∠ABE=45°， ∴BE=AE＝x， 由题意得BE-CE=BC=20，即 解得x=30+ 答：气球A离地面的高度约为（30+ 故选C． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义，并列出方程是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 11. 在△ABC中，∠C=90°，如果sinA= ， AB=6，那么BC=________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案． 【详解】sinA==，得 BC=AB×=6×=2 ， 故答案为 2. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中， 锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边. 12. 已知函数 是二次函数，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可得到答案． 【详解】解：由题意得，解得：， 故答案为：． 13. 在中，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据绝对值和完全平方的非负性求出和的度数，再根据三角形内角和定理求出的角度即可. 详解】由题意得：， ∴， ∴， ∴ 故填：. 【点睛】本题考查了绝对值和完全平方的非负性、特殊角度的三角函数值、三角形内角和定理，熟记特殊角度的三角函数值是关键. 14. 二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据二次项系数判断出开口方向，再利用对称轴公式求出对称轴，根据二次函数的性质及题中所给出的自变量的范围可知最小值为抛物线顶点坐标的纵坐标，利用二次函数顶点坐标公式建立方程，解之即可得出答案. 【详解】解：∵1>0， ∴二次函数图象开口向上， 即抛物线有最低点， ∵对称轴为， ∴在的范围内最小值为顶点的纵坐标， 即， 解得a=1. 故答案为1. 【点睛】本题考查了二次函数的性质.熟练掌握二次函数的增减性及顶点坐标公式是解题的关键. 15. 在中， 则的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根据正切的定义得到，设，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中， ， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：6． 16. 某旅社有客房144间，每间房的日租金为200元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间房的日租金每增加10元时，则每天客房出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到________元时，客房的日租金总收入最高． 【答案】220 【解析】 【分析】本题考查二次函数实际应用，设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间，根据题意得到与的关系式，再根据二次函数的性质可得答案．解题的关键是掌握租金总收入日租金房间数列出函数关系式． 【详解】解：设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间． 设客房日租金总收入为，则， 即：， ∵，且， ∴． 当时，客房的日租金总收入最高． 这时每间客房日租金为（元）． 故答案为：220． 17. 如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处的仰角是α，若tanα=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是____米． 【答案】27． 【解析】 【分析】作PE⊥AB于点E，在直角△AEP中，利用三角函数求得AE的长，根据AB=2AE即可求解． 【详解】解：作PE⊥AB于点E， ∵PE⊥AB，AB⊥AC， ∴PE//AC， ∴∠APE=∠α， ∴在直角△AEP中，AE=PE•tan∠APE=30×0.45=13.5（米）， ∵AP=BP， ∴AB=2AE=27（米）． 故答案是：27 【点睛】本题考查解直角三角形、仰角、俯角的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题关键. 18. 如图，已知点，点，点在二次函数的图象上，作射线，再将射线绕点按逆时针方向旋转，交二次函数图象于点，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过A作AD⊥y轴于D，过A作AE⊥x轴于E，将△ADB旋转到△AEF的位置，B点的对应点是F，可证得△BAH≌△FAH（SAS），设BH=x，在Rt△BOH中，由勾股定理可求出x的值，求出H点坐标，然后求出直线AH的解析式，联立二次函数解析式即可求出C点坐标. 【详解】把A(3,3)代入y=x2+bx-9得 3=9+3b-9 ∴b=1 ∴y=x2+x-9 过A作AD⊥y轴于D，过A作AE⊥x轴于E，将△ADB旋转到△AEF的位置，B点的对应点是F，可知AF=AB，又∠HAF=∠HAE＋∠EAF=∠HAE＋∠DAB=45°=∠BAH， ∴△BAH≌△FAH（SAS）， ∴HF=BH. 由图可知DB=1，OB=2， 则EF=BD=1, 设BH=x,则OH=4-x, 在Rt△BOH中，由勾股定理得BH2=OH2+BO2 即x2=(4-x)2+22, x=2.5, 所以OH=4-x=1.5 ∴H点坐标为（1.5,0） 由A（3,3）和H（1.5,0）可得直线AC的解析式为y=2x-3 ∵直线AC交二次函数图象于点 ∴2x-3= x2+x-9 解得 ∴点C的横坐标为-2 ∴ ∴点C的坐标为(-2,-7). 故答案为(-2,-7). 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质和待定系数法求函数解析式，解题关键是构造全等三角形求出H点坐标. 三、解答题（本大题共8小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算． （1）先计算30度，45度和60度角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算30度，45度角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过点P（1，﹣3） （1）求a的值； （2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小． 【答案】（1）a＝﹣4；（2）y1＜y2． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，将点（1，-3）代入抛物线方程，然后解关于a的方程即可； （2）根据（1）中a的值可以求得此函数的解析式，然后根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小． 【详解】（1）∵抛物线过点P（1，﹣3）， ∴﹣3＝a+1，解得a＝﹣4． （2）当a＝﹣4时，抛物线的解析式为y＝﹣4（x﹣2）2+1． ∴抛物线的开口向下，对称轴为x＝2， ∴当x≤2时，y随x的增大而增大， ∵m＜n＜2， ∴y1＜y2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 21. 如图，△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=3，AD⊥BC垂足为D．求AC长． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：先解直角三角形ABD，求出BD、AD的值，再根据BC=3，得出CD=2，最后由勾股定理求出AC的值即可. 试题解析： ，垂足为D 在 中， 即 解得： BC=3 CD=2 在中， 22. 