2.2.1基本不等式课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 (1) B A C D E F G H 则正方形ABCD的面积 是________， 这4个直角三角形的面积之和是_________， 设AE=a,BE=b, a2+b2 2ab ＞ B A C D E F G H B A C D a b EFGH 即当且仅当a=b时， 正方形EFGH缩为一个点， 这时有__________________. 当直角三角形变为等腰直角三角形， 即a=b时， 一般地， 当且仅当，a=b时，等号成立。 探求新知 当且仅当，a=b时，等号成立。 特别地，如果a>0，b>0，我们用,分别代替上式中的a,b,可得 当且仅当a=b时，等号成立。 重要不等式 基本不等式 叫做正数a,b的几何平均数；叫做正数a,b的算术平均数。 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 思考：你能证明基本不等式吗 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a=b a=b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈R a>0,b>0 1.重要不等式与基本不等式的比较 反思总结 2.基本不等式的常用变形公式有： D A B C E 如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD, 则CD=＿＿,半径为＿＿. 思考：你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ∵CD小于或等于圆的半径， 用不等式表示为 上述不等式当且仅当点C与圆心O重合，即当a=b时，等号成立. 基本不等式的几何意义：半弦不大于半径. O 例题 一正 二定 三相等 课本45页 1、已知x>0，求x+的最小值。 解：因为x>0，所以x+=2, 当且仅当x，即x2=1,x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2. 想一想，当y0<2时，x+成立吗？这时能说y0是x+（x>0）的最小值吗？ 当y0<2时，x+ 成立，但不能说是最小值。 因为x+ 可知x+恒成立，但等号取不到，所以x+。由于没有等号成立，所以不能说是最小值。 例2 已知x,y都是正数，求证： （1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2； （2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 证明：因为x,y都是正数，所以 （1）当积xy等于定值P时，，所以 当且仅当x=y时，上式等号成立。于是，当x=y时，和x+y有最小值2 （2）当和x+y等于定值S时，，所以 当且仅当x=y时，上式等号成立。于是，当x=y时，积xy有最大值 简称：积定各等和最小， 和定各等积最大。 化负为正 一正 二定 三相等 变式2：求 的最小值. 构造积为定值 一正 二定 三相等 当且仅当 ，即 时，等号成立. 一正 二定 三相等 当且仅当 ，即 时，等号成立. 构造和为定值 一正 二定 三相等 应用基本不等式求最值时，要把握三个条件： ①各项皆为正数； ②和为定值或积为定值； ③注意等号成立的条件. 一正 二定 三等 即一正二定三相等，缺一不可. 归纳总结 说明：求“和”的最小值，构造“积”为定值；求“积”的最大值，构造“和”为定值 随堂检测 1.重要的不等式 2.基本不等式 课堂小结 3.用基本不等式求最值时，要把握 “七字方针” 即 “一正二定三相等”. 归纳小结 1、利用基本不等式求最值 已知x,y都是正数，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2. （2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 简称：积定和最小 简称：和定积最大 2、利用基本不等式求解最值、范围问题 应用基本不等式时，要注意构造满足基本不等式的条件，常用的解题技巧是合理拆分项或配凑因式，目的在于满足“和为定值或积为定值”。 在应用时必须注意保证“一正二定三相等”。 一正：各项必须为正数； 二定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，否则求最值就会出错； 三相等：要保证等号成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值。 例题精讲——掌握基本不等式求最值的技巧 例2 已知x>0,y>0,+=1,求x+y的最小值。 解：方法一：“1”的整体代入 因为 + =1，所以x+y=(x+y)+ =10+. 因为x>0,y>0,所以 （当且仅当时，即y=3x时，去等号）。 又因为 + =1，所以x=4,y=12.所以当x=4,y=12时，x+y取得最小值16. “1”的整体代入： （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）。 （2）把确定的定值（常数）变形为1. （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式。 （4）利用基本不等式求解最值。 例题精讲 方法二：消元化归部分分式。 由,得x=. 因为x>0,y>0,所以y-9>0,则y>9, 所以x+y=+y=y+y++1=(y-9)++10. 因为y-9>0,所以(y-9)+=6, 当且仅当(y-9)，即y=12时，取等号，此时x=4.所以当x=4,y=12时，x+y取得最小值16. 消元法 对于含有多个变量的条件最值问题，当直接运用基本不等式无法求解时，可尝试减少变量的个数，即： 1、建立两个变量之间的函数关系， 2、代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元（三元化二元，二元化一元） 例题精讲 方法三：配方定值 由，得9x+y=xy,所以(x-1)(y-9)=9. 因为x>0,y>0,所以x-1>0,y-9>0. 所以x+y=10+(x-1)+(y-9)10+2=16, 当且仅当x-1=y-9时取等号，由因为，所以x=4,y=12. 所以当x=4,y=12时，x+y取得最小值16. 配凑法： 配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式，然后利用基本不等式求解最值。 课外作业 分析：求 的最小值，就是要求一个 ，使 ，都有 .观察 ，发现 ． 联系基本不等式，利用正数 和 的算术平均数与 几何平均数的关系可以得到 ， 从而得到 ，所以 = ． 1．下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 解析：当 都为负数时，A,C选项不正确.当 为正数时，B选项不正确.根据基本不等式，有 ，故选D.答案：D 答案：D　 2．下列不等式中，正确的是(　　) A．a＋eq \f(4,a)≥4　　　　　 B．a2＋b2≥4ab C.eq \r(ab)≥eq \f(a＋b,2) D．x2＋eq \f(3,x2)≥2eq \r(3) 解析：a<0，则a＋eq \f(4,a)≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2)，故C错；由基本不等式可知D项正确． 答案：B　 3.若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　) A．a＞b＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)　　 B．a＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)＞b C．a＞eq \f(a＋b,2)＞b＞eq \r(ab) D．a＞eq \r(ab)＞eq \f(a＋b,2)＞b 解析：a＝eq \f(a＋a,2)＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)＞eq \r(b·b)＝b，因此B项正确． 答案：C　 4．已知x<0，则x＋eq \f(1,x)－2有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 解析：∵x＜0， ∴x＋eq \f(1,x)－2＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－x）＋\f(1,（－x）)))－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x＝eq \f(1,－x)，即x＝－1时取等号． 5.(1)已知x>2，则x＋eq \f(4,x－2)的最小值为________． 解析：因为x>2，所以x－2>0， 所以x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6， 当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立． 所以x＋eq \f(4,x－2)的最小值为6. (2)若0<x<eq \f(1,2)，则eq \f(1,2)x(1－2x)的最大值是________． 解析：因为0<x<eq \f(1,2)，所以1－2x>0，所以eq \f(1,2)x(1－2x)＝ eq \f(1,4)×2x×(1－2x)≤eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－2x,2)))2＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16)， 当且仅当2x＝1－2x，即当x＝eq \f(1,4)时，等号成立， 所以eq \f(1,2)x(1－2x)的最大值为eq \f(1,16). 《必修第一册》 “练习”3；4； “复习巩固”1；“综合运用”5. $$