精品解析：北师大版2023-2024学年九年级数学下册期末综合测试卷

期末综合测试卷 (满分120分，时间120分钟) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1. 在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵∠C=90°，∠A=40°，∴∠B=50°. ∵BC=3，，∴. 故选D. 考点：1.直角三角形两锐角的关系；2.锐角三角函数定义. 2. 二次函数 的图象如图，则一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与一次函数图象综合判断，根据二次函数的顶点坐标在第四象限得到，再根据一次项系数为正，且常数项为正的一次函数经过第一、二、三象限即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，二次函数的顶点在第四象限，且二次函数的顶点坐标为 ∴， ∴， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限， 故选：A 3. 如图在中，于C，若，，则半径长度为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为r，再连接，在中利用勾股定理求出r的值即可． 【详解】解：连接， ∵于C， ∴， 设的半径为r， 则，， ∴，解得， 故选：A． 4. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣2 3 6 7 6 … 当y＜6时，x的取值范围是（　　） A. x＜1 B. x≤3 C. x＜1或x＞0 D. x＜1或x＞3 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格确定出抛物线的对称轴，开口方向，然后根据二次函数的图像与性质解答即可. 【详解】∵当x=1时，y=6；当x=3时，y=6， ∴二次函数图象的对称轴为直线x=2， ∴二次函数图象的顶点坐标是（2，7）， 由表格中的数据知，抛物线开口向下， ∴当y＜6时，x＜1或x＞3． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小. 5. 如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由根据圆内接四边形的性质得，求出，然后由圆周角定理即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 【详解】∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，，则斜边上的高等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，AB＝4， ∴， 解得． 根据勾股定理得： 如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∵，， ∴． 故选：B． 7. 如图，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是（　　） A. P＞Q B. P＜Q C. P＝Q D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】设OA=a，根据扇形面积公式求出扇形OAB的面积，结合图形列式计算即可． 【详解】设OA＝a， 扇形OAB的面积＝， 以OA，OB为直径在扇形内作的半圆的面积＝ P＝扇形OAB的面积﹣（以OA为直径的半圆的面积+以OB为直径的半圆的面积）+Q＝×2+Q＝Q 故选C． 【点睛】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：是解题的关键． 8. 如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，由同角的余角相等得，则，设，则，然后通过勾股定理求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故选：． 9. 如图分别切于A、B、E，，则（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定与性质，四边形的内角和，根据切线的性质证明，，得到，，进而得到，再根据四边形内角和即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵分别切于A、B、E， ， 在与中， ， ， ∴， 同理， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：；；；；.其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用图象信息即可判断；根据时， 即可判断；根据是方程 的根，结合两根之积即可判断；根据两根之和可得代入即可判断，根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵时，， ∴，即，故正确， ∵二次函数的图象过点和， ∴，， ∴ ∴，故正确， ∵， ∴， ∴， ∵ ，故正确， 当时，， 又∵图象过点和， ∴当时，，， 则 ∴ ∴，故正确， 综上正确， 故选：． 二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分.本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程) 11. 若函数是二次函数，则m的值为_________． 【答案】9或0##0或9 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得或， 故答案为：9或0． 12. 已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是___． 【答案】8． 【解析】 【详解】试题分析：利用锐角三角函数定义求出所求即可， ∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6， ∴sinA=，即=， 解得：AB=8． 考点：解直角三角形． 13. 如图，在中，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆周角定理，得到∠AOC=70°，由垂径定理得到∠BOC=∠AOC，即可求出答案． 【详解】解：∵ 由圆周角定理，得 ， ∵， ∴， ∴∠BOC=∠AOC=70°， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和垂径定理进行解题． 14. 已知二次函数 的图象如图所示， 有以下结论：① ；② ； ③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是____．（只填序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】根据时的函数值判断①；根据时的函数值判断②；根据a，b，c的符号判断③；根据时的函数值判断④；根据a，c的符号判断⑤． 【详解】解：由图可知，当时，，即，故①正确； 当时，，即，故②正确； 抛物线开口向下，与y轴的交点为， ，， 对称轴为， ， ， ，故③正确； 时，，对称轴为， 时，， ，故④错误； ，， ，故⑤正确； 综上可知，正确的有①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是_____ 【答案】2.4 【解析】 【分析】根据余角的性质得到∠B=∠ACD，由tan∠ACD=，得到tan∠B==，设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得到AC=3，BC=4，根据三角形面积的公式即可得到结论． 【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°， ∴∠B=∠ACD， ∵tan∠ACD=， ∴tan∠B==， 设AC=3x，BC=4x， ∵AC2+BC2=AB2， ∴（3x）2+（4x）2=52， 解得x=1， ∴AC=3，BC=4， ∵S△ABC=AB×CD=AC×BC， ∴CD==2.4， 故答案为2.4． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键． 16. 如图，是的直径，C是延长线上的一点，是的切线，D为切点，过点 B 作的切线交于点E，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，解直角三角形，由切线的性质得到，则，进而得到，解得到，再由切线的性质和切线长定理得到，解可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵是的切线， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 17. “地摊经济”一时兴起， 小明计划在夜市销售一款产品， 进价40元/件， 售价110 元/件， 每天可以销售 20 件，每销售一件需缴纳摊位管理费用元． 未来 30 天，这款产品将开展 “每天降价1元”的夏日大促活动， 即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现， 该产品单价每降1元， 每天销量增加4件． 在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数（为正整数）的增大而增大，的取值范围应为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，注意为正整数所包含的意义，找出所求问题需要的条件．根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：设未来30天每天获得的利润为y， 化简，得 ∵，当时，随着的增大而增大， ∴ 解得，， 又∵， 即a的取值范围是：． 18. 如图，在某监测点处望见一艘正在作业的渔船在南偏西方向的处，若渔船沿北偏西方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达处，在处观测到在的北偏东方向上，则、之间的距离为________海里. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可求得∠CAB=90º，∠ABC=45º，则△ABC为等腰直角三角形，再由路程=时间×速度求得AC，再通过解该直角三角即可求得BC． 【详解】由题意知，∠CAB=75º+15º=90º，∠ABC=60º-15º=45º，AC=60×0.5=30海里， 则有△ABC为等腰直角三角形， ∴BC= ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角，解答的关键是推知△ABC为等腰直角三角形． 三、解答题(本大题共8小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据有理数的乘方，负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂分别计算，然后合并即可； （）将特殊角的三角函数值正确代入后，再合并计算即可； 本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂，熟练掌握特殊三角函数值的运算和掌握运算法则是解题的关键． 小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 20. 已知函数 是关于x的二次函数． 求： （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1） （2），该点坐标为；当时，y随x的增大而增大． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，二次函数的定义： （1）直接根据二次函数的定义进行求解即可； （2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数 是关于x的二次函数， 解得 ； 【小问2详解】 解：∵抛物线有最低点， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为y轴，且开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． 21. 已知正三角形的边长为1，按如图所示位置放在直线m上，然后无滑动地滚动，当它滚动一个周期时，顶点 A 所经过的路线长为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意可知，点A所经过的这两段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵点A所经过的这两段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为， ∴点A所经过的路线长为 22. 某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值） 【答案】（30+10）海里 【解析】 【分析】先作CH⊥AD，可得BD=×20，AH=DH，可求AH的长，从而求得AD的长． 【详解】解：作CH⊥AD于点H， 由题意可得：△ACD是等腰直角三角形，则CH=AD，设CH=x，则DH=x， 在Rt△CBH中，∠BCH=30°， 则=tan30°，故BH=x， ∴BD=x﹣x=×20， 解得：x=15+5， 故2x=30+10． 答：A、D两点间的距离为（30+10）海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 23. 如图，AD为⊙O的直径，CD为弦，＝，连接OB． （1）求证：OBCD； （2）若AB＝15，CD＝7，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析 （2）12.5 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据＝，得到∠BOA＝∠AOC，由圆周角定理得到AOC，得到∠AOB＝∠D，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）连接AC交OB于M，由AD为⊙O的直径，得到∠ACD＝90°，根据三角形的中位线的性质得到OM＝CD＝，然后根据勾股定理列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：连接OC， ∵＝， ∴∠BOA＝∠AOC， ∵AOC， ∴∠AOB＝∠D， ∴OB∥CD； 【小问2详解】 解：连接AC交OB于M， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∵OB∥CD，∴∠AMO＝90°， ∴AM＝CM， ∵OA＝OC， ∴OM＝CD＝， ∵AB＝15， 设OA＝OB＝r， ∴AB2﹣BM2＝AM2＝OA2﹣OM2， 即152﹣（r﹣）2＝r2﹣（）2， ∴r＝12.5或r=-9（舍去） ∴⊙O的半径是12.5． 【点睛】本题考查了圆周角，弧，弦的关系，三角形的中位线的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 24. 如图，过点的直线与抛物线交于，两点． （1）求b值； （2）求的值． （3）若线段的垂直平分线交轴于，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的结合，利用根与系数的关系进行计算是解题的关键． （1）根据已知条件，利用待定系数法求解即可； （2）把一次函数与二次函数联立方程组得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系计算即可； （3）由（2）得， 求得 根据 ，得到，求得直线 于是得到结论． 【小问1详解】 解：∵直线过点， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴直线的解析式为， 由得：， ∵， ∴x1、x2是的两个不等实数根， 【小问3详解】 ）设的中点为，则的横坐标为， 纵坐标为==， 设AB的中垂线为，将代入得：，则， ∵， 25. 如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF． （1）求证：∠E=∠C； （2）若DF=6cm，cosB=，E是的中点，求DE的长. 【答案】（1）见解析 （2）DE= 14 【解析】 【分析】(1)直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C． (2)根据cosB=，得出AB的长，即可求出AE的长，解直角三角形即可得到结论. 【小问1详解】 连接AD， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵CD=BD， ∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC， ∴∠B=∠C， 又∵∠B=∠E， ∴∠E=∠C. 【小问2详解】 连接OE， ∵∠CFD=∠E=∠C， ∴FD=CD=BD=12， ∵cosB=， ∴AB=20， ∵E是的中点，AB是⊙O的直径， ∴∠AOE=90°， ∵AO=OE=10， ∴AE=10， ∵E是的中点， ∴∠ADE=∠BDE=45°， ∴DG=AG=ADsin45°=16×=8，EG==6， ∴DE=DG+GE=14． 【点睛】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理以及垂径定理等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键． 26. 已知，如图，直线经过点，且，与抛物线在第一象限内相交于点 ，又知的面积为 ． （1）求的值； （2）能否将抛物线 平移使得平移后的抛物线经过点 ? 【答案】（1）； （2）能，将抛物线 向下平移个单位，使得平移后的抛物线经过点 ． 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，二次函数的性质，函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由直线经过点，且得点的坐标，作于C，根据三角形面积求得的纵坐标，然后根据相似三角形的判定与性质得点的横坐标，代入二次函数解析式即可求解； （）设平移后的抛物线的解析式为，代入的坐标求得即可； 【小问1详解】 ∵直线经过点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵的面积为， ∴， ∴， 如图，作于， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴的横坐标为， ∴， ∵点在抛物线 上， ∴， ∴； 【小问2详解】 设平移后的抛物线的解析式为， 把，代入得，，解得， ∴将抛物线向下平移个单位，使得平移后的抛物线经过点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末综合测试卷 (满分120分，时间120分钟) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1. 在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数 的图象如图，则一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 3. 如图在中，于C，若，，则半径长度为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 4 4. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣2 3 6 7 6 … 当y＜6时，x的取值范围是（　　） A. x＜1 B. x≤3 C. x＜1或x＞0 D. x＜1或x＞3 5. 如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，，则斜边上的高等于（ ） A. B. C. D 7. 如图，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是（　　） A. P＞Q B. P＜Q C. P＝Q D. 无法确定 8. 如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图分别切于A、B、E，，则（　　） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数图象过点和，有以下结论：；；；；.其中正确的是（ ） A. B. C D. 二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分.本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程) 11. 若函数是二次函数，则m的值为_________． 12. 已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是___． 13. 如图，在中，则的度数为___________． 14. 已知二次函数 的图象如图所示， 有以下结论：① ；② ； ③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是____．（只填序号） 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是_____ 16. 如图，是的直径，C是延长线上的一点，是的切线，D为切点，过点 B 作的切线交于点E，若，则________． 17. “地摊经济”一时兴起， 小明计划在夜市销售一款产品， 进价40元/件， 售价110 元/件， 每天可以销售 20 件，每销售一件需缴纳摊位管理费用元． 未来 30 天，这款产品将开展 “每天降价1元”的夏日大促活动， 即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现， 该产品单价每降1元， 每天销量增加4件． 在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数（为正整数）的增大而增大，的取值范围应为___． 18. 如图，在某监测点处望见一艘正在作业渔船在南偏西方向的处，若渔船沿北偏西方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达处，在处观测到在的北偏东方向上，则、之间的距离为________海里. 三、解答题(本大题共8小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19. 计算： （1） （2） 20. 已知函数 是关于x的二次函数． 求： （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x增大而增大？ 21. 已知正三角形的边长为1，按如图所示位置放在直线m上，然后无滑动地滚动，当它滚动一个周期时，顶点 A 所经过的路线长为多少？ 22. 某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值） 23. 如图，AD为⊙O的直径，CD为弦，＝，连接OB． （1）求证：OBCD； （2）若AB＝15，CD＝7，求⊙O的半径． 24. 如图，过点的直线与抛物线交于，两点． （1）求b值； （2）求的值． （3）若线段的垂直平分线交轴于，求的取值范围． 25. 如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF． （1）求证：∠E=∠C； （2）若DF=6cm，cosB=，E是的中点，求DE的长. 26. 已知，如图，直线经过点，且，与抛物线在第一象限内相交于点 ，又知的面积为 ． （1）求的值； （2）能否将抛物线 平移使得平移后的抛物线经过点 ? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$