如图，在Rt△ABC中，，点在边上，⊥，点为垂足，，∠DAB=450，tanB=. (1)求的长； (2)求的余弦值． 【答案】(1)3;(2) 【解析】 【详解】分析：（1）由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形，在直角三角形DEB中，利用锐角三角函数定义求出DE与BE之比，设出DE与BE，由AB=7求出各自的值，确定出DE即可； （2）在直角三角形中，利用勾股定理求出AD与BD的长，根据tanB的值求出cosB的值，确定出BC的长，由BC﹣BD求出CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可． 详解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°．又∵∠DAB=45°，∴DE=AE．在Rt△DEB中，∠DEB=90°，tanB==，设DE=3x，那么AE=3x，BE=4x．∵AB=7，∴3x+4x=7，解得：x=1，∴DE=3； （2）在Rt△ADE中，由勾股定理，得：AD=3，同理得：BD=5．在Rt△ABC中，由tanB=，可得：cosB=，∴BC=，∴CD=，∴cos∠CDA==，即∠CDA的余弦值为． 点睛：本题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键． 23. 已知二次函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b （1）当b=﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求a的值； ②求当a≤x≤b时，一次函数y=ax+b的最大值及最小值； （2）若a≥3，b﹣1=2a，函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b在﹣＜x＜c时的值恒大于或等于0，求实数c的取值范围． 【答案】（1）①a的值是﹣2或﹣4；②当x=﹣4时，函数取得最大值，y=13，当x=﹣3时，函数取得最小值，y=9；（2）﹣＜c≤． 【解析】 【分析】（1）①把b=﹣3和点（﹣1，4）代入y=9x2﹣6ax+a2﹣b即可求出a的值；②根据a≤x≤b，b=﹣3求出a的值，然后根据一次函数的性质求解即可； （2）先求出抛物线与x轴的交点，然后根据﹣＜x＜c时的值恒大于或等于0列式求解即可. 【详解】（1）①∵y=9x2﹣6ax+a2﹣b，当b=﹣3时， 二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4=9×（﹣1）2﹣6a×（﹣1）+a2+3， 解得，a1=﹣2，a2=﹣4， ∴a值是﹣2或﹣4； ②∵a≤x≤b，b=﹣3 ∴a=﹣2舍去， ∴a=﹣4， ∴﹣4≤x≤﹣3， ∴一次函数y=﹣4x﹣3， ∵一次函数y=﹣4x﹣3中，y随x的增大而减小， ∴当x=﹣4时，函数取得最大值，y=﹣4×（﹣4）﹣3=13 x=﹣3时，函数取得最小值，y=﹣4×（﹣3）﹣3=9 （2）∵b﹣1=2a ∴y=9x2﹣6ax+a2﹣b可化简为y=9x2﹣6ax+a2﹣2a﹣1 ∴抛物线的对称轴为：x=≥1， 抛物线与x轴的交点为（，0）（，0） ∵函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b在﹣＜x＜c时的值恒大于或等于0 ∴c≤， ∵a≥3， ∴﹣＜c≤． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一次函数的图像与性质及数形结合的数学思想.熟练掌握二次函数及一次函数的图像与性质是解答本题的关键. 24. 一种火爆的网红电子产品，每件产品成本元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价（元）与一次性批发量（件）（为正整数）之间满足如图所示的函数关系． 直接写出与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 若一次性批发量不超过件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）当且为整数时，； 当且为整数时， ； 当且为整数时，； （2）一次批发件时所获利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）根据函数图像，求出各个部分的解析式即可； （2）设所获利润（元），分段求出各个不发的利润，再比较最大利润即可求解. 【详解】解：（1）当且为整数时，y=40； 当且为整数时，设y=kx+b， 将（20，40），（60，20）代入，得： 解得：k=，b=50， ∴； 当且为整数时，； （2）设所获利润（元）， 当且为整数时， 元， 当且为整数时，w=480 , ∴当且为整数时， 当x=34时，最大，最大值为元． 答：一次批发件时所获利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查的是函数的实际应用，熟练掌握分段函数是解题的关键. 25. 为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得教学楼窗户处的仰角为(、、、在同一直线上)．然后，小明沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行． (1)求点到直线的距离(结果保留根号)； (2)若小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度(结果精确到0.1米，，)． 【答案】(1)点到地面的距离为米；(2)宣传牌的高度约为4.3米． 【解析】 【分析】(1)过点作于，依题意知，，；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论； (2)解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：(1)过点作于， 依题意知，，； ∴四边形是矩形； ∴； 在中， ； (米)； ∴点到地面的距离为米； (2)∵斜坡：． ∴中，， ∴． 在中， ． ∴． (米)． 答：宣传牌的高度约为4.3米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(k为常数）． （1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值； （2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围； （3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值． 【答案】(1);(2)k>1；（3）1或3. 【解析】 【分析】（1）把（1，k2）代入抛物线解析式中并求解即可； （2）将点分别代入抛物线解析式中，由y1＞y2列出关于k的不等式，求解即可； （3）先求出新抛物线的解析式，然后分1≤k≤2，k＞2以及k＜1三种情况讨论，根据二次函数的顶点及增减性，分别确定三种情况下各自对应的最小值，然后列出方程并求出满足题意的k值即可． 【详解】解：（1）把点代入抛物线，得 解得 （2）把点代入抛物线，得 把点代入抛物线，得 解得 （3）抛物线解析式配方得 将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为 当时，对应的抛物线部分位于对称轴右侧，随的增大而增大， 时，， ，解得， 都不合题意，舍去； 当时，， 解得； 当时，对应的抛物线部分位于对称轴左侧，随的增大而减小， 时，， 解得，（舍去） 综上，或3． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的代入点求值、二次函数的最值、二次函数与一元二次不等式、方程的关系以及函数平移的问题，解题关键是熟练掌握二次函数的相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$