2.3一元二次不等式及其解法课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（1） 复习引入 y O 10 x 2 -16 解： 画二次函数图象，要考虑以下几个方面： （1）开口方向；（2）对称轴；（3）顶点； （4）与x轴的交点；（5）与y轴的交点. y=x2 － 12x +20 情境导学 问题:园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？ 设这个矩形的一条边长为xｍ， 则另一条边长为 ｍ. 由题意，得 ， 其中x∈ . 整理得 ①. 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案． 这是一个什么不等式呢？ （1）只含有一个未知数x； （2）未知数的最高次数为2. 叫做一元二次不等式. x 12-x 4 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的定义： 一元二次不等式的一般形式是 ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0 ax2+bx+c≥0 ax2+bx+c≤0 其中a，b，c均为常数，a≠0. 归纳总结 下面哪些是一元二次不等式(其中a、b、c、m为常数)? 解：（1）（2）是；（3）（4）（5）不是. （3）不是，∵a=0时，不符合定义； （4）不是，x的最高次数是3，不符合定义； （5）不是，m=0时，是一元一次不等式;m≠0时， 是二元二次不等式. 紧扣定义 练习 y O 10 x 2 -16 探究一： 一元二次不等式的解法 怎样解不等式 x2 － 12x +20<0. y=x2 － 12x +20 分析：∵△=（－12）2 －4× 1×20 ＝64>0 ， ∴方程x2 － 12x +20=0有两个实数根: x1=2，x2=10. 画出二次函数 y=x2 － 12x +20的图象. 二次函数 y=x2 － 12x +20与x轴有两个交点是 . 思考1：（1）一元二次方程x2 － 12x +2＝0的根与二次函数y=x2 － 12x +20的 图象有什么关系？ y O 10 x 2 -16 怎样解不等式 x2 － 12x +20<0. y=x2 － 12x +20 二次函数y=x2 － 12x +20与x轴的两个交点（2，0），（10，0）的横坐标2和10就是相应一元二次方程x2 － 12x +20＝0的两个实数根x1=2，x2=10. 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 二次函数y=x2 － 12x +20 的两个零点是 . x1=2，x2=10 一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标. y O 10 x 2 -16 思考2：一元二次不等式x2 － 12x +20<0与二次函数 y=x2 － 12x +20之间有什么关系呢? y=x2 － 12x +20 怎样解不等式 x2 － 12x +20<0. 二次函数y=x2 － 12x +20的两 个零点 x1=2，x2=10将x轴分成三段．相应地， 当x取 时，函数图象位 于x轴上方，此时y＞０，即x2 － 12x + 20＞０；当x取 时，函数图 象位于x轴下方，此 时y＜０，即x2 － 12x +20＜０. ∴不等式x2 － 12x +20<0的解集是 . 不等式x2 － 12x +20＞0的解集是 . 一元二次等式的解集就是二次函数图象在x轴上方或 下方所对应的x的取值范围. 解一元二次不等式ax2+bx+c>0 （a>0）和ax2+bx+c＜0 （a>0）的步骤是： ①解相应方程 ax2+bx+c=0，计算判别式，并求其根. ③观察图象，结合不等号写出不等式的解集. ②画出相应函数y=ax2+bx+c的图象; 归纳总结 二次不等式解法口诀： 系数化正， 一端化零。 德尔塔求值，画出图形。 写出解集， 满分成功！ 例1：求不等式x2 －5x +6＞0的解集. 例题 课本52页 此片共两种... text has been truncated due to evaluation version limitation. 例2：求不等式9x2 －6x +1＞0的解集. 课本52页 此片共两种... text has been truncated due to evaluation version limitation. 例3：求不等式－x2+2x－3＞0的解集. 课本52页 此片共两种... text has been truncated due to evaluation version limitation. 解一元二次不等式的步骤： 一化：将右边化为0，二次项系数化为正； 二解：解方程ax2+bx+c=0（a>0). 计算判别式△ ，判断根的个数，并求根； 四写：根据图象写出不等式的解集. 三画：画出y=ax2+bx+c（a>0)的图象; 反思归纳 1.求下列不等式的解集： 练习 课本53页 1.求下列不等式的解集： 课本53页 1.求下列不等式的解集： 课本53页 1.求下列不等式的解集： 课本53页 1.求下列不等式的解集： 课本53页 1.求下列不等式的解集： 说明：在二次项系数为正的前提下， 若△＞0 ，则可利用“大于取两边，小于取中间”写出一元二次不等式的解集； 若△≤0，则需要结合函数的图象，写出一元二次不等式的解集. 课本53页 2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于０？大于０？小于０？ 课本53页 2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于０？大于０？小于０？ 课本53页 2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于０？大于０？小于０？ 课本53页 2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于０？大于０？小于０？ 课本53页 随堂检测 求解一元二次不等式的过程： 课堂小结 若△＞0 ，则利用“大于0取两边，小于0取中间”写出不等式的解集；若△≤0，则结合函数的图象，写出不等式的解集. 课后作业 1.一元二次方程 的根的判别式为 . （1）当 时，方程有两个 实数根; （2）当 时，方程有两个 实数根; （3）当 时，方程 实数根. 2.一元二次方程 的求根公 式是 . 3.画出二次函数 的图象. 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　) A．{x|x<－1}　　　　　　 B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(3,2))))) C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(3,2))))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(3,2))))) 解析：不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0， 因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25>0，所以方程 2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝eq \f(3,2)，又二次 函数y＝2x2－x－3的图象开口向上，所以不等式 －2x2＋x＋3<0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(3,2)))))，故选D. 答案：D 2．下列四个不等式： ①－x2＋x＋1≥0；②x2－2eq \r(5)x＋eq \r(5)>0； ③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1. 其中解集为R的是(　　) A．①　 B．② C．③ D．④ 解析：①显然不可能；②中Δ＝(－2eq \r(5))2－4×eq \r(5)>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C. 答案：C 3．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}， 则M∩N为(　　) A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7} B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7} C．{x|x≤－2或x＞3} D．{x|x＜－2或x≥3} 解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0} ＝{x|－4≤x≤7}， N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3} ∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}． 答案：A 答案： 4．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是________． 解析：由y＜0得x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3. 《必修第一册》 “复习巩固”1，2；“综合运用”3，5. $